三角形测高
利用相似三角形测高
利用相似三角形测高作者：***来源：《初中生世界·九年级》2021年第02期第六章图形的相似领衔人：吴粉连组稿团队：江苏省常州市金坛区吴粉连名师工作室相似三角形是初中数学的重要知识点，在生活中也有着广泛的应用。
下面就如何利用相似三角形来测量物体的高度谈一点方法，希望能给同学们带来收获。
方法一：利用影子【操作方法】一名学生站在旗杆影子的顶端处，测出该生的身高和影长及此时旗杆的影长。
【点拨】把太阳的光线看成是平行的。
∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB=∠CBD。
∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠A BE=∠CDB=90°，∴△AEB-△CBD，∴AB/CD=BE/BD，即CD= AB·BD/BE。
因此，只要测量出入的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了。
方法二：利用标杆【操作方法】选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上树一根高度已知的标杆。
观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上，此时分别测出他的脚与旗杆底部、标杆底部的距离即可求出旗杆的高度。
【点拨】如图3，过点A作AN⊥DC于点N，交EF于点M。
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDH=90°，∴人、标杆和旗杆是互相平行的。
∵EF∥CN，∴∠1=∠2。
∵∠3=∠3，∴△AEM一△ACN，∴AM/AN=CE/CN。
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离、标杆与人的身高的差EM都已测量出，∴能求出CN。
∵∠ABF=∠CDF=∠ND=90°，∴四边形ABDN为矩形，∴DN=AB.∵能求出旗杆CD的长度。
【操作方法】选一名学生作为观测者，在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子。
固定鏡子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶部。
此时，测出他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度。
九上数学 第19讲 利用三角形相似测高
第19讲 《图形的相似》培优训练4.6利用三角形相似测高学习目标：1、掌握测量旗杆高度的方法；2、通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想； 一、温故知新1． 相等， 成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形是 三角形。
2．相似三角形的判定：① 对应相等的两个三角形相似．②两边对应成 ，且 相等的两个三角形相似． ③三边 的两个三角形相似．3．相似三角形的性质：相似三角形的对应角 对应边 。
二、实例讲解：利用阳光下的影长测物体的高度 示意图如下图1、原理及证明：太阳光线是平行的通过构造“ ”三角形来测量物高。
解：∵阳光AE 阳光BC ， ∴∠AEB= ， 又∵∠ABE= =90° ∴△ ∽△ ， ∴CDAB= ，即CD= . 2、待测数据： 、 、 。
3、结论：同一时刻物高与影长成比例．．．．．．．．．．．．4.若学生身高是1.6m,其影长是2m,旗杆影长5m,求旗杆高度为 .AE 人影 人B物影物高CDE人D镜子 阳光AB物高三、合作探究： 1、利用标杆测物体的高度 示意图如下1、原理：利用光的直线传播通过构造“ ”三角形来测量物高。
2、证明：∵ AB CD ，∴∠FHD=∠ ， 又∵∠FDH=∠ ，∴△ ∽△ ，∴AGDH= ， ∵FH=EC ，ＦＧ＝ＢＥ，EF=HC=GB,DH=DC-HC , 即AGDH= ，AG= . ∴物高AB=AG+GB=AG+EF3、待测数据： 、 、 、 。
4.若学生眼睛距地面高度是1.6m,学生脚距镜子1m,镜子距旗杆底部是5m,求旗杆高度为 。
2、利用镜子的反射测物体的高度 示意图如下图1．原理：利用光线的入射角等于反射角构造出相似三角形 2.解：由入射角等于反射角， ∴∠ =∠∵∠ +∠ACB=∠ +∠ ECD =90° ∴∠ACB=∠ ， ∵∠ B=∠ D=90°， ∴△ ∽△ ， ∴DEAB= ，即AB= 。
相似三角形测高
相似三角形测高影子落在水平面上•某班同学要测量学校国旗旗杆的高度,在同一时刻,量得某一同学的身高是1.5米,影子长是1米,旗杆影子长是8米,则旗杆的高度是多少?要点提示：1.太阳光线默认平行2.同一时刻,两个物体的高度和水平地面上的影长的比例是相等的,即物1：影1=物2：影2•如图,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长是1.8米,窗户下沿到地面的距离BC=1米,EC=1.2米,那么窗户的顶端到地面AC是多少米?影子一部分落在水平面上,另一部分落在墙上•如图,教学楼前有一根旗杆,在阳光下,它的影子一部分落在了地面上,另一部分落在了教学楼的墙上,经测量,地面上的影子长2.7米.墙上的影子是1.2米.同一时刻,测得垂直于地面的1米长的竹竿的影子长0.9米.问旗杆的高度是多少米?要点提示：照在垂直墙面上的影子没有被拉长，对应原物体高度分析方法：影子一部分落在水平面上,另一部分落在斜坡上•如图,小明准备测量电线杆AB的高度,发现电线杆的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4米,BC=10米,CD与地面成30°角,且此时测得1米的杆影长为2米,求电线杆的高度.(结果保留根号)要点提示：把斜坡上的影子转化为垂直地面的影子和水平地面的影子（借助三角函数），其中垂直地面的影子对应原物体高度，没有被拉长。
水平地面的影子被拉长，拉长比例与地面影子相同分析方法：影子一部分落在水平面上,另一部分落在台阶上•如图,有一朝西下降的阶梯,阳光从正西边照过来,在距离阶梯6米处有一根柱子,其影子的前端恰好到达阶梯的第三阶。
此外,树立一根长70cm的杆子,测量其影子的长度为175cm,又知阶梯各阶的高度与宽度均为50cm,则柱子的高度为多少？要点提示：把台阶上的影子转化为垂直地面和平行地面两部分影子。
