(易错题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案解析

（易错题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案解
析
一、选择题
1．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0
-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22
x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
注意到22x xy 2y --可分解为
，从而将原高次方程组转换为两个二元一次
方程组求解.
【详解】
解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0
-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2
=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22
x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.
2．解方程组()()22x y x y 0x y 8⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩
. 【答案】11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】
【分析】
先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．
【详解】
解：由原方程组变形得：22x y 0x y 8⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②， 22x-y 0x y 8⎧=⎪⎨+=⎪⎩
③④ 由①变形得：y=-x ，
把y=-x 代入②得：22x -x 8+=（），解得12x =2x =-2，，
把12x =2x =-2，代入②解得：12y =-2y =2，，
所以解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩
，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 由③变形得：y=x ，
把y=x 代入②得：22x x 8+=，解得34x =2x =-2，，
把34x =2x =-2，代入②解得：34y =2y =-2，，
所以解为：33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 综上所述解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．
3．解方程组：
⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612
x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2
{1x y ==-；（2）3{45
x y z ===
【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．
（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.
（1）2
{1x y ==- ； (2) 3{45
x y z ===
“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.
4．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．
（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；
（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当
x= ，两车相距25千米的路程.
【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30
【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.
（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)
甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）
又∵两车同时到达B 地，
∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.
（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176
）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086
k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.
（3）6730 h 或7730
“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．
5．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】
【分析】
由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.
【详解】
222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
①② 由②得：2()1x y -=，
∴1x y -=或1x y -=-
把上式同①联立方程组得：
231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩．
6．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．
详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
①② 由②得2
(2)1x y -=，
所以21x y -=③，21x y -=-④
由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩
，23
21x y x y +=⎧-=-⎨⎩
解方程组23
21x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{
11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 所以原方程组的解为：11
11x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
7．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩
【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩
由②得，()224x y -= ③，
把①代入③，得
()2
214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，
即：()224x +=，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x 1=-4,x 2=0,
把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.
所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
8．解方程组
【答案】原方程组的解为：，
【解析】
【分析】
把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.
【详解】 解：
把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，
x 2+4x =0，
解得：x =-4或x =0，
当x =-4时，y =-3，
当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】
本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
9．解方程组：
222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
【答案】1212
14,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】
【分析】
先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩
，然后解这两个方程组即可．
【详解】
222(1)20
(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0， x ＋y ＝0或x−2y ＝0，
原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220
x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：1212
1412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】
此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．
10．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】1144x y =⎧⎨
=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．
【详解】
解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．
∴x −y ＝0或x−2y ＝0，
原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220x y x y +=⎧⎨-=⎩
， 解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨=⎩，2263
x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．
11．解方程组:223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
【答案】1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； 【解析】
【分析】
由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.
【详解】
解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
①②， 由②得：3x y =+③，
把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，
整理得：26390y y +-=，
∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，
∴用求根公式法，得
y =， 解得：1=1y ，232y =-
； ∴14x =，232
x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
12．解方程组222221690
x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
【详解】
解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩
①② 由①，得(x ﹣y )2＝16，
所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．
由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，
即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0
所以原方程组可化为：
430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430
x y x y -=-⎧⎨-=⎩
解这些方程组，得
1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.
13．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩
①②． 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.
【详解】
解：由②得()()310x y x y ---+=，
得30x y --=或10x y -+=，
原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨
=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.
14．（1
）解方程组：221104100
x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩
【答案】（1
）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】
【分析】
（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；
（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
【详解】
（1
）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①② 由②
410y =-
两边平方化简得：22(1042)x y -=，即22
84050x y y -+=
代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --= 解得：3y =或139
y = 将3y =代入②
12100-+=
，解得：x =将139y =代入②
1341009-⨯+=
，解得：x =
故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩
去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩
①② +①②得：55x =-，解得：1x =-
将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-
故原方程组的解为16x y =-⎧⎨
=-⎩
. 【点睛】
本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.
15．解方程组：2241226x y x y ⎧-=⎨+=⎩①②
． 【答案】41x y =⎧⎨=⎩
． 【解析】
【分析】
将①分解因式可得(2)(2)12x y x y -+=，再将将②代入③后得22x y -=，然后与②组成可得
【详解】
解：由①得(2)(2)12x y x y -+=．③
将②代入③，得22x y -=．④
得方程组2226
x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得41x y =⎧⎨=⎩
， 所以原方程组的解是41x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．
16．已知方程组222603
x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的
解.
【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；
【详解】
解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩
①② 把②代入①后计算得()22
2112120m x mx +++=，
∵方程组有两组相等的实数解，
∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，
解得：1m =±，
当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩
当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．
17．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②
． 【答案】110
{1x y ==-，2243{13x y =-=． 【解析】
试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．
原方程可化为：22
{1x y x y -=+=-，22{1
x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110
{1x y ==-，2243
{13x y =-=．
考点：高次方程．
18．解方程：
【答案】
【解析】 解：原方程组即为
···································· （2分）
由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分）
解得，
························································ （2分） 代人得
19．解方程22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
①② 【答案】114,2x y =⎧⎨
=⎩，22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】 先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．
【详解】
2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，
所以：20x y -=或0x y +=
原方程组可以化为：2,20x y x y -=⎧⎨-=⎩（Ⅰ）与2,0x y x y -=⎧⎨+=⎩
（Ⅱ） 解（Ⅰ）得4,2x y =⎧⎨=⎩，解（Ⅱ）得1,1x y =⎧⎨=-⎩
答：原方程组的解为114,2x y =⎧⎨=⎩与22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．
20．解方程组22224024
x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩． 【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩334,2;x y =⎧⎨=⎩44
4,2.x y =-⎧⎨=-⎩
【解析】
【分析】
由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．
【详解】
22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②
， 由①得
(x+2y)(x-2y)=0，
∴x+2y=0或x-2y=0，
由②得
(x-y)2=4，
∴x-y=2或x-y=-2，
∴原方程组可化为
202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩
， 分别解这四个方程组得
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。