广东省揭阳三中高一数学上学期第一次段考试卷(含解析)

2015-2016学年广东省揭阳三中高一（上）第一次段考数学试卷
一．选择题（共12小题，每题5分，共60分，每题只有一个符合题意的选项）
1．设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）
A．{1，3，1，2，4，5} B．{1} C．{1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
2．下列对应关系：
①A={1，4，9}，B={﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}，f：x→±
②A=R，B=R，f：x→
③A=R，B=R，f：x→x2﹣2
④A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数平方
其中是A到B的映射的是（）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
3．下列各组函数表示同一函数的是（）
A．f（x）=x+1，g（x）=B．f（x）=1，g（x）=x0
C． D．f（x）=g（t）=|t|
4．函数y=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）一定经过的定点是（）
A．（0，1） B．（1，1） C．（1，2） D．（1，3）
5．已知函数，则f（1）﹣f（3）=（）
A．﹣2 B．7 C．27 D．﹣7
6．若A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∩B=B，则x=（）
A．0，或﹣1或2 B．﹣1或﹣2或2 C．﹣1或1或2 D．0或，﹣2或2
7．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，5）上为减函数，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）
8．函数y=﹣x+b与y=b﹣x（其中b＞0，且b≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．
D．
9．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时f（x）=10x，则f（﹣2）的值是（）
A．﹣100 B．C．100 D．
10．已知函数y=f（x）在R上为减函数，且f（0）=1，f（1）=0，则f（x）＞0的解集是（）
A．（0，+∞）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）
11．已知偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．B．
C．D．
12．若x∈R，n∈N*，规定： =x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），例如： =（﹣4）•（﹣3）•（﹣2）•（﹣1）=24，则f（x）=x•的奇偶性为（）
A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．函数的定义域为．
14．已知函数f（x）满足关系式f（x+2）=﹣2x+5，则f（5）= ．
15．已知集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣y=4}，那么集合A∩B为．16．定义运算：则函数f（x）=3﹣x⊗3x的值域为．
三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．计算：
（1）（2）﹣（﹣7.8）0﹣（3）+（）﹣2
（2）（）•．
18．A={x|2≤x≤6}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，
（1）A∪B，∁R（A∩B）
（2）若C={x|a﹣4＜x≤a+4}，且A⊆C，求a．
19．已知函数f（x）=x2+
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．
20．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1﹣x）=x2﹣3x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）﹣（1+2m）x+1（m∈R）在上的最小值为﹣2，求m的值．
21．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[0，]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范围．
2015-2016学年广东省揭阳三中高一（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（2010秋•长春校级期末）设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）
A．{1，3，1，2，4，5} B．{1} C．{1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B．
【解答】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，
∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．
故选C．
【点评】本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．下列对应关系：
①A={1，4，9}，B={﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}，f：x→±
②A=R，B=R，f：x→
③A=R，B=R，f：x→x2﹣2
④A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数平方
其中是A到B的映射的是（）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【考点】映射．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据映射的概念，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，观察几个对应，得到只有对于①②，A中有元素在象的集合B中有两个或没有元素与之对应，它们不是映射．
【解答】解：根据映射的概念，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，
对于①，集合中的1，4，9在集合B中都有两个的元素与它对应，故不是映射；
对于②，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，故不是映射；
对于③，集合A中的元素x∈R，在集合B中都有唯一的元素x2﹣2与它对应，故是映射；对于④，集合A中的﹣1，0，1在集合B中都有唯一的元素与它对应，故是映射；
其中是A到B的映射的是③④．
故选C．
【点评】本题考查映射的概念及其构成要素，考查判断一个对应是不是映射，本题还考查一些特殊的数字的特殊的特点，本题是一个基础题．
3．下列各组函数表示同一函数的是（）
A．f（x）=x+1，g（x）=B．f（x）=1，g（x）=x0
C． D．f（x）=g（t）=|t|
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】阅读型．
【分析】要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察四个选项结果有三个的定义域不同，只有选D．
