Gordon不等式的又一推广
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２１ ０ ０年 第 １ 期
河北 理科教 学研 究
问题 讨 论
Ｇｏｄ ｎ不 等 式 的又 一推 广 ｒｏ
云 南省 大理 州漾 濞一 中 秦庆 雄 ６２ ０ ７ ５０
１１ ９ ９年 ， ｉ ｚｎ ｏｋ提 出 了关 于 △ 的 Ｗｅｔ ｅ ｂｃ ｅ
４（ ｙ ｉ Ａｓｎ ＋ｙ ｓｎ ｉ 十 ｓｎ ｉ Ａ） ｘ ｓｎ ｉ Ｂ ｚ ｉ Ｂｓ ｎＣ ｉ Ｃｓｎ
，
＋ ＋ ＝ 一（ ｉ ＋ｂ４＋Ｃ４ ａ４ １ １）＋２ ｂ２ １ （ ｌｃ２
＋ Ｃｌ ２ａ
ｌ ＋ａ ｌ） ６ ２可得 ： １ｂ ＝１ ３１，
推论 ２ 设 Ａ Ｂ 和 △ Ｉ 边 长 Ａ Ｃ Ａｌ Ｃ 的 Ｂ１
２１ 第 １ ００年 期
河北理 科教 学研 究
一
ＣＳ Ｃ—Ａ） ≥０ 从 而 式 （ ） 证 ， Ｏ（ ］ ， ８得 即定 理
’
得证．
Байду номын сангаас
该 定理 提供 了一 个 强 有 力 的 不 等 式 ， 由 它 可 以推 出许 多新 而 优 美 的不 等 式来 ： 不 在
２、 ＋ ＋ ／ ／
（ ） 要 证式 （ ） 只需 要 证 ５， ５，
式 ： ｂ ｃ ａ＞４ △ （ ） Ⅱ ＋６ ＋ｃ １ ｊ ２．
．
ｙ ｓｎ ｉ ＋ Ｚ ｎＣｓｎ ）＝ ２ｘ １＋ Ｃ Ｓ ｚ ｉ ＢｓｎＣ Ｘｓ ｉ ｉＡ ｙ（ ＯＣ
一
・ ＋ｂ ａ ＋Ｃ ａ ≥ ｂ＋６ ＋ｃ ．式 （ ） ｃ ａ，・ ． ２
２ｉＡｓ Ｂ）＋２ ｚ １ ｏＡ 一２ｉＢｓ Ｃ） ｓ ｎ ｎ ｉ ｙ （ ＋ｃｓ ｓ ｎ ｉ ｎ
证 明式 （ ） 只需要 证 明（ ｙ ｃｓ ７， ２ ｚ ｏ Ａ＋２ ｃｓ ｚ ｏＢ
＋２ ｙ ｏ Ｃ） （ ｙ＋ｖ ｘ ｃｓ ＋２ ｘ ＋彳 一 ）
在不 等 式 （ ） ， ４ 中 令 ＝ｂ ｌ ＋ｃ １ 一ａ １，
ｃ ＋ ａｌ 一 ｂｌ ＝ 。ｌ ＋ ｂｌ 一 ｃ 。 且 ｌ ， １
４￣ ／ ＋ ＋ｖ ， （ ） 当且 仅 当 ＝ ＝ ａ ４， ５ 且Ａ Ｂ Ａ Ｃ为正 三角形 时 ， 等号 成立 ．
证明： ｂ 由 ｃ＝２ ｃｃ 等 可知 ， （ ） ｓ １ ｓＡ 式 ４ 等