其中垂直地面的影子长度与对应柱子原长度，没有被拉伸；平行地面的影子被拉伸，拉伸比例与地面影子部分相同由灯求影由影求灯•晚上,一个身高1.6米的人站在路灯下,发现自己的影子刚好是4块地砖的长(地砖是边长为0.5米的正方形).当他沿着影子的方向走了4块地砖时,发现自己的影子刚好是5块地砖的长.根据他的发现,你能不能计算路灯的高度?要点提示：灯光光线看成是四射的,而且同一物体的投影的大小是随着灯的远近变化的.•如图，路灯P距离地面8米,身高1.6米的小丽从距离路灯的底部(点O)20米的A处,沿AO所在的直线行走14米到达B时,人影长度怎样改变?改变了多少?双灯双影•一个人在两个路灯之间行走,那么他前后的两个影子的长度有什么关系什么?如图,人的身高AB=a,路灯CD=EF=b,两个路灯的间距为m,BM、BN表示前后的两个影子要点提示：两个影子的和为定值中心灯影•(2003年河北省中考题)如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面形成阴影的示意图.已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为( )要点提示：灯在圆桌的正上方,所以圆桌的影子也是圆形.由于圆桌和影子是平行的,利用图中的相似三角形可求解房屋采光问题•图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30米,两楼间的距离AC=24米,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?(结果保留根号)要点提示：太阳的光线是直线传播的,经过甲楼点B的光线经延长对应到乙楼上的点到地面的距离及为影子镜子反射•如图,在水平地面上放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离EA=21米.当小玲与镜子的距离CE=2.5米时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米。
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法
1.形似定理法：这个方法是利用相似三角形的三边成比例的性质来求
出物体与仪器距离（x）及物体的高度（h）的。
假设有一个类似于图中的
场景，物体AB的高度为h，相机CD离地面的距离为x，相机镜头视角下
的物体高度为y。
通过三角形相似关系可得：AD/CD=AB/BC，即AD=(CD/BC)*AB=x/h*AB。
所以物体与相机的距离为x=AD*BC/AB=h*BC/AB。
而物体的高度为
h=y*(AD+CD)/CD=y*BC/CD。
2.变换法：这个方法是通过将相机移动至两个不同的位置，同时拍摄
同一物体的两个照片来求出物体的高度。
如图，相机从C位置拍摄照片时，物体的高度为h1，相机从C’位置拍摄同一物体时，物体的高度为h2。
根据相似三角形原理，可得：h1/(x1+d)=h2/(x2+d)，其中d为相机
的移动距离。
所以，物体的高度可以表示为h2=h1*(x2+d)/(x1+d)。
3. 斜向测量法：这个方法是利用相似三角形的夹角相等的原理来测
量物体高度。
如图，相机以斜向的角度（α）拍摄物体的照片，由相似三
角形的夹角相等可得：h/L=ta nα，即物体的高度为h=L*tanα。
其中，L
为相机离物体的距离。
这三种方法都是利用相似三角形的性质来测量物体高度的，其中形似
定理法和变换法需要测量相机距离、相机移动距离等参数，斜向测量法则
需要知道相机与物体的夹角。
所以在不同的场景下，选择不同的方法来测
量物体高度，能有效提高测量的精度。
用解直角三角形测量房子高度操作步骤
用解直角三角形测量房子高度操作步骤方法一：利用相似三角形的知识求解。
可以找一个已知长度的杆立在那里，测量其影子的长度，而后测量房子影子长度。
因为杆和地面本身是直角，太阳的照射角在同一时间同一地点也是相同的，两个三角形两个角相等是相似三角形。
利用相似的性质，对应边成比例求解。
已知杆的高度：其影子的长度=房子高度：房子影子长度。
进行求解。
方法二：测量房子影子的长度。
在影子的顶点处（远离旗杆那端）用角度测量仪测量房子顶部与该点连线与地面的夹角A，利用房子的长度：影子的长度=tanA。
也可以通过其他方法测出太阳的照射角也可。
方法三：在建筑物外点一点（离建筑物距离最好接近建筑物的高度）,测量点到建筑物的距离L,测量点与建筑物顶的夹角a（方法很多种,如果有仪器测角最好）,H=L*sina; 测角是放在仪器上面再加仪器高就可以了。
利用相似三角形测高
02 测高原理及步骤
利用相似三角形测高原理
相似三角形性质
当两个三角形对应角相等时，这 两个三角形相似。相似三角形的 对应边成比例。
测高原理
通过构造一个与待测高度相关的 相似三角形，利用已知距离和角 度信息，可以推算出待测高度。
实际操作步骤
1. 选择合适的观测点
可以计算出建筑物的高度。
确定建筑物位置
在建筑设计中，可以利用相似三 角形原理，通过已知的两个点和 角度，确定建筑物的准确位置。
评估建筑物稳定性
相似三角形可以用于分析建筑物 的倾斜度和稳定性，通过比较建 筑物不同部位的高度差和水平距 离，可以判断建筑物是否存在倾
斜或变形等问题。
航海领域应用
01
测定海上目标距离
多源数据融合提高测量精度
利用多传感器融合技术，结合相似三角形测高算法，可以 从多个角度获取测量数据，进一步提高测量精度和稳定性 。
拓展至三维空间测量
目前相似三角形测高主要应用于二维空间的测量，未来可 以将其拓展至三维空间，实现更复杂场景下的高度测量。
对个人能力提升意义
提高了分析问题和解决问题的能力
THANKS
感谢观看
注意事项
01
确保测量工具的精度和 稳定性，以减小误差。
02
在进行测量前，对测量 工具进行校准和检查。
03
选择合适的天气和时间 进行测量，避免大气折 射等因素对测量结果的 影响。
04
在计算过程中，注意单 位统一和数值准确性。
03 实际应用举例
建筑行业应用
测量建筑物高度
利用相似三角形的性质，通过测 量建筑物底部到顶部的距离和建 筑物与观测点之间的水平距离，
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法方法一：影子测量法影子测量法是一种利用日光的投影效果来测量高度的方法。
这种方法需要在测量地点及其附近的已知高度点上安装标杆，然后利用地面上的标记点和标杆上的影子来确定两个相似三角形。
当太阳光照射到地面上时，标杆上的影子会呈现出一个固定的长度。
通过测量该影子的长度和标杆顶部到标记点的距离，可以得出两个相似三角形的对应边长比。
然后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法二：测角法测角法是一种利用三角形的内角关系来测量高度的方法。
这种方法需要使用测角仪或经纬仪等仪器来测量两个角度，分别是测量点和未知高度点的水平角度和仰角。
然后，利用三角形的内角和为180度的性质，可以计算出其余的角度。
根据相似三角形的性质，可以得出两个相似三角形的边长比。
最后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法三：测距法测距法是一种利用距离和角度来测量高度的方法。
这种方法需要使用测距仪或测距仪等仪器来测量测量点与未知高度点之间的水平距离。
然后，使用同一台仪器测量测量点和未知高度点之间的仰角。
根据三角形的正弦定理，可以计算出未知高度点和测量点之间的垂直距离。
最后，通过测量点的高度和垂直距离，可以计算出未知高度点的高度。
在实际应用中，这些方法都需要注意一些因素，如仪器的精度、光线的影响和地形的变化等。
此外，需要选择合适的方法来适应不同的场景和需求。
因此，使用这些方法时应根据实际情况选择最合适的方法，并进行正确的计算和测量，以保证测量结果的准确性。