【解答】解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，
即定义域，对应法则和值域，
A选项两个函数的定义域不同，
B选项两个函数的定义域不同，
C选项两个函数的定义域不同，
故选D．
【点评】本题考查判断两个函数是否是同一函数，在开始学习函数的概念时，这是经常出现的一个问题，注意要从三个方面来分析．
4．函数y=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）一定经过的定点是（）
A．（0，1） B．（1，1） C．（1，2） D．（1，3）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用a0=1（a＞0且a≠1）即可得出．
【解答】解：令x=1，则y=a0+2=3，
∴函数y=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）一定经过的定点（1，3）．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的性质，属于基础题．
5．已知函数，则f（1）﹣f（3）=（）
A．﹣2 B．7 C．27 D．﹣7
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】根据函数的解析式求f（1）=f（1+3）=f（4）=17，及f（3）=10，代入式子求值．【解答】解：∵，
∴f（1）=f（1+3）=f（4）=17，f（3）=10，
则f（1）﹣f（3）=7，
故选B．
【点评】本题考查了分段函数求值问题，关键是看准自变量的范围，再代入对应的关系式求值．
6．若A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∩B=B，则x=（）
A．0，或﹣1或2 B．﹣1或﹣2或2 C．﹣1或1或2 D．0或，﹣2或2
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合．
【分析】由A∩B=B转化为B⊆A，则有x2=4或x2=x求解，要注意元素的互异性．
【解答】解：∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴x2=4或x2=x，
∴x=﹣2，x=2，x=0，x=1（舍去）．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的子集运算，及集合元素的互异性．
7．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，5）上为减函数，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】分析函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的图象和性质，结合已知可得5≤1﹣a，解得答案．
【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1﹣a为对称轴的抛物线，
若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，5）上为减函数，
∴5≤1﹣a，
解得：a∈（﹣∞，﹣4]，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
8．函数y=﹣x+b与y=b﹣x（其中b＞0，且b≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．
D．
【考点】指数函数的图象与性质；一次函数的性质与图象．
【专题】计算题．
【分析】由已知中一次函数的k=﹣1，可知函数y=﹣x+b的图象过I、II、IV象限，故A，B 一定不正确，而C、D两个答案中函数y=b﹣x（其中b＞0，且b≠1）的图象从左到右均为上升的，根据指数函数的图象与性质，易得到0＜b＜1，分析函数y=﹣x+b的图象与Y轴交点的位置，即可得到答案．
【解答】解：∵函数y=﹣x+b的图象是一条直线，
函数y=b﹣x的图象是一条曲线，
又由k=﹣1＜0，b＞0，故函数y=﹣x+b的图象过I、II、IV象限
故可以排除A、B答案
又由C、D中函数y=b﹣x的图象都是上升的
故0＜b＜1，则函数y=﹣x+b的图象与y轴的交点在（0，1）点下方
故选C
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，一次函数的性质与图象，其中根据函数解析式中系数或底数分析出函数的图象的大致形状，是解答本题的关键．
9．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时f（x）=10x，则f（﹣2）的值是（）
A．﹣100 B．C．100 D．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据函数f（x）是R上的奇函数将f（﹣2）转化成求f（2）的值，代入当x＞0时f（x）的解析式中即可求出所求．
【解答】解：函数f（x）是R上的奇函数则f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（﹣2）=﹣f（2）
∵当x＞0时，f（x）=10x，
∴f（2）=100
则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣100
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，通常将某些值根据奇偶性转化到已知的区间上进行求解，属于基础题．
10．已知函数y=f（x）在R上为减函数，且f（0）=1，f（1）=0，则f（x）＞0的解集是（）
A．（0，+∞）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据条件便可得出f（x）＞f（1），f（x）在R上为减函数，从而得出x＜1，这便得出了原不等式的解集．
【解答】解：由f（x）＞0，f（1）=0得：f（x）＞f（1）；
f（x）在R上为减函数；
∴x＜1；
∴f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）．
故选：D．
【点评】考查减函数的定义，根据减函数定义解不等式的方法．
11．已知偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．B．
C．D．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由条件可得函数在[2，+∞）上是减函数，故自变量的绝对值越小，对应的函数值越大．再根据|4|＞|﹣|＞|﹣3|，可得f（﹣3）、f（﹣）、f（4）的大小关系．
【解答】解：由于偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，
故函数在[2，+∞）上是减函数，故自变量的绝对值越小，对应的函数值越大．
再根据|4|＞|﹣|＞|﹣3|，故有f（﹣3）＜f（﹣）＜f（4），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．
12．若x∈R，n∈N*，规定： =x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），例如： =（﹣4）•（﹣3）•（﹣2）•（﹣1）=24，则f（x）=x•的奇偶性为（）
A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】新定义．
【分析】根据定义先求出函数f（x）=x•的表达式，然后利用函数奇偶性的定义进行判断．
【解答】解：由定义可知，f（x）=x•=x（x﹣2）（x﹣1）（x）（x+1）（x+2）=x2（x2﹣1）（x2﹣4），