价 于 ｃｃ ＋ｔ ＳＢ＋Ｖ Ｓ Ｃ≥ ｓＡ Ｕ Ｃ Ｃ ＣＣ
ＣＳＡ —Ｂ） ＋２ ｚ １ Ｏ（ Ｏ（ ］ ｙ （ 一ＣＳＢ—Ｃ） ＋２ ｘ［ ］ ｚ １
Ｃ ）一２ ｉＢｓ Ｃ］ Ｚ， １ Ｏ （ ｓ ｉ ｎ ｎ ＋２ Ｘ［ 一ＣＳ Ｃ＋Ａ）一
２ ｉＣ ｉＡ Ｊ ＝ ２ ｙ （１ 一 Ｃ Ｓ ｓ — ｓ ｓ ｎ ｎ ｘ ＯＡｃ Ｂ ｏ ｓ Ａｓ Ｂ）＋２ ｚ １一ｃ ｓ ｏ Ｃ—ｓ Ｂｓ Ｃ） ｉ ｎ ｎ ｉ ｙ （ ｏＢｃｓ ｉ ｉ ｎ ｎ
不 等式 ： ＋ｂ ａ ＋ｃ≥４ △ （ ） １．
≥０ ８ ， （ ｙ ｃｓ ＋２ ｘ ｏＢ ＋２ ｙ ｏ Ｃ） （ ）而 ２ ｚｏＡ ｚ ｃｓ ｘ ｃｓ
＋２（ ｙ ＋ ｙ ＋ ）一 ４（ ｙ ｉＡｓ Ｂ ＋ ｘ ｓ ｎ ｎ ｉ
１６ ９６年 ， ｏｄｎ提 出 了关 于 △ 的 不 等 Ｇ ｒｏ
（） 由。ｓ ，＝ａ ，＝ １． ｒ ｔ ｒ ｓ 罢ｒ ４又 ＝ａ ｔ ｃ ｎ ｎ
Ｃ
ｓｔ ａｎ
，
（ 中 ｓ 示 △ 的半周 长 ） 其 表 可得 ：
在 等 （中令 ＝ ，＝ ，＝ 不 式４ ， ÷ ÷ ）
，
推论 ６ 设 ３ Ｂ 中 ， Ａ， Ｃ所 对 Ａ Ｃ 角 Ｂ，
是 式 （） １ 的一 个加 强 ． ［ ］ 出了式 （ ） 文 １给 ２ 的一
＋２ ｘ １ ｏＢ一２ ｉＣ ｉＡ） １ １ ｚ （ ＋ｃｓ ｓ ｓ ｎ ｎ ＝２ ， 一 ［
个推广： ∑
定理
Ｏ（ 一２ｉ ｎ ＋２ １ Ｏ（ ｎ ｉ ６≥ △ （） ｃ２ ３． 本文给出 ＣＳＡ ＋Ｂ） ｓ Ａｓ Ｂ］ ｙ ［ 一ＣＳＢ＋
４ ＋ （
＋ｖ ） （ ）令 ： ｃｃ Ｙ＝ ２ ≥０ ６ ， ｓＡ，
ｃｃ ＝ ｃｃ 则 式 （ ） 价 于 （ ＋ ｙ ｓＢ， ｓＣ， ６等
＋ ） （ ２ ＋２ ｖ＋ｖ ） （ ｙ ｉ Ａｓ Ｂ ＋ ｚ＋ 一４ ｘ ｓ ｎ ｎ ｉ
ｚ ｉＢ ｉ Ｃ＋ ｓ Ｃｓ Ａ） ｎ ｓ ｓ ｎ ｉ ｉ ｎ ｎ ≥０ ７ ， （ ） 由嵌 入 不 等式 ： Ａ Ｂ 在 Ａ Ｃ中 ， ， ｚ Ｙ， ∈Ｒ， 则 ＋ｙ ＋ｚ ≥２ ｚ ｏＡ ＋２ ｘ ｏＢ ＋２ ｙ ｏ Ｃ， 要 ｙ ｃｓ ｚ ｃｓ ｘ ｃｓ 知