利用相似三角形测高(知识讲解)数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.22 利用相似三角形测高（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.【要点梳理】测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.特别说明：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.特别说明：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、利用相似三角形测高1．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？【答案】跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【分析】过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出OH AO BN AB=，OH BO AM AB =，即可得出答案． 解：如图所示：过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，可得HO ∥BN ，则△AOH ∽△ABN ， 故OH AO BN AB=， ∵AB 长为3米，BN 长为1.5米， ∴1.53OH AO =， ∴2OH OA =同理可得：△BOH ∽△BAM ， 则OH BO AM AB=， ∵AB 长为3米，AM 长为1米， ∴313OH AO -=，即3213OH OH -= ∴OH ＝0.6，答：跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．【变式1】李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C 点（如图所示），人在F 点正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在C '处，人在F '处正好看到树尖A ．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m ，量得CC '为12m ，CF 为1.8m ，C F ''为3.84m ，求树高．【答案】这棵古树的高为10m【分析】根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，所以可得∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．解：根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，∠∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，设AB ＝x ，BC ＝y ∠ 1.7 1.8=1.7 3.8412x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得1018017x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． ∠这棵古树的高为10m ．【点拨】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【变式2】如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．【答案】路灯OP 的高度为7m【分析】先根据AB ∠OF ，CD ∠OP 可知△EAB ∠∠EPO ，同理可得△FCD ∠∠FPO ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OP 的值．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ，90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∠在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∠EAB ∆∠EPO ∆ ∠AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∠263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∠FCD ∆∠FPO ∆， ∠CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∠2205OB OP +=，∠263OB OP +=，2205OB OP +=，∠7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式3】 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB =2米，它的影子BC =1.6米，木杆PQ 的影子有一部分落在墙上，PM =1.2米，MN =0.8米，求木杆PQ 的长度．【答案】2.3米【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可解：如图，过点N 作ND ∠PQ 于D ，则DN =PM ，∠∠ABC ∠∠QDN ，AB QD BC DN∴=． ∠AB =2米，BC =1.6米，PM =1.2米，NM =0.8米， 2 1.21.6AB DN QD BC ⨯===1.5（米）， ∠PQ =QD +DP =QD +NM =1.5+0.8=2.3（米）．答：木杆PQ 的长度为2.3米．【点拨】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质.【变式4】 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB ）的高度为4.8米，右侧路灯（CD ）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD ）为12米，已知小明的身高（EF ）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F 是BD 的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP ＝ 米，FQ ＝ 米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP ＝FQ ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B 地24m 5（或离D 地36m 5），理由见分析 【分析】（1）通过证明CDQ EFQ ，ABP EFP ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=，设FP FQ x ==，可求出512BD x ==，求出x 的值，即可求解． (1)解：由题意得，,CDQ EFQ CQD EQF ∠=∠∠=∠，CDQ EFQ ∴，EF QF CD QD∴=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF DF ∴==，1.66.46QF QF∴=+， 解得2QF =；,ABP EFP APB EPF ∠=∠∠=∠，ABPEFP ∴， EF PF AB BP∴= 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF ∴=，1.64.86PF PF∴=+， 解得3PF =；故答案为：3；2；(2)小明站在离B 点245米处的位置，理由如下： 由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，设FP FQ x ==，1.6 1.6,6.4 4.8x x QD BP∴==， 4,3QD x BP x ∴==，,2BQ x DP x ∴==，512BD x ∴==， 解得125x =， 2425BF x ∴==，所以，小明站在离B点245米处的位置．