内蒙古乌兰察布市集宁一中西校区2020-2021学年高一上学期期中数学理科试题

内蒙古乌兰察布市集宁一中西校区【最新】高一上学期期中
数学理科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合U ={1，2，3，4，5，6}，S ={1，4，5}，T ={2，3，4}，则S ∩（∁U T ）等于（ ） A ．{1，4，5，6}
B ．{1，5}
C ．{4}
D ．{1，2，3，4，
5}
2．下列选项中的两个函数表示同一个函数的是（ ）
A ．()f x =2()g x =
B ．0()1,()f x g x x ==
C ．2()()f x g x ==
D ．21()1,()1
x f x x g x x -=+=-
3．函数y 的定义域是( )
A ．(3，＋∞)
B ．[3，＋∞)
C ．(4，＋∞)
D ．[4，＋∞)
4．在直角坐标系中，函数y x =的图象（ ）
A ．关于y x =对称
B ．关于原点对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
5．函数y =
） A ．[0,4] B ．(,4]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[0,2] 6．若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．3a ≤
B ．3a ≥
C ．3a ≤-
D ．3a ≥- 7．已知函数()y f x =定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,4- C ．[]2,3- D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
8．已知函数()
2log 23=+-a y x x ，当2x =时，0y >，则此函数的单调递增区间（ ） A ．()1,-+∞
B ．()1,+∞
C ．(),1-∞-
D ．(),3-∞- 9．()()
3343112222--⎛⎫⎛⎫--+-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值（ ） A ．374
B ．8
C ．24-
D ．8- 10．已知函数()f x =14x a -+的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是
A ．( 1,5 )
B ．( 1, 4)
C ．( 0,4)
D ．( 4,0)
11．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么它在区间[]7,3--上是（ ）
A ．增函数且最小值为5-
B ．增函数且最大值为5-
C ．减函数且最小值为5-
D ．减函数且最大值为5- 12．若函数
是定义在上的奇函数，在(,0)-∞上为减函数，且，则使得的的取值范围是 ( )
A ．(,2)(0,2)-∞-⋃
B ．(2,0)
(2,)-+∞ C ．(2,2)- D ．(2,0)(0,2)-
二、填空题
13．函数()21
f x x =-的定义域是_____________. 14．若函数2(21)2f x x x +=-，求()f x =__________.
15．若23
log 1a >, 则a 的取值范围是__________. 16．2lg 5lg 2lg 50+⋅=__________.
三、解答题
17．已知2log 3a =，3log 7b =，用a 、b 表示42log 56.
18．已知0a >且1a ≠，求不等式222135x
x x x a a -+-+>的解集.
19．已知函数2x y =
（1）作出其图象；
（2）由图象指出单调区间；
（3）由图象指出当x 取何值时函数有最小值，最小值为多少？
20．已知()[]
9234,1,2x x f x x =-⨯+∈- （1）设[]3,1,2x t x =∈- ，求t 的最大值与最小值；
（2）求()f x 的最大值与最小值；
21．已知函数1()log 1a
x f x x
+=-，(0,1)a a >≠. （1）求()f x 的定义域；
（2）判断并证明()f x 的奇偶性. 22．设函数()21()12
⋅-=∈+x x a f x a R 是R 上的奇函数. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的值域.
参考答案
1．B
【分析】
由集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =，由补集的运算有{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =，
再结合交集的运算即可得解.
【详解】
解：因为集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =，
所以{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =，
所以{}()1,5U S C T ⋂=,
故选B.
【点睛】
本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础题. 2．C
【详解】
试题分析：A 中定义域为，定义域为
两个函数的定义域不一致,故A 中两函数不表示同一函数；B 中
定义域为，,定义域为{}|0x x ≠两个函数的定义域不一致,故B 中两函数不表示同一函数；C 中两个函数的定义域
和解析式均一致,故C 中两函数表示同一函数；D 中定义域为，
定义域为{}|1x x ≠，两个函数的定义域不一致,故D 中两函数不表示同一函数；所以C 选项是正确的.
考点：函数的三要素.
【易错点晴】
函数的三要素：定义域，对应关系，值域；根据函数的定义知，两个函数的定义域和对应关系一样，那么值域就一样，两个函数就相同，仅是定义域和值域一样则函数未必相同，例如
，定义域均为，值域均为，但两个函数显然不一样，若两个函
数的定义域不一样，则两个函数必然不是同一个函数.
3．D
【详解】
y =2log 200x x -⎧⎨>⎩，，
解这个不等式得4x .
4．D
【分析】 利用定义判断函数y x =的奇偶性，即可得出结论.
【详解】
令()f x x =，定义域为R ，关于原点对称，且()()f x x x f x -=-==，该函数为偶函数，因此，函数y x =的图象关于y 轴对称.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数图象对称性的判断，判断函数的奇偶性是关键，考查推理能力，属于基础题. 5．D
【分析】
把根号内的数设为μ，再求二次函数的值域，从而求得原函数值域.
【详解】
设265(0)x x μμ=---≥
，则原函数可化为y =
又2265(3)44x x x μ=---=-++≤，
04u ∴≤≤
[0,2]，
y ∴=[0,2].
