简要版PPT4图论方法4-5(完全图有向图之发掘性质)

温馨提示
为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。

但在放映模式下，这些现象都不会出现。

另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。

图论方法4-5（完全图有向图之发掘性质）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第4板块（图论方法）第4专题（完全图有向图）的第5
小节（发掘性质），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。

这是课件的核心部分，重在发掘
问题特征，分析如何找到解题方法。

按照教师场景授课互动效
果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。

提供笔者重新书写的解答（简称
“新写”），力求严谨、流畅、简练。

所谓“完全图”，就是任何点都连边的图；所谓“有向图”，就是给每条边标注了一个方向。

特别地，一个图是完全图又是有向图，则称为“竞赛图”。

它们包括三种常见的思路：
三种思路局部扩展
从一点或边出发，逐步扩充为完
全图
反面剔除
去掉若干引出虚边的点，使不再
有虚边，得到完全图
考察极端
跃峰奥数
本节介绍“局部扩展”
的相关例子
■。

在特定范围内取某种容量最大的
图或考察元素的极端分布。

【图论方法（完全图、有向图）】
【图论4-5】给定正整数n≥3，试证：n阶竞赛图G
n 存在一个三角形回路的充分必要
条件是，G
n
存在两个出度相等的点。

【题感】从目标看
【1】，属于“存在性”问题
【1】。

就充分性而言，是要找到“一个三角形回路
【1】
”；就必要性而言，是
要找到“两个出度相等的点
【1】
”。

前者可采用构造的方法，后者有明显的“抽屉”影子，但无法用抽屉原理求解：题中唯一的条件“三角形回路”难以找到“空抽屉”，只能从反面来验证，导出矛盾（假定结论不成立，导出与“存在三角形回路”矛盾）。

先考虑充分性。

假定d+（A
i ）= d+（A
j
），我们要找到一个长为3的有向
圈，这可从A
i 、A
j
出发，利用“局部扩展”策略，由边A
i
A j扩充为长为3
的有向圈即可
■。

跃峰奥数
【注】此为简要版，省略了第2部分：发掘解题方法的详细思维探索过程。

完整内容见“付费版”。

【新写】充分性：如果G
n 存在两个出度相等的点，则G
n
存在一个长为3的有向圈。

由
条件，不妨设d+（A
i ）=d+（A
j
），其中A
i
→A
j
，令M={P|A
j
→P}。

如果对M中的任何点A
k ，都有A
i
→A
k
，则由A
i
→A
j
可知，A
i
至少比A
j
多胜一场，与条
件d+（A
i ）=d+（A
j
）矛盾。

于是，M中一定存在点A
k
，使A
k
→A
i。

又A
k
∈M，有
A j→A k，所以（A i，A j，A k）是一个有向圈，充分性获证。

必要性：假定没有出度相同的点，则各点A
1，A
2
，…，A
n
的出度是0，1，2，…，n-
1的一个排列。

不妨设出度为i的点为A i（1≤i≤n-1），我们证明，对任何点A i（1≤i≤n-1），它引出的i条出边为：A i→A0，A i→A1，A i→A2，…，A i→A i-1。

对i归纳。

当i=1时，因为d+（A
0）=0，A
没有出边，所以只能是A
1
→A
，结论成立。

设结论对小于i的正整数成立，考虑i的情形。

由归纳假设，A
1，A
2
，…，A
i-1
都不能向
A i引出边，从而A i与它们之间的边只能是A i→A1，A i→A2，…，A i→A i-1。

又显然有A i→A0（A0没有出边），所以结论成立。

考察任意三点A
i ，A
j
，A
k
，不妨设i<j<k，则由上述性质，有A
k
→A
i
，A
k
→A
j
，从而
不构成三角形回路，与条件矛盾，必要性获证。

【局部扩展】【发掘性质】【研究代表】
跃峰奥数【注】对于必要性，我们的证明比原来的证明简单得多■■。