八年级数学寒假班讲义二第8讲-期中复习(一)

1对3辅导讲义
学员姓名：学科教师：
年级：八年级辅导科目：数学
授课日期时间
主题第8讲-期中备考（一）
学习目标
1.解决在一次函数背景下的特殊三角形存在问题中，熟练掌握分类讨论思想；
2.期中模拟测试．
教学内容
（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

（二）上次预习思考内容讨论分享（此环节设计时间在10－15分钟）
案例：如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（3，0），点C(0，4)，直线l经过点C；
（1）若在x轴上方直线l上存在点E使ABE
∆为等腰直角三角形，求直线l的解析式；
（2）若在x轴上方直线l上存在点F使ABF
∆为有一个角为30°的直角三角形，这样的直线l有条.
参考答案：（1）
3
4
2
y x
=-+或24
y x
=-+或
2
4
3
y x
=-+；（2）6（此环节设计时间在40－50分钟）
【知识梳理】
知识点一：一次函数的概念
1、一般的解析式形如：b kx y += （b k ,是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。

2、一次函数的定义域是一切实数。

3、当0=b 时，解析式b kx y +=就成为kx y =（k 是常数，且0≠k ），这时x y 是的正比例函数。

4、一般的，我们把函数c =y （c 为常数）叫做常值函数。

它的自变量由所讨论的问题决定。

知识点二：一次函数的图像与性质
1、一般地，一次函数b kx y +=（b k ，是常数，且0k ≠）的图像是一条直线
2、一般地，直线b kx y +=（0≠k ）与y 轴的交点坐标是（0，b ）。

直线b kx y +=（0≠k ）的截距是b 。

3、一般地，一次函数b kx y +=（0b ≠）的图像可由正比例函数kx y =的图像平移得到。

当0>b 时，向上平移b 个单位；当0<b 时，向下平移b 个单位。

如果21b b ≠，那么直线1b kx y +=与直线2b kx y +=平行。

反过来，如果，直线11b x k y +=与直线22b x k y +=平行，那么21k =k ，21b ≠b 。

4、由一次函数b kx y +=的函数值0>y （或0<y ），就得到关于x 的一元一次不等式0>+b kx （或0<+b kx ）
，在一次函数b kx y +=的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，他们的横坐标的取值范围就是不等式0>+b kx （或0<+b kx ）的解集。

5、一般来说，一次函数b kx y +=（b k ,为常数，且0≠k ）具有以下性质： 、a 当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大； 、b 当0<k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小。

6、正比例函数是特殊的一次函数，它的性质与一次函数的性质是一致的。

7、直线b kx y +=（0,0≠≠b k ）过点（0，b ）且与直线kx y =平行。

由直线kx y =在直角坐标平面内的位置情况可知：
、a 当0>k ，且0>b 时，直线b kx y +=经过第一、二、三象限； 、b 当00<>b k ，且时，直线b kx y +=经过第一、三、四象限； 、c 当00><b k ，且时，直线b kx y +=经过第一、二、四象限； 、d 当00<<b k ，且时，直线b kx y +=经过第二、三、四象限。

把上述判断反过来叙述也是正确的
【例题精讲】
例1.如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点A （2，-3），与x 轴交于点B ，且与直线8
33
y x =-平行。