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．类型二、利用相似三角形测距离2．综合与实践某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平面上，放置一个平面镜E．来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离20EB=米，镜子中心与测量者的距离2ED=米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．任务一：在计算过程中C，D之间的距离应该是米．任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用测量者在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，请你再备用图中画出该方案的示意图，并说明必要的已知条件．【答案】任务一：1.5；任务二：学校旗杆的高度是15米；任务三：如图见分析，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB即可求得旗杆AB的高度【分析】（1）C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即可作答；（2）因为入射光线和反射光线与镜面夹角相等，所以△CDE∠∠ABE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；（3）点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．解：任务一：C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即为1.5米，故答案为：1.5；任务二：由已知，∠DEC=∠BEA，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∠∠ABE，CD DEAB BE∴=，1.5220AB∴=，∴AB=15，所以，学校旗杆的高度是15米；任务三：如图所示，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．【变式1】为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：∠镜子；∠皮尺；∠长为2m的标杆；∠高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写）(2)在下图中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α，β等字母表示测得的数据；(4)写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，α，β等字母表示）【答案】(1)∠∠(2)见分析(3)EA（镜子离树的距离）＝am，EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm(4)ac b【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：CE DCEA AB=；即AB=acb．(1)解：∠∠；(2)解：测量方案示意图；(3)解：EA（镜子离树的距离）＝amEC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm；(4)解：根据相似三角形的性质；可得：CE DC EA AB=；即AB=acb．【点拨】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题．【变式2】枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．【答案】26.2米【分析】过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依题意知，EF∠AB，则△DFM∠∠DBN，DM MFDN BN=解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．解：过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，∠四边形CDME、ACDN是矩形，∠AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），∠MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），∠依题意知，EF∠AB，∠∠DFM∠∠DBN，∠DM MF DN BN=，即：0.60.5 30BN=，∠BN＝25（m），∠AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．答：楼高为26.2m．【点拨】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．【变式3】在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．【答案】(1) 5.1 (2) 4.2米【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高； （2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．(1)解：根据题意得：10.8 4.08=x 解得： 5.1x =（米），故答案为：5.1．(2)解：假设AB 是乙树，∠ 2.4BC =（米） 1.2CD =（米） ∠10.8=CD CE ， ∠1.210.8=CE ， ∠0.96CE =（米）， ∠10.8 2.40.96=+AB ， ∠ 4.2AB =（米），答：乙树的高度为4.2米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是解决问题的关键．。
4.6 利用相似三角形测高
及时练习： 教材P105
A E
第1 、2 题
B
D
方法2:利用标杆
C E A B F M N D
要点
方法要点
运用方法2：观测者的眼睛必须与 标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”， 标杆与地面要垂直，在计算时还要用到 观测者的眼睛离地面的高度.