式（） ２ 的又一 推广 ． 设 ， ， 为任 意正 数 ， ＡＡ 在 ＢＣ
中， 角 ， ｃ所 对 边 为 ａ ｂ Ｃ △ 为 ， Ｂ Ｂ， ， ，， Ｓ Ｃ Ａ 面积 ， ２ ｃ＋， ａ＋ｖ ｂ 则 ｂ ｕ ｃ ａ≥
＋２ （ 一ＣＳ ｃｓ ｚ １ Ｏ Ｃ ｏ Ａ—ｓ Ｃ ｉＡ） ｘ ［ 一 ｉ ｓ ｎ ｎ ＝２ ｙ １
问题 讨论
分别 为 口 ｂ ｃ与 ， ｌｃ， 积分别 为 △ 与 ，， ｂ ，ｌ面
△ｌ则 ｂ （ ｌ ＋ｃ２ １） Ⅱ（ ｌ 十Ⅱ ２ ， ｃ ｂ２ ｌ 一口 ２ ＋ｃ ｃ２ １ 一
ｂ２ ＋口 （ １ ＋ｂ２ １） ６ ３１１ ） ｌ） ６ 口 ２ １一Ｃ２ ≥１３ （０ ．
ｒ， 积 为 △， ｒ６ ｒ ａ＋ ｒ ｂ≥ ４３ 面 则 。ｃ＋ ｂ ｃ ａ ｓ
＋
（ ｓＡ＋， ｓＢ ＋ Ｙ Ｓ Ｃ） ｃｃ ｕ ｃ ｃ ＣＣ ≥４（ ＋
等 （中令 ，＝ ，＝ 即 ： 式４ ， ＝ 詈 得 ） Ｃ
推论 １ 设 Ａ Ｃ 的边 长 为 ａ ｂ Ｃ 面 ＡＢ ， ，， 积为 △， ａ 则 ＋ｂ ＋ｃ ≥４ △
（） ９
） 且要 证 明 （ ｓＡ ＋／ ｓＢ ＋ ＣＣ 一 ，ｐ ｃｃ ￣ ｃ Ｓ Ｃ） ｃ
河北 理科教 学研 究
问题 讨 论
Ｇｏｄ ｎ不 等 式 的又 一推 广 ｒｏ
云 南省 大理 州漾 濞一 中 秦庆 雄 ６２ ０ ７ ５０
１１ ９ ９年 ， ｉ ｚｎ ｏｋ提 出 了关 于 △ 的 Ｗｅｔ ｅ ｂｃ ｅ
４（ ｙ ｉ Ａｓｎ ＋ｙ ｓｎ ｉ 十 ｓｎ ｉ Ａ） ｘ ｓｎ ｉ Ｂ ｚ ｉ Ｂｓ ｎＣ ｉ Ｃｓｎ
，
＋ ＋ ＝ 一（ ｉ ＋ｂ４＋Ｃ４ ａ４ １ １）＋２ ｂ２ １ （ ｌｃ２
＋ Ｃｌ ２ａ
ｌ ＋ａ ｌ） ６ ２可得 ： １ｂ ＝１ ３１，
推论 ２ 设 Ａ Ｂ 和 △ Ｉ 边 长 Ａ Ｃ Ａｌ Ｃ 的 Ｂ１
２１ 第 １ ００年 期
河北理 科教 学研 究
一
ＣＳ Ｃ—Ａ） ≥０ 从 而 式 （ ） 证 ， Ｏ（ ］ ， ８得 即定 理
’
得证．
Байду номын сангаас
该 定理 提供 了一 个 强 有 力 的 不 等 式 ， 由 它 可 以推 出许 多新 而 优 美 的不 等 式来 ： 不 在