【点睛】
利用换元法求值域时，要注意新元的取值范围.
6．C
【分析】
先由函数()f x 的单调减区间为(],1a -∞-，再由题意可得(],4-∞⊆(],1a -∞-，然后列不等式求解即可.
【详解】
解：因为函数2
()2(1)2f x x a x =+-+的单调减区间为(],1a -∞-， 又函数()f x 在区间(],4-∞上是减函数，
则(],4-∞⊆(],1a -∞-，
则14a -≥，解得：3a ≤-，
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数的单调区间，重点考查了集合的包含关系，属基础题.
7．D
【分析】
根据题意得出2213x -≤-≤，解此不等式即可得出函数()21y f x =-的定义域.
【详解】
由于函数()y f x =的定义域是[]2,3-，对于函数()21y f x =-，有2213x -≤-≤， 解得122x -≤≤，因此，函数()21y f x =-的定义域是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 故选：D.
【点睛】
本题考查抽象函数定义域的求解，解题时要注意以下两点：（1）中间变量取值范围一致；（2）定义域为自变量的取值范围.考查运算求解能力，属于基础题.
8．B
【分析】
先根据已知条件得出1a >，并求出函数()2log 23=+-a y x x 的定义域，利用复合函数法即可求出该函数的单调递增区间.
【详解】
由题意可得()2log 2223log 50log 1a a a +⨯-=>=，1a ∴>.
解不等式2230x x +->，得3x <-或1x >，
函数()
2log 23=+-a y x x 的定义域为()(),31,-∞-⋃+∞，
内层函数()2
22314u x x x =+-=+-在区间(),3-∞-上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，
外层函数log a y u =在()0,∞+上为增函数，
由复合函数法可知，函数()
2log 23=+-a y x x 的单调递增区间为()1,+∞. 故选：B.
【点睛】
本题考查对数型复合函数单调区间的求解，求解时要注意求出函数的定义域，并确定出底数的范围，考查运算求解能力，属于中等题.
9．C
【分析】
利用指数幂的运算性质计算即可.
【详解】 原式111682488⎛⎫=--
---=- ⎪⎝⎭
. 故选：C.
【点睛】
本题考查指数幂的计算，考查计算能力，属于基础题.
10．A
【解析】
令1x -=0，得x =1，此时y =5．
所以函数()f x =14x a -+的图象恒过定点P (1，5)．选A ．
点睛：
（1）求函数()()g x f x m a =+（0a >且1a ≠）的图象过的定点时，可令0()0g x =，求得0x 的值，再求得0()1f x m =+，可得函数图象所过的定点为0(,1)x m +．
（2）求函数()log ()a f x m g x =+（0a >且1a ≠）的图象过的定点时，可令0()1g x =，求得0x 的值，再求得0()f x m =，可得函数图象所过的定点为0(,)x m ．
11．B
任取1x 、[]27,3x ∈--，且12x x <，利用奇函数的性质以及不等式的基本性质判断出()1f x 与()2f x 的大小关系，可判断出该函数在区间[]7,3--上的单调性，再结合不等式的基本性质可得出该函数在区间[]7,3--上的最大值，由此可得出结论.
【详解】
任取1x 、[]27,3x ∈--，且12x x <，即1273x x -≤<≤-，则2137x x ≤-<-≤， 由已知，奇函数()y f x =在区间[]3,7上是增函数，则()()12f x f x ->-，
即()()12f x f x ->-，()()12f x f x ∴<，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上是增函数，
对任意的[]7,3x ∈--，[]3,7x -∈，由题意，()5f x -≥，可得()5f x -≥，则有()5f x ≤-，
所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上有最大值5-.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的单调性、最值与奇偶性之间关系的判断，充分函数的奇偶性并结合不等式的基本性质判断是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
12．B
【解析】
本题考查函数的奇偶性，单调性.
函数是定义在上的奇函数, 在(,0)-∞上为减函数, 且;则函数在(0,)+∞上是减函数，且(2)0;f -=则不等式()0f x <等价于
00{{()(2)()(2)x x f x f f x f ><<<-或根据函数的单调性解得220.x x >-<<或故选B 13．[)
()1,11,-+∞
【分析】 根据偶次根式被开方数非负、分母不为零得出关于x 的不等式组，解不等式组即可得出该函数的定义域.
由题意可得1010
x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且1x ≠，
所以，函数()y f x =的定义域为[)
()1,11,-+∞. 故答案为：[)
()1,11,-+∞.
【点睛】 本题考查具体函数定义域的求解，要结合一些常见的求定义域的基本原则列出不等式（组）来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
14．()2135424
f x x x =
-+ 【解析】 ()2212f x x x +=-，设21x t +=，则12t x -=
，()2211135222424t t f t t t --⎛⎫∴=-⋅=-+ ⎪⎝⎭
， ()22135424f x x x ∴=-+，故答案为()2135424
f x x x =-+. 【方法点晴】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
15．023
a <<
【解析】 222
33322log 1,log log ,033a a a >∴>∴<<，a ∴的取值范围是023
a <<，故答案为023
a <<
. 16．1 【分析】
将lg50变形为lg501lg5=+，去括号后提公因式，然后利用对数的运算性质即可计算出所求代数式的值. 【详解】
原式()()2
2
2
lg 5lg2lg5lg10lg 5lg2lg51lg 5lg2lg5lg2
=+⋅+=+⋅+=+⋅+()lg5lg5lg2lg2lg5lg21=++=+=.
