山东省烟台市莱州土山中学2020-2021学年高三数学理期末试卷含解析

山东省烟台市莱州土山中学2020-2021学年高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设数列的前项和为，若，则（）
A．B． C．
D．
参考答案：
B
2. 以下四个命题中，其中真命题的个数为( )
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②对于命题p：?x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0；
③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1
④命题p：“x＞3“是“x＞5“的充分不必要条件．
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样；
对于②，运用特殊值判断出错误命题，
对于③两个随机变量的线性相关性即可判断出真假．
对于④根据两者的范围大小判断．解答：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，命题不正确不正确，
②命题p：?x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0，命题正确．
③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于±1，命题不正确．
④命题p：“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件，命题不正确；
故选：A
点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、随机变量的相关性、以及抽样方法，考查了推理能力，属于基础题．
3. 中，若且，则的形状是( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 直角三角形
参考答案：
C
略
4. 如图的几何体是长方体的一部分，其中
则该几何体的外接球的表面积为
(A (B)
(C) ( D)
参考答案：
【知识点】几何体的结构. G1
B解析：该几何体的外接球即长方体的外接球，而若长方体
的外接球半径为R ，则长方体的体对角线为2R，所以
，所以该几何体的外接球的表面积，故选 B.
【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体的外接球的关系，进而得结论.
5. 已知且关于的函数在上有极值,则与的夹角范围是（）
A、 B、 C、
D、
参考答案：
B
略
6. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，其中PC⊥底面ABC，底面ABC是一个三边分别为，，2的三角形，PC=2．利用勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理即可判断出结论．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，其中PC⊥底面ABC，底面ABC是一个三边分别为，，2的三角形，PC=2．
由，可得∠A=90°．
又PC⊥底面ABC，∴PC⊥BC，PC⊥AC．
又三垂线定理可得：AB⊥AC．
因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为4．
故选：C．
7. 已知，函数，若满足关于x的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（）
A. B．
C． D．
参考答案：
C
8. 已知等差数列的首项和公差均不为零，且，，成等比数列，
则 ( )
A．6 B． 5 C． 4 D．3
参考答案：
D
∵，，成等比数列，∴，∴，∴，
又，，∴，∴，∴，故应选D．9. 等比数列的前项和为,,则（）
A ．54
B ．48
C ．32
D ．16 参考答案：
D
10. 若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，在约束条件下，目标函数的最大值为，则所取的值
为
参考答案：
； 12. 已知函数
（
为常实数）的定义域为
，关于函数
给出下列命题：
①
对于任意的正数，存在正数，使得对于任意的，都有
．
②当
时，函数存在最小值；
③若时，则一定存在极值点；
④若
时，方程
在区间（1，2）内有唯一解
其中正确命题的序号是
参考答案：
②③④ 略
13. 已知集合
若
，则实数的取值范围是
，
其中= 。

参考答案：
4
略
14. 如图，程序结束输出的值是______。

参考答案：
91
15. 设，函数的图象若向右平移个单位所得到的图象与原图象
重合，若向左平移个单位所得到的图象关于轴对称，则
的值为 .
参考答案： 16. 若，则=__________。

参考答案：
17. （几何证明选讲选做题） 如右图，在梯形中，//，与相交于，
过
的直线分别交
、
于、
，且
//
，
若=12，=20，则= .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x）=x2+alnx，（a＜0）．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可
【解答】解：（1）函数f（x）=x2+alnx的导数为f′（x）=x+，
由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，
可得2+=，解得a=﹣3；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=，
当a＜0时，f′（x）=，
当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）；
（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x
=﹣x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，
问题等价于求函数F（x）的零点个数．
当a≤﹣1时，F′（x）=﹣x+1﹣a+=﹣，
①当a=﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减，
由F（3）=﹣+6﹣ln3=﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0，
由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；
②当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减，由极小值F（1）=﹣+（1﹣a）+aln1=﹣a＞0，
极大值F（﹣a）=﹣a2+a2﹣a+aln（﹣a）=a2﹣a+aln（﹣a）＞0，
由x→+∞时，F（x）→﹣∞，
可得F（x）存在一个零点．
综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1．
19. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a=2，b=2，cosA=且c＜b．（1）求c的值；
（2）求△ABC的面积及AB边上的高．
参考答案：
【考点】解三角形．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】（1）由题意和余弦定理可得c的方程，解方程由c＜b可得；
（2）S=bcsinA，代值计算可得，设AB边上的高为h，由等面积可得h的方程，解方程可得．
【解答】解：（1）由题意和余弦定理可得22=（2）2+c2﹣2?2c?，
解得c=2或c=4，由c＜b可得c=2；
（2）△ABC的面积S=bcsinA==，
设AB边上的高为h，由等面积可得×2h=，
解得h=．
【点评】本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
20. （本小题满分分）
已知动圆的圆心为点,圆过点且与直线相切.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)若圆与圆相交于两点，求的取值范围.
参考答案：
(Ⅰ)解法1:依题意,点到点的距离等于点到直线的距离, ………1分
∴点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. …………2分
∴曲线的方程为
. ………………………………………3分
解法2:设点的坐标为，依题意,得，………………………1分∴
. ………………………………………2分
化简得.
∴曲线的方程为
. ………………………………………3分
(Ⅱ) (Ⅱ)解法1：设点，则圆的半径为.………………………4分
∴圆的方程为. ①………………………5分
∵圆, ②
①②得直线的方程为. …………6分
∵点在曲线上,
∴,且.
∴点到直线的距离为.
……………………………………7分
∵圆的半径为,
∴. …………………8分
. …………………9分∵,
∴.
∴. ………………………………………………………10分
∴. ………………………………………………………11分
∴.
∴的取值范围为. ……………………………………12分解法2：设点，点到直线的距离为,
则点到直线的距离为. ……………………………………4分
∵圆的半径为,圆的半径为,
∴. ……………………………5分
∴,化简得. …………………6分
∴. ……………………………………7分
∵点在曲线上,
∴,且.
∴…………………………………………………8分
. (9)
分
∴. ………………………………………………………10分
∴. ………………………………………………………11分
∴.
∴的取值范围为. …………………………………………12分21. （本小题满分13分）
若函数的图象从左到右先增后减，则成函数为“型”函数，图象的最高点的横坐标称为“点”。

（1）若函数为“型”函数，试求实数的取值范围，并求出此时的“
点”；
（2）若，试证明：。

参考答案：22. （本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(I)求角A的大小；
(Ⅱ)求函数的值域．
参考答案：。