（1）求直线l 的函数解析式及点B 的坐标；
（2）如直线l 上有一点M （a ，-6），过点M 作x 轴的垂线，交直线8
33
y x =-
于点N ，在线段MN 上求一点 P ,使PAB ∆是直角三角形，请求出点P 的坐标.
参考答案：
解：（1）设直线l 的解析式为(0)y kx b k =+≠
∵直线l 平行于8
33
y x =-
， ∴3k = ∵直线l 经过点A （2，—3）， ∴9b =-
∴直线l 的解析式为39y x =-，点B 坐标为（3，0）
（2）∵点M （a ，—6）在直线l 上，∴1a =，则可设点P （1，y ）
∵1
(1,)3N ，∴y 的取值范围是163
y -≤≤
①当AB 为斜边时，P A ²+ PB ²= AB ²，2
2
1(3)410y y ++++=， 解得1y =-或2y =-，∴(1,1),(1,2)P P --
②当PB 为斜边时，P A ²+ AB ²= PB ²，2
2
1(3)104y y +++=+ 解得83y =-
，∴8(1,)3
P - ③当P A 为斜边时，PB ²+ AB ²= P A ²，2
2
1041(3)y y ++=++ 解得2
3
y =
（舍去） ∴综上所述，点P 的坐标为1238(1,1),(1,2),(1,)3
P P P ---
例2.如图，P 是y 轴上一动点，平行于y 轴的直线(0)x t t =<分别交直线37y x =+和直线1
2
y x =-
于 点D C 、（点C 在点D 上方），是否存在t ，使得PCD ∆是等腰直角三角形？若存在，请求出t 的值及相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
x
y
B
N
O
A
M
参考答案：存在，作PH ⊥CD 于点H ∵△PCD 是等腰直角三角形 ∴H 为CD 中点 ∴CD =2PH
设C （t ，3t +7）、D （t ，12t -）
∴17
37()722
CD t t t =+--=+，PH t =-
∴7722t t +=-，解得1411
t =- ∴1435147(,)(,)11111111C D --、 ； ∴1421(,)1111H -
∴21
(0,)11
P
例3.如图，直线()0≠+=b b x y 交坐标轴于B A 、两点，交双曲线x
y 2
=于点D ，过D 作两坐标轴的垂线DC 、DE ，连接OD ．
（1）求证：AD 平分∠CDE ；
（2）对任意的实数()0≠b b ，求证AD ·BD 为定值；
（3）是否存在直线AB ，使得四边形OBCD 为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
x
–1–2
–3
–4
1
2
3
4
–1
–2–3
–4
1
2345678D
C
O P
参考答案：（1）证明：略，（2）定值为4，（3）存在直线y =x -1，使得四边形为平行四边形
此环节设计时间在80分钟左右（60分钟练习＋20分钟互动讲解）。

第二学期期中模拟测试卷（一）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列函数的解析式中，表示一次函数的是（ ）
A ．12
+=x y
B ．5-=y
C ．x
y 3
=
D ．x y 21-=
2．一次函数32+=x y 的图像经过（ ）
A ．一、二、三象限
B ．一、三、四象限
C ．一、二、四象限
D ．二、三、四象限
3．下列方程中，有实数解的是（ ） A ．123-=-++x x B ．3112=+-x
C ．011=-+
+x x
D ．54-=-x x
4．下列方程中，是二元二次方程的为（ ）
A ．04322=-+x x
B ．02
=+x y
C ．0732
=--+y x
D ．03
1
2=-+
x y 5．围甲联赛2010赛季共有110场赛事（分主客场进行双循环比赛），设有x 支队参加，所列的方程是（ ） A ．110)1(=-x x
B ．110)1(=+x x
C ．110)1)(1(=-+x x
D ．
110)1(21
=-x x
6.如图，从一个长10分米，宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下的长方形框四周宽度一样。

如果设这个宽度为x 分米，那么所列出的方程是（ ）
A ．60810)8)(10(-⨯=--x x A B
C
E O D
x
y
B ．60)8)(10(=--x x
C ．60)28)(210(=--x x
D ．60)8)(10(2=--x x
7．若点),2(m P -，点),2(n Q 是直线k x y +-=3（k 为常数）上一点，则n m 、的大小关系是（ ）
A ．n m >
B ．n m =
C ．n m <
D ．无法确定
8．如图，当x 取何值时，函数的图象在第四象限？（ ） A ．2>x ； B ．1-<x
C ．21<<-x ；
D ．20<<x
二、填空题（每题2分，共24分）
9．直线43-=x y 在y 轴上的截距是_____________。

10．方程x
x 3
21=-的根x ＝_____________。

11．方程31=+x 的根x ＝_____________。

12．把方程422
2=+-y xy x 化为两个二元一次方程，它们是___________________和_________________。

13．如果625
)(+=
x x f ，那么=-)2(f _________________。

14．将函数14
3
-=x y 向下平移3个单位可得到函数的解析式为________________。

x
y
–1
12
–1
1
O
15．如果函数3)1(+-=x m y 是一次函数，那么m 的取值范围是_______________。

16．方程03224=--x x 有___________个实数根。

17．某超市一月份的营业额为500万元，三月份的营业额为800万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列得方程为______________________。

18．方程组⎩
⎨
⎧==+158
xy y x 的解是_______________。

19．用换元法解方程311222=-+-x x x x 时，如果设y x x
=-1
22，那么原方程可化为关于x 的整式方程，它可
以是___________________。

20．如图，在直角梯形ABCD 中，DC //AB ，∠A ＝90°，AB ＝28cm ，DC ＝24cm ，AD ＝4cm ，点M 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点C 运动，点N 从点B 同时出发，以2cm /s 的速度向点A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，求四边形ANMD 的面积y （cm 2）与两动点运动的时间t （s ）的函数解析式________ __________。