故答案为：1. 【点睛】
本题考查对数的计算，在计算时注意对数运算性质以及化简技巧的应用，考查计算能力，属于基础题. 17．423
log 561
ab ab b +=++
【分析】
利用对数的换底公式得出31log 2a
=，且有342
3log 56log 56log 42=，结合对数的运算性质化简计算即可. 【详解】
2log 3a =，由对数的换底公式可得31log 2a
=
， 所以，
(
)
()3
333342333333log 27log 563log 2log 73log 561log 42log 327log 3log 2log 711b ab a ab a b a
+⨯++=====⨯⨯++++++. 【点睛】
本题考查对数的化简计算，考查了对数运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．见解析 【分析】
分01a <<和1a >两种情况讨论，结合指数函数x
y a =的单调性得出指数的大小关系，解出即可. 【详解】
当01a <<时，指数函数x
y a =为减函数，由2
2
21
35
x x x
x a a -+-+>，得222135x x x x -+<-+，
解得4x <；
当1a >时，指数函数x
y a =为增函数，由2
2
21
35
x x x
x a a -+-+>，得222135x x x x -+>-+，
解得4x >.
综上所述，当01a <<时，原不等式的解集为(),4-∞；当1a >时，原不等式的解集为()4,+∞. 【点睛】
本题考查指数不等式的求解，解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于基础题.
19．（1）见解析；（2）减区间为(),0-∞，增区间为()0,∞+；（3）当0x =时，函数2
x y =取得最小值1. 【分析】
（1）将函数2x y =的解析式表示为分段函数的形式，由此可作出函数2x
y =的图象；
（2）根据函数2x
y =的图象可得出该函数的单调减区间和增区间； （3）根据函数2x
y =的图象可得出该函数的最小值及其对应的x 值.
【详解】
（1）
1,0222,
0x
x
x x y x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪==⎨⎝⎭
⎪≥⎩
，该函数的图象如下图所示：
（2）由（1）中的图象可知，函数2x
y =的减区间为(),0-∞，增区间为()0,∞+； （3）由（1）中的图象可知，当0x =时，函数2x
y =取最小值1.
【点睛】
本题考查指数型函数图象的作法以及利用图象得出函数的单调区间与最值，在作图时应将函
数2x
y =的解析式转化为分段函数的形式，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
20．（1）最大值为9.最小值为1
3
； （2）最大值为67，最小值为3. 【分析】
（1）由3x t =为增函数，代入端点即可得最值；
（2）通过换元令3x t =，得到()2
22413y t t t =-+=-+ 1,93t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，结合二次函数的性质即可得最值. 【详解】
（1）由3x t =为增函数，
所以()max 29t t ==. ()1
min 1133
t t -=-==
∴t 的最大值为9.最小值为
13
. （2）令3x t =则()()2
22413y g t t t t ==-+=-+,1,93t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
∴()()min 13g t g ==，()()max 98118467g t g ==-+= ∴()f x 最大值为67，最小值为3.
【点睛】
本题主要考查了指数函数和二次函数的单调性，以及换元法求函数最值，换元法求最值时需
要注意新元的范围.
21．(1)()1,1-；（2）见解析. 【解析】
试题分析：（1）由题意得，10
101x x x
-≠⎧⎪
+⎨>⎪-⎩，从而可得函数的定义域；
（2）先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性定义证明． 试题解析： （1）由题意得，
解得：﹣1＜x ＜1，
∴原函数的定义域为（﹣1，1）；
（2）f （x ）在（﹣1，1）上为奇函数，证明如下， ∵f （﹣x ）=log a
=log a （）﹣
1
=﹣log a
=f （x ）；
∴f （x ）在（﹣1，1）上为奇函数． 22．（1）1a =；（2）()1,1-. 【分析】
（1）由奇函数的定义得出()()0f x f x -+=，经过化简计算可求出实数a 的值；
（2）由2121
x x y -=+得出121x
y y +=--，由20x >可得出关于y 的不等式，解此不等式即可得
出函数()y f x =的值域. 【详解】
（1）函数()21
12x x
a f x ⋅-=+的定义域为R ，关于原点对称，
由于函数()y f x =为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x +-=，
即()()()()
22121212121221212121221x x
x x x x x
x
x x x x x a a a a a a f x f x ----⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-+-+-=+=+=+++++()()
1211021
x x
a a -+=
=-=+，解得1a =；
（2）由（1）知()2121x x f x -=+，令2121x x y -=+，得()2121x x
y ⋅+=-，可得121x y y +=--， 20x >，101y y +∴-
>-，即1
01
y y +<-，解得11y -<<. 因此，函数()y f x =的值域为()1,1-. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了指数型函数值域的求解，考查运算求解能力，属于中等题.。