因为f（﹣x）=x2（x2﹣1）（x2﹣4）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数不是奇函数．
故选B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用新定理求出函数f（x）的表达式，是解决本题的关键．
二．填空题
13．函数的定义域为[﹣4，﹣2）∪（﹣2，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】求这个函数的定义域即要满足偶次开方非负，即x+4≥0，及分母不为0，即x+2≠0，进而求出x的取值范围．
【解答】解：由x+4≥0且x+2≠0，得x≥﹣4且x≠﹣2．
故答案为：[﹣4，﹣2）∪（﹣2，+∞）
【点评】求定义域经常遇到偶次开方时的被开方数一定非负，分母不为0，对数函数的真数一定要大于0的情况．
14．已知函数f（x）满足关系式f（x+2）=﹣2x+5，则f（5）= ﹣1 ．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】令x+2=5，则x=3，代入f（x+2）=﹣2x+5，可得答案．
【解答】解：令x+2=5，则x=3，
∵f（x+2）=﹣2x+5，
∴f（5）=﹣2×3+5=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．
15．已知集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣y=4}，那么集合A∩B为{（3，﹣1）} ．【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】联立A与B中的方程组成方程组，求出方程组的解集即可确定出A与B的交集．【解答】解：联立得：，
解得：，
则A∩B={（3，﹣1）}．
故答案为：{（3，﹣1）}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
16．定义运算：则函数f（x）=3﹣x⊗3x的值域为（0，1] ．
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【专题】计算题；新定义．
【分析】作出f（x）=3﹣x⊗3x的图象，结合图象能求出函数f（x）=3﹣x⊗3x的值域．
【解答】解：如图为y=f（x）=3﹣x⊗3x的图象（实线部分），
由图可知f（x）的值域为（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】本题考查指数函数的性质和应用，解题时作出图象，数形结合，事半功倍．
三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．计算：
（1）（2）﹣（﹣7.8）0﹣（3）+（）﹣2
（2）（）•．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质即可得出．
【解答】解：（1）原式=﹣1﹣+=﹣1﹣+=．（2）原式=•==．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．A={x|2≤x≤6}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，
（1）A∪B，∁R（A∩B）
（2）若C={x|a﹣4＜x≤a+4}，且A⊆C，求a．
【考点】子集与交集、并集运算的转换．
【专题】集合．
【分析】（1）由A与B，即可求出两集合的并集和交集；再由全集R及集合A与B的交集，求出A∩B的补集即可；
（2）根据A⊆C，由A与C求出a的范围即可．
【解答】解：（1）A={x|2≤x≤6}，B={x|x≥3}，
∴A∩B={x|3≤x≤6}，
∴C R（A∪B）={x|x＜3或x＞6}；
（2）∵C={x|a﹣4＜x≤a+4}，且A⊆C，
∴，
∴2≤a＜6
【点评】此题考查了并集、交集及其运算，熟练掌握并集、交集的定义是解本题的关键．
19．已知函数f（x）=x2+
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．
【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用分母不为0，可得函数f（x）的定义域；
（2）利用函数奇偶性的定义，判断f（x）的奇偶性；
（3）利用单调性的定义，判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
∴f（﹣x）=x2﹣≠f（x），
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（3）任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=（x12+）﹣（x22+）=（x1+x2）（x1﹣x2）+
=（x1﹣x2）（x1+x2﹣）．
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＞，
所以f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1﹣x）=x2﹣3x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）﹣（1+2m）x+1（m∈R）在上的最小值为﹣2，求m的值．【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）令t=1﹣x，则x=1﹣t，利用换元法，根据f（1﹣x）=x2﹣3x+3．可得函数f （x）的解析式；
（2）根据（1）中函数f（x）的解析式，求出函数g（x）的解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行分类讨论，可得答案．
【解答】解：（1）令t=1﹣x，则x=1﹣t
∵f（1﹣x）=x2﹣3x+3．
∴f（t）=（1﹣t）2﹣3（1﹣t）+3=t2+t+1．
即f（x）=x2+x+1．
（2）由（1）得g（x）=f（x）﹣（1+2m）x+1=x2﹣2mx+2=（x﹣m）2+2﹣m2，x∈
若m≥，则当x=m时，g（x）取最小值2﹣m2=﹣2，
解得m=2，或m=﹣2（舍去）
若m＜，则当x=时，g（x）取最小值﹣3m=﹣2，
解得m=（舍去）
综上可得：m=2
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的最值及其几何意义，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
21．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[0，]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范围．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）令x=1，y=0得f（0）的方程，解方程即可得出；
（2）y=0，可得f（x）的方程，即可解出f（x）的解析式；
（3）f（x+3）＜2x+a可化为a＞x2+5x在x∈[0，]恒成立，转化为a＞（x2+5x）max，求最值即可．
【解答】解：（1）令x=1，y=0得f（1+0）﹣f（0）=2，
又f（1）=0，可得f（0）=﹣2，
（2）令y=0，可得f（x）﹣f（0）=x（x+1），
所以f（x）=x2+x﹣2，
（3）x∈[0，]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，即x∈[0，]时，a＞x2+5x+10恒成立．
∴a＞（x2+5x+10）max，
因为x2+5x+10在[0，]单调增，所以最大值为．
所以a的范围是a＞．
【点评】抽象函数的求解问题，合理赋值是解答的关键，函数恒成立求参数取值范围问题一般要转化为最值问题．。