C
E A B F
M
N D
及时练习： 《天府训练册》P140 第7题
第四章
第6 节
图形的思维
同学们,怎样利用 相似三角形的有关知识 测量旗杆(或路灯,或树, 或烟囱)的高度 ? 结合自己的思考，自主学 习教材P103-104
方法1:利用阳光下的影子
C
A E D
B
要点
方法要点
运用方法1:可以把太阳光近似地看 成平行光线，计算时还要用到观测者的 身高,两段影子的长.
小结
拓展
回味无穷
• • •
本节课你有哪些收获(知识方面和操作 方面)？ 在运用科学知识进行实践过程中,你具 有了哪些能力?你是否想到最优的方法？ 在与同伴合作交流中，你对自己的表 现满意吗？
独立 作业
知识的升华
天府训练册
方法3:利用镜子
C A
B
E
D
要点
方法要点
运用方法3：光线的入射角等于反 射角.
C
A
及时练习： 天府数学P34 例1 （2 ）
E D
B
锻炼自己
能力提升
例：王华晚上由路灯AB的点B处走到点C处时， 测得影子CD＝1米，继续走3米到达点E处， 测得影子EF＝2米，已知王华身高是1.5米， 那么路灯的高度AB为多少？
相似三角形的应用1——测高
(2)当镜子的高度取到最小值时，镜子下边挂在离地面多 高的位置时，恰好能看到自己的全身像？
M
(1)镜面的最小高度是
A
D
1
C
P F
C`
E 面的距离是:
B
N
1
人
镜
像
QN= CB
面
2
小结:
1、 实际问题
数学问题
数学问题的解
检验
2、 数学思想方法: 化归思想
小结
测高的方法 测量不能到达顶部的物体的
A
N M
D
B
CE
如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现 树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上， 测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且测 得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多
少？A
D
B
4 30°
10
CE
思考题：镜子问题
(1)一面镜子垂直地面放置于墙壁上，平常的镜子较大 能看到自己的全身像，现在想把镜子高度缩小，但要求能 看到全身像，问能否求出镜子上下边之间的最小高度？
▪ 2. 我们应该掌握并应用一些简单的相似三 角形模型。
▪ 3.测高的方法
▪ 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用 “在同一时刻物高与影长的比例”的原理 解决
试一试 你还有什么方法吗？
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒 O’B’，比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB，即 可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’＝1, A’B’＝2, AB＝274,求金字塔的高度OB
利用标杆
B
E
A
F
C
24.3相似三角形应用——利用相似三角形测量物体高度
3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的 边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的
A
高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边
长为 x 毫米。
PE N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE AD
PN = BC
B Q DM C
因此 80–x = x ，得 x=48（毫米）.
80
120
∴
=
EF DF
∴
OB=
EF·OA =200
DF
因此金字塔的高为200m.
影子形成
2. 要测量我校的旗杆高度，现有皮尺一把、标杆一根、镜 子一面，请你和你的同伴选择其中两种工具，设计一套测量旗 杆的方案，并画出示意图.
△ABO∽△AEF
OB
OABiblioteka =EFAF
OB = OA ·EF AF
旗杆测量
还可以有其他方法测量吗？
当堂练习
1.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长 为3米,则树高为______米. 2.如图，小亮晚上走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两 盏灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时， 他自己的影子长为3米，左边的影子长为1.5米，又知自己身高 1.8米，两盏灯的高度相同，且两盏灯之间的距离为12米，求路 灯的高。
24.3 相似三角形的应用 ——利用相似三角形测量物体的高度
华华东东师师大大·●七九年年级级下上册册
如图，如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m，测OA长为 300m，求金字塔的高度BO.