２、 ＋ ＋ ／ ／
（ ） 要 证式 （ ） 只需 要 证 ５， ５，
式 ： ｂ ｃ ａ＞４ △ （ ） Ⅱ ＋６ ＋ｃ １ ｊ ２．
．
ｙ ｓｎ ｉ ＋ Ｚ ｎＣｓｎ ）＝ ２ｘ １＋ Ｃ Ｓ ｚ ｉ ＢｓｎＣ Ｘｓ ｉ ｉＡ ｙ（ ＯＣ
一
・ ＋ｂ ａ ＋Ｃ ａ ≥ ｂ＋６ ＋ｃ ．式 （ ） ｃ ａ，・ ． ２
２ｉＡｓ Ｂ）＋２ ｚ １ ｏＡ 一２ｉＢｓ Ｃ） ｓ ｎ ｎ ｉ ｙ （ ＋ｃｓ ｓ ｎ ｉ ｎ
证 明式 （ ） 只需要 证 明（ ｙ ｃｓ ７， ２ ｚ ｏ Ａ＋２ ｃｓ ｚ ｏＢ
＋２ ｙ ｏ Ｃ） （ ｙ＋ｖ ｘ ｃｓ ＋２ ｘ ＋彳 一 ）
在不 等 式 （ ） ， ４ 中 令 ＝ｂ ｌ ＋ｃ １ 一ａ １，
ｃ ＋ ａｌ 一 ｂｌ ＝ 。ｌ ＋ ｂｌ 一 ｃ 。 且 ｌ ， １
４￣ ／ ＋ ＋ｖ ， （ ） 当且 仅 当 ＝ ＝ ａ ４， ５ 且Ａ Ｂ Ａ Ｃ为正 三角形 时 ， 等号 成立 ．
证明： ｂ 由 ｃ＝２ ｃｃ 等 可知 ， （ ） ｓ １ ｓＡ 式 ４ 等
价 于 ｃｃ ＋ｔ ＳＢ＋Ｖ Ｓ Ｃ≥ ｓＡ Ｕ Ｃ Ｃ ＣＣ
ＣＳＡ —Ｂ） ＋２ ｚ １ Ｏ（ Ｏ（ ］ ｙ （ 一ＣＳＢ—Ｃ） ＋２ ｘ［ ］ ｚ １
Ｃ ）一２ ｉＢｓ Ｃ］ Ｚ， １ Ｏ （ ｓ ｉ ｎ ｎ ＋２ Ｘ［ 一ＣＳ Ｃ＋Ａ）一
２ ｉＣ ｉＡ Ｊ ＝ ２ ｙ （１ 一 Ｃ Ｓ ｓ — ｓ ｓ ｎ ｎ ｘ ＯＡｃ Ｂ ｏ ｓ Ａｓ Ｂ）＋２ ｚ １一ｃ ｓ ｏ Ｃ—ｓ Ｂｓ Ｃ） ｉ ｎ ｎ ｉ ｙ （ ｏＢｃｓ ｉ ｉ ｎ ｎ
不 等式 ： ＋ｂ ａ ＋ｃ≥４ △ （ ） １．
≥０ ８ ， （ ｙ ｃｓ ＋２ ｘ ｏＢ ＋２ ｙ ｏ Ｃ） （ ）而 ２ ｚｏＡ ｚ ｃｓ ｘ ｃｓ
＋２（ ｙ ＋ ｙ ＋ ）一 ４（ ｙ ｉＡｓ Ｂ ＋ ｘ ｓ ｎ ｎ ｉ
１６ ９６年 ， ｏｄｎ提 出 了关 于 △ 的 不 等 Ｇ ｒｏ
（） 由。ｓ ，＝ａ ，＝ １． ｒ ｔ ｒ ｓ 罢ｒ ４又 ＝ａ ｔ ｃ ｎ ｎ
Ｃ
ｓｔ ａｎ
，
（ 中 ｓ 示 △ 的半周 长 ） 其 表 可得 ：
在 等 （中令 ＝ ，＝ ，＝ 不 式４ ， ÷ ÷ ）
，