三、解答题（第21、22、23、24题每题6分，第25、26题每题9分，第27题10分，满分52分） 21．解方程：0652
3
=+-x x x 22．方程组：)2()
1(3
04322⎩⎨⎧=-=--y x y xy x
23．解方程：11
11
22
+-=-x x 24．解方程71-=--x x
D
A
B
C
M
N
25．已知直线b kx y +=经过点A （2,2）、B （1,4），交x 轴于点M ，将直线b kx y +=平移后交x 轴于点N ，O 为坐标原点，且有ON 等于OM 的2倍。

（1）求出这条直线b kx y +=的函数解析式； （2）直接写出直线b kx y +=平移后的函数解析式。

26．某班组原计划在若干天内加工120零件，由于采用了新工艺，每天比原计划多加工2个，实际加工了180个，仅比原计划的时间多3天。

求原计划每天加工多少个零件？
27．如图，函数m x x
m
y ,0(>=
是常数）的图像经过A （1,4）
、B （a ，b ），其中1>a ，过点B 作y 轴垂线， 垂足为D ，联结AD ，ABD ∆的面积为6. （1）求点B 、D 坐标；求三角形AOB 的面积；
（2）在坐标轴上是否存在点P ，使得线段P A ＋PB 的和最小？若不存在，说明理由，若存在，请求出点P 的坐标。

参考答案：
一、1．D ； 2．A ； 3．B ； 4．B ； 5．A ； 6．C ； 7．A ； 8．D ．
二、9．—4； 10．3x =； 11．8； 12．2,2x y x y -=-=-； 13．1； 14．3
44
y x =-； 15．1m ≠； 16．2； 17．2
500(1)800x +=； 18．121235,53
x x y y ==⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩； 19．2
2310y y -+=； 20．562y t =-．
三、21．1230,2,3x x x ===； 22．2112342
,132
x x y y ⎧=
⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-
⎪⎩； 23．2x =； 24．10x =； 25．（1）26y x =-+； （2）212y x =-+，212y x =--； 26．8个或10个； 27．（1）152； （2）存在，1717
(,0)(0,)55
和．
x
y
D B
A
O
1．一次函数24y x =+的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形， 求点M 的坐标．
解：由A （-2，0），B （0，4），得222425AB =+=．
当△ABM 为等腰三角形时，得AB = AM 或AB = BM 或AM = BM ．
①当AB = AM 时，得25AM =，
∴点M 的坐标为M 1（252-，0）、M 2（252--，0）． ②当AB = BM 时，由OB ⊥AM ，得OM = OA = 2． ∴点M 的坐标为M 3（2，0）． ③当AM = BM 时，即得 AM 2 = BM 2． 设点M 的坐标为（x ，0）．
利用两点间的距离公式，得 2
2
2
(2)4x x +=+． 解得 x = 3．得点M 的坐标为M 4（3，0）．
∴所求点M 的坐标为M 1（252-，0）、M 2（252--，0）、M 3（2，0）、M 4（3，0）．
2．如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线(0)x t t =>，使它与直线y x =和直线
1
22
y x =-+分别交于点E D 、（点E 在点D 上方）
，且PDE ∆是等腰直角三角形。

若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案：8(0,)7
P
x
y D E O
P
期中小测试（代数方程部分） 时间30分钟
1．x x 83=的解是____________________。

2．方程x x =+12的根是________________。

3．当m ＝________时，关于x 的分式方程
23
3-=+-x m x 无实数解。

4．用换元法解方程01113=+-+-x x x x 时，如果设y x x =-1，那么原方程可化为关于y 的整式方程，它可以是________________。

5．下列方程中，有实数解的是（ ）
A 、x x -=+2
B 、2211=---x x
C 、1=-+x x
D 、142=+x
6．某工程甲独做x 天完成，乙独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲独做3天才能全部完成，下列方程中符合题意的是（ ）
A ．1358=-+x x
B ．135)311(
=+⨯++x x x C ．1)131(533=+-+-x x x D ．1385=++x x 7．解下列方程（组）
（1）．01244)(222=-+--x x x x
（2）．21122442++=-+-x x x x
（3）．1123++=x x （4）．解方程组：⎩⎨⎧=-=--304322y x y xy x
参考答案：
1．12302222x x x ===-，，； 2．4x =； 3．9-； 4．2
310y y ++=；
5．A ； 6．B ； 7．（1）1232x x ==-，； （2）1x =-； （3）89x =； （4）1141x y =⎧⎨=⎩，223232
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。