4.6 利用相似三角形测高
D
1
2
CE
A
一 测高方法三：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利 用镜子的反射测量高度”的原理解决.
一 我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题．
例1：如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
一 测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同 一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
一例2：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一
好久 不见
认识你很 开心
欢迎
你好
HELLO
Welcome
4.6 利用相似三角形测高
世界上最高的树 —— 红杉
乐山大佛
台北101大楼
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
一 运用相似三角形解决高度(长度)测量问题
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古 代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相 似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金 字塔的原理吗？
根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距
27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知
小明的眼高1.6m，求树的高度. C
E
A
N
BF
D
解析：人、树、标杆是相互平行ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
一 测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以 用“利用标杆测量高度”的原理解决.
一例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、
皮尺）设计了如下测量方案：如图， ①在距离树AB底部15m的E处放下镜子； ②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m； ③观察镜面，恰好看到树的顶端. 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
46 利用相似三角形测高
C N
D
∴ 2 0.6 27 24 , ∴CN=3.6（m）， ∴CDC=N3.6+1.6=257.2（m）.
故树的高度为5.2m.
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可 以用“利用标杆测量高度”的原理解决.
例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了 如下测量方案：如图，
例2：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m 的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼 睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
E A
C N
B
F
D
解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作
AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
讲授新课
一 运用相似三角形解决高度(长度)测量问题
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八 大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形 的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题． 例1：如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m， 测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
解：∵ QR∥ST
∴△PQR∽△PST
PQ QR PS ST
PQ 60 PQ 45 90
PQ=90m.
60 45 m m 90
m
归纳总结 利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意画出__示__意__图_____; （2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
__已__知__线__段__、__已__知__角_____; （3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出__未__知__量____; （4）写出____答__案_____.
利用相似三角形测高(课件)九年级数学上册(北师大版)
代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．
探究新知
归纳总结 利用阳光下的影子测量高度
类型
原理
利用阳光下的 同一时刻物高 影子测高(如测 与影长成比例 量旗杆的高度)
操作图
操作说明
相关算式
(1)需测参照物(
AB DF
=
BC EF
,
人)的高度及参 则AB= DF BC
随堂练习
1.小明在测量楼高时,测出楼房落在地面上的影长BA为15 米,同时在A处竖立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC 为3米,则楼高为( A ) A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米
随堂练习
2.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度， 当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影 子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高 度是( C ) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米
解析：画出示意图如图,
由题意得 AB = BC ,则B’C’=
A'B' B'C '
A' B ' BC AB
12 2
=3
=8(m).
即该建筑物的高度为8 m.
探究新知
例2:如图,直立在点B处的标杆AB高2.5 m,站立在点F处的 观察者从点E处看到标杆顶端A、旗杆顶端C在一条直线 上.已知BD=18 m,FB=3 m,EF=1.6 m,求旗杆的高CD.
EF
照物(人)的影长
;(2)测量被测物
体(旗杆)的影长
探究新知
方法二：利用标杆测量旗杆高度
如图4-27，每个小组选一名同学作 为观测者，在观测者与旗杆之间的地面 上直立一根高度适当的标杆。观测者适 当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、 标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直 线上，这时其他同学立即测出观测者的 脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚 到标杆底端的距离，然后测出标杆的高。
4.6 利用相似三角形测高
C B
E FD
G
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗 杆的高度． A
又 ∠怎AO样B测=∠出DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ BOOA的O长A？， EF FD
∴ BO OA EF 201 2
FD
3
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
归纳：
利用阳光下的影子测高： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在
同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
不可以运用相似三角形的知识去测量建筑物的高 度呢?
学校广场上的五星红旗高高飘 扬,每周一的早上,全校师生都要在 那里举行庄严的升国旗仪式.那么 你知道旗杆的高度吗?你能测量出 旗杆的高度吗?
讲授新课
知识点 利用相似三角形测量高度
1.利用阳光下的影子测量旗杆的高度 【操作方法1】一名学生在直立于旗杆影子的顶端处， 测出该同学的影长和此时旗杆的影长.