推论 ６ 设 ３ Ｂ 中 ， Ａ， Ｃ所 对 Ａ Ｃ 角 Ｂ，
是 式 （） １ 的一 个加 强 ． ［ ］ 出了式 （ ） 文 １给 ２ 的一
＋２ ｘ １ ｏＢ一２ ｉＣ ｉＡ） １ １ ｚ （ ＋ｃｓ ｓ ｓ ｎ ｎ ＝２ ， 一 ［
个推广： ∑
定理
Ｏ（ 一２ｉ ｎ ＋２ １ Ｏ（ ｎ ｉ ６≥ △ （） ｃ２ ３． 本文给出 ＣＳＡ ＋Ｂ） ｓ Ａｓ Ｂ］ ｙ ［ 一ＣＳＢ＋
４ ＋ （
＋ｖ ） （ ）令 ： ｃｃ Ｙ＝ ２ ≥０ ６ ， ｓＡ，
ｃｃ ＝ ｃｃ 则 式 （ ） 价 于 （ ＋ ｙ ｓＢ， ｓＣ， ６等
＋ ） （ ２ ＋２ ｖ＋ｖ ） （ ｙ ｉ Ａｓ Ｂ ＋ ｚ＋ 一４ ｘ ｓ ｎ ｎ ｉ
ｚ ｉＢ ｉ Ｃ＋ ｓ Ｃｓ Ａ） ｎ ｓ ｓ ｎ ｉ ｉ ｎ ｎ ≥０ ７ ， （ ） 由嵌 入 不 等式 ： Ａ Ｂ 在 Ａ Ｃ中 ， ， ｚ Ｙ， ∈Ｒ， 则 ＋ｙ ＋ｚ ≥２ ｚ ｏＡ ＋２ ｘ ｏＢ ＋２ ｙ ｏ Ｃ， 要 ｙ ｃｓ ｚ ｃｓ ｘ ｃｓ 知
式（） ２ 的又一 推广 ． 设 ， ， 为任 意正 数 ， ＡＡ 在 ＢＣ
中， 角 ， ｃ所 对 边 为 ａ ｂ Ｃ △ 为 ， Ｂ Ｂ， ， ，， Ｓ Ｃ Ａ 面积 ， ２ ｃ＋， ａ＋ｖ ｂ 则 ｂ ｕ ｃ ａ≥
＋２ （ 一ＣＳ ｃｓ ｚ １ Ｏ Ｃ ｏ Ａ—ｓ Ｃ ｉＡ） ｘ ［ 一 ｉ ｓ ｎ ｎ ＝２ ｙ １
问题 讨论
分别 为 口 ｂ ｃ与 ， ｌｃ， 积分别 为 △ 与 ，， ｂ ，ｌ面
△ｌ则 ｂ （ ｌ ＋ｃ２ １） Ⅱ（ ｌ 十Ⅱ ２ ， ｃ ｂ２ ｌ 一口 ２ ＋ｃ ｃ２ １ 一
ｂ２ ＋口 （ １ ＋ｂ２ １） ６ ３１１ ） ｌ） ６ 口 ２ １一Ｃ２ ≥１３ （０ ．
ｒ， 积 为 △， ｒ６ ｒ ａ＋ ｒ ｂ≥ ４３ 面 则 。ｃ＋ ｂ ｃ ａ ｓ
＋
（ ｓＡ＋， ｓＢ ＋ Ｙ Ｓ Ｃ） ｃｃ ｕ ｃ ｃ ＣＣ ≥４（ ＋
等 （中令 ，＝ ，＝ 即 ： 式４ ， ＝ 詈 得 ） Ｃ
推论 １ 设 Ａ Ｃ 的边 长 为 ａ ｂ Ｃ 面 ＡＢ ， ，， 积为 △， ａ 则 ＋ｂ ＋ｃ ≥４ △
（） ９
） 且要 证 明 （ ｓＡ ＋／ ｓＢ ＋ ＣＣ 一 ，ｐ ｃｃ ￣ ｃ Ｓ Ｃ） ｃ