辅助角公式在高考三角题中的应用 专题辅导 不分本 试题

卜人入州八九几市潮王学校辅助角公式在高
考三角题中的应用
柳毓
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx
=++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·。

由于上式中的
a a b
2
2
+与
b a b
2
2
+的平方和为1，故可记a a b
2
2
+=cos θ，
b a b
2
2
+=sin θ，
那么
由此我们得到结论：
asinx+bcosx=
a b x 22++sin()θ，
〔*〕其中θ由a a b
b a b
2
2
2
2
+=+=cos ,
sin θθ来确定。

通常称式子〔*〕为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。

一.求周期
例1〔2021年卷选〕求函数y
x x x =+-+244
32cos()cos()sin ππ
的最小正周期。

解：
)
6
x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x
2sin 3)2x 2sin(x 2sin 3)4x sin()4x cos(2y π
+=+=+π
+=+π
+π+=
所以函数y 的最小正周期T=π。

评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。

二.求最值
例2.〔2021年〕函数f(x)=cos 4
x-2sinxcosx-sin 4
x 。

假设x
∈[,]02
π
，求f(x)的最大值和最小值。

解：f(x)=(cos 2
x+sin 2
x)(cos 2
x-sin 2
x)-sin2x=cos2x-sin2x=--
224
sin()x π。

由02
4
24
34
≤≤
≤≤
x x π
π
π
π⇒-
-。

当24
4
x -
=-
π
π
，即x=0时，sin()24
x -
π
最小值-
22
；当24
23
8
x x -
=
=π
π
π，即时
sin()24
x -
π
取最大值1。

从而f(x)在[,]02
π
上的最大值是1，最小值是-2。

三.求单调区间
例 3.〔2021年〕向量
→，→a x x b
x =+=+(cos ,tan())(sin()2224224ππ
，
tan())x 24
-π
，令
b
a )x (f →→•=，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。

解：
f x a b
()=→·→
先由04
4
54
≤≤≤≤
x x ππ
π
π
⇒
+。

反之再由
π
π
π
π
π
π
ππ
π4
4
2
04
2
4
544
≤≤
≤≤
；
≤≤
≤≤x x x x +
⇒+
⇒。

所以f(x)在[]04
，
π
上单调递增，在[]π
π4，上单调递减。

y=Asin(ωx+ϕ)+k 的形式，是求单调区间的通法。

四.求值域 例4.求函数
f x k x k x x ()cos(
)cos()sin()=+++--++61326132233
2πππ
(,)x R k Z ∈∈的值域。

解：。

)2
x 2sin(4]
6
sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)
x 23sin(32)x 23cos(2)x 23
sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π
+=π
+π+π+π=+π
++π=+π
+-π-π++π+
π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。

五.画图象
例5.〔2021年新课程〕函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数y=f(x)在区间[]-
π
π
22
，上的图象。

解：。

)4
x 2sin(21x 2sin x 2cos 1x cos x sin 2x sin 2)x (f y
2π
-+=+-=+== 由条件-
⇒-
-π
π
πππ2
2
542434
≤≤
≤≤x x 。

列表如下
描点连线，图象略。

六.图象对称问题
例6.假设函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-
π8
对称，那么a=()
〔A 〕
2 〔B 〕-2
〔C 〕1
〔D 〕-1
解：可化为y a x =++122sin()θ。

知x
=-
π
8
时，y 获得最值±
12+a ，即
七.图象变换
例7〔2000年全国〕函数。

R x ,1x cos x sin 2
3
cos 21y 2∈++=
该函数的图象可由y x x R =∈sin ()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：y x x =
+++14123
4
21(cos )sin 可将函数y=sinx 的图象依次进展下述变换： 〔1〕向左平移
π6
，得到y=sin(x+6π
)的图象；
〔2〕将〔1〕中所得图象上各点横坐标变为原来的
21倍，纵坐标不变，得y=)6
x 2sin(π
+的图象；
〔3〕将〔2〕中所得图象上各点纵坐标变为原来的21倍，横坐标不变，得y=21sin(2x+6
π
)的图象； 〔4〕将〔3〕中所得图象向上平移45个单位长度，得到y=21sin(2x+6π)+45
的图象。

综上，依次经过四步变换，可得y=1x cos x sin 2
3x cos 212
++的图象。

八.求值
例8.函数f(x)=x sin 32-+sinxcosx 。

设α∈〔0，π〕，f(
2α)=2
341
-，求sin α的值。

解：f(x)=x 2sin 21
)x 2cos 1(23+--
=sin 2
3
)3x 2(-π+。

由f(2
α
)=sin(3π+α)-
=-412323， 得sin(3π+α)=4
1。

又α∈〔0，π〕)34,3(3π
π∈π+α⇒。

而sin
41
＞233=π， 故α+),2
(3ππ
∈π，那么
cos(α+
3
π
)=415-。

sin α=sin[3)3(π
-π+α]
=sin 3
sin )3cos(3cos )3(π
π+α-ππ+α
=23)415(2141⨯--⨯ =8
531+。

评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰标准。

在求sin α时，巧用凑角法：α=〔α+3π〕-3
π，并且判断出α+3π的范围，进而求出cos(α+3
π
)确实切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。

九.求系数
例9.〔2021年〕假设函数f(x)=
)2x
cos(2x sin a )
x 2
sin(4x 2cos 1-π-+π+的最大值为2，试确定常数a 的值。

解：f(x)=cos 2x sin a x cos 4x cos 22+2
x
=
x sin 2
a
x cos 21+ =
)x sin(4
a 412
ϕ++， 其中角ϕ由sin ϕ=
2
2
a
1a cos ,a
11+=
ϕ+来确定。

由有44
a 412=+，解得a=15±。

十.解三角不等式
例10.〔2021年全国Ⅲ〕函数f(x)=sin 2
x+sin2x ，x ]2,0[π∈，求使f(x)为正值的x 的集合。

解：f(x)=1-cos2x+sin2x =1+
)4
x 2sin(2π
-。

由f(x)＞0，有sin (2x-,2
2)＞4-π 那么得2k π-45k 2＜4x 2＜4π
+ππ-π，
故k π＜x ＜k π+)Z k (4
3∈π。

再由x ∈[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是
⎩
⎨⎧π
ππ47＜x＜
，43＜＜x 0x 或。