已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那
么该古城墙的高度是
( B)
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
随堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
4.6利用三角形测高(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握直角三角形的性质，尤其是相似直角三角形的判定和应用。
-学会运用相似三角形的知识，解决实际问题，如测量物体的高度。
-掌握利用三角形测高的方法，并能应用于实际情境中。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“利用三角形测高在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如如何减少测量误差等。
3.提供更具针对性的讨论题目，引导学生围绕课程核心内容展开讨论。
-难点二：在实际操作中准确构建直角三角形。学生在实际测量时可能会因为角度不准确或测量点选择不当，导致无法构建出准确的直角三角形。
-举例：在测量建筑物的高度时，如何确保测量角度为直角，以及如何选择合适的测量点以确保三角形的准确性。
-难点三：测量误差的分析和处理。学生可能难以理解测量误差的来源，以及如何通过方法上的改进来减少误差。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形和相似三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了利用三角形测高的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
利用相似三角形测高实践报告
利用相似三角形测高实践报告嘿，大家好！今天咱们要聊的是一项听起来有点复杂，但其实超级简单又有趣的测高方法，叫做利用相似三角形。
相信我，这可不是学术界的高冷玩意儿，反而是个可以和朋友们一起享受的有趣活动，听我慢慢道来。
一开始，我们要明白啥是相似三角形。
想象一下，两个三角形，一个大一个小，形状一模一样，比例却不同。
就像咱们小时候玩过的玩具，缩小版和正常版，都是一样的，只是大小不一样而已。
这就是相似的精髓。
好吧，听起来有点抽象，但别担心，接下来我会用实例来给大家拆解这块儿。
这次我们的目标是一座高高的楼，天哪，真的是高得让人咽口水。
站在楼下，仰头一看，哇，那可不是一般的高啊！可是呢，我们不想爬上去测量，万一摔下来了，那可就得不偿失了。
于是，我们决定用三角形的方法来解决这个问题。
找一根棍子，随便找一根就好，没错，您没听错，就是一根棍子，或许它在路边就等着我们。
我们要把这根棍子竖起来，记得要在阳光明媚的日子做这件事，嘿嘿，阳光能让影子更好看。
棍子竖好后，我们观察棍子的影子，同时也观察大楼的影子。
此时，我心里就乐开了花，感觉自己像个小科学家。
咱们要做点简单的计算。
测量棍子的高度和它的影子长度，然后再测量大楼的影子长度。
别担心，记不住也没关系，咱们可以在手机上记一记，随时随地，技术可不是问题。
用一个简单的公式就能算出大楼的高度了。
我们把棍子的高度和它的影子长度写出来，然后把大楼的影子长度放进公式里，哇！我当时真是惊呆了，觉得这方法简直神奇。
好像一瞬间，所有的数字都在我脑海中跳舞，哈哈！这就是相似三角形的魔力，真的是让人眼前一亮。
这个过程也不是一帆风顺。
阳光会跟你开玩笑，影子变来变去，让我们忍不住想大喊“别走啊，我还没测完呢！”不过，别怕，咱们可以等一等，找个合适的时机再来测量，耐心可是成功的一大法宝。
毕竟，急于求成可不是我们这个科学小团队的风格，对吧？接下来的结果就让人激动了。
经过一番计算，我们终于得出了大楼的高度，心中那种成就感啊，简直像是赢了个大奖。
第1课时利用相似三角形测量高度
25．6第1课时利用相似三角形测高度知识点1利用阳光下的影子测高度1．某一时刻，身高1.6 m的小明在阳光下的影长是0.4 m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度是()A．1.25 m B.10 mC.20 mD.8 m2．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图25－6－1)，同时测得在A处竖立的一根高2米的标杆的影长AC为3米，则楼高为()图25－6－1A．10米B.12米C.15米D.22.5米知识点2利用标杆测高度3．如图25－6－2，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm.当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为()图25－6－2A．25 cm B.50 cm C.75 cm D.100 cm4．如图25－6－3，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2 m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m，与旗杆相距22 m，则旗杆的高为()图25－6－3A．8.8 m B.10 m C.12 m D.14 m5．如图25－6－4，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆AB的高度．已知标杆的高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，此时，旗杆顶端A、标杆的顶端C、人眼E恰好在一条直线上．求旗杆AB的高度．图25－6－4知识点3利用镜子的反射测高度6．2019·兰州如图25－6－5，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处．测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为()图25－6－5A．8.5米B.9米C.9.5米D.10米7．教材“做一做”变式如图25－6－6，在小孔成像问题中，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，若像CD的长是5 cm，则物体AB的长是()图25－6－6A．9 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm8．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图25－6－7)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，则树高为()图25－6－7A．3.25 m B.4.25 mC.4.45 mD.4.75 m9．如图25－6－8所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m.图25－6－810．如图25－6－9，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上的点C处直立高3 m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3 m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面的高度EF＝1.5 m，量得CE＝2 m，EC1＝6 m，C1E1＝3 m.(1)△FDM ∽△______，△F 1D 1N ∽△______；(2)求电线杆AB 的高度．图25－6－911．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D 的高度，如图25－6－10，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ．已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯CD 的高．(结果精确到0.1 m)图25－6－1012．如图25－6－11所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中的数据计算两层楼之间的高度．图25－6－111．C [解析] 设该旗杆的高度为x m ，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长成正比，即有1.6∶0.4＝x ∶5，然后解方程即可．2．A [解析] ∵标杆的高标杆的影长＝楼高楼的影长，即23＝楼高15，∴楼高＝10米．故选A. 3．D4．C [解析] 因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆的高为x m ，则3.2x ＝88＋22，∴x ＝12. 5．解：过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，交CD 于点G .∵CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴CD ∥AB ，∴∠EGC ＝∠EHA ，∠ECG ＝∠EAH ，∴△CGE ∽△AHE ，∴CG AH ＝EG EH ，即CD －EF AH ＝FD FD ＋BD， ∴3－1.6AH ＝22＋15，∴AH ＝11.9.∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)．答：旗杆AB的高度为13.5 m.6．A[解析] 由题意知∠AGC＝∠FGE.∵∠ACG＝∠FEG＝90°，∴△ACG∽△FEG，∴ACEF＝CGEG，即AC1.6＝153，∴AC＝8，∴AB＝AC＋BC＝8＋0.5＝8.5(米)．故选A.7．D[解析] 作OE⊥AB于点E，EO的延长线交CD于点F. ∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△COD，∴CDAB＝OFOE＝618＝13，∴AB＝3CD＝15 cm.故选D.8．C[解析] 如图，设BD是BC在地面上的影子，树高为x m．根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得CBBD＝10.8，而CB＝1.2 m，∴BD＝0.96 m，∴树落在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)，再由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得x3.56＝10.8，∴x＝4.45，∴树高是4.45 m.9．5.5[解析] ∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF＝CDDE.∵DE＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m，CD＝8 m，∴BC0.2＝80.4，∴BC＝4，∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)．10．解：(1)FBG F1BG(2)∵C1D1∥AB，∴△F1D1N∽△F1BG，∴D1NBG＝F1NF1G.∵CD∥AB，∴△FDM∽△FBG，∴DM BG ＝FM FG. 又∵D 1N ＝DM ，∴F 1N F 1G ＝FM FG， 即3GM ＋11＝2GM ＋2，解得GM ＝16 m. ∵D 1N BG ＝F 1N F 1G ，∴1.5BG ＝327， 解得BG ＝13.5 m.∴AB ＝BG ＋GA ＝15 m.答：电线杆AB 的高度为15 m.11． 解：∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，∴MA ∥CD ，BN ∥CD ， ∴△EAM ∽△ECD ，△ABN ∽△ACD .由△EAM ∽△ECD ，得EA EC ＝AM CD. ∵EA ＝AM ，∴EC ＝CD .设CD ＝x m ，由△ABN ∽△ACD ，得BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75， 解得x ＝6.125≈6.1.∴路灯CD 的高约为6.1 m.12．解：如图，作DE ∥BC 交FC 于点E ，∴△ABC ∽△CED ，∴AB EC ＝BC DE. 设AB ＝x m ．由题意，得DE ＝10－4＝6(m)，EC ＝(x －2.2)m ， ∴x x －2.2＝106，解得x＝5.5，即两层楼之间的高约为5.5 m.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
AC BC A 'C ' B 'C '
B
3m
C
1.8m
A'
求得 A'C'=54m
1.8 3 A ' C ' 90
B'
90m
?
C'
答：这栋高楼的高度是54m.
2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网 球是直线运动） 2.4m
抢答
探究：怎样测量旗杆的高度?
4.6利用相似三角形测高
学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？ 你有什么办法测量？
E
D
A
B
C
E
B
D
C A F
E
D
A
B
C
例：数学兴趣小组测校内一旗杆，有以下三种方法： 方法一：利用阳光下的影子。
例：数学兴趣小组测校内一旗杆高，有以下三种方法： 方法二：利用标杆 把长为CD的标杆直立在地面上，量出旗杆的影长为 EB，标杆影长为。
C
E A D
？ ┏ B
3、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小 明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得 自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高 度。
A
C
E
B
D
F
G
ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现 他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行 12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部， 已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是9.6m，设AP =x(m)。 (1)求两路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是多少？
C
D
A
P
Q
B
惜时专心苦读是做学问的一个好方法。
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量旗 杆高的方法吗？
C
A
F
D
E
B
例：数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下三种方法：
方法三：如图，把镜子放在离旗杆（AB）点E处，然 后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到秆顶点 A，再用皮尺量得DE，观察者目高CD；
A C
3 4 2
1
D
E
B
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通 常用“在同一时刻物高与影长成正比例” 的原理解决。 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
四、相似三角形的应用的主要图形
课堂小结:
随堂练习
1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m， 同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是 多少？