高二 数学选修 椭圆双曲线抛物线 第三讲 椭圆方程及性质的应用 课件--名师微课堂(自制)

1
1 k2
y1 y2 2 4 y1 y2 .
其中k 表示弦所在直线的斜率，x1，x2，y1，y2表示
弦的端点坐标，由根与系数的关系求得x1+x2，x1x2
与y1+y2，y1y2的值.
根与系数的关系法：
联立直线方程和椭圆方 程构成方程组; 消去一个未知数; 利用一元二次方程根与 系数的关系以及中点坐 标公式解决.
y
=
kx+2
代入
x2 3
y2
1，
得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)，x′1，x′2 是此方程的两个相异实根．
设
PQ
的中点为
M，则
xM
x'1
2
x'2
6k 3k2 1
，
yM
kxM
2
2． 3k2 1
2
由|DP|=|DQ|，得
DM⊥PQ，∴ kDM
yM xM 1
3k2 1
6k 3k2
1
方法一：求出直线和椭圆的两个交点坐标，利用两
点间距离公式求弦长；
方法二：利用弦长公式.
设直线方程为y=kx+m，直线与椭圆的两个交点
为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ：
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2
或 AB
1
1 k2
y1 y2
0(a
b
0) 过点
A(-a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为 6
原点到该直
线的距离为 3 ． 2
【规范解答】
（1）由 b 3 ， 1 ab 1 3 a2 b2 得 b=1，所以椭圆的方程是 x2 y2 1 .
a 3 2 22
3
（3）记
P(x′1，y′1)，Q(x′2，y′2)．将
x1
2
x2
4，
y1
2
y2
2
，由
9 9
x12 x22
36 y【12 解 题32提4 作示】差利得用，根y与1 系y数2 的 关 系9(或x1点差x2法) 解决 36 y与22 弦 有32关4 的问题时，x都1 是x将2 弦端3点6的( y坐1 标y设2 )出来，
将
x1
2
x2
4，
y1
2
y2
2 代入上式，得
y1 x1
xy把 或22 这 中 些 点 12坐 坐即标 标用 ，kA整 而B 体 不代把12入端，的点方坐法标表求示出出来直，线在的运斜算率时
要运用这些设而不求、整体代换的技巧.
所以弦所在的直线方程为 y 2 1 ( x 4) ，即 x+2 y－8 =0. 2
技巧传播
直线和椭圆相交所得弦长的两种求法
典题剖析
直线与椭圆位置关系的判定
例 1．若直线 y＝kx＋1 与焦点在 x 轴上的椭圆 x2 y2 1 总有公共点，求 m 的取值范围． 5m
弦长问题
例 2．椭圆有两顶点 A(-1，0)，B(1，0)，过其焦点 F(0，1)的直线 l 与椭圆交于 C，D 两 点，当 CD = 3 2 时，求直线 l 的方程.
利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后 作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下： 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 （a>b>0）上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段
AB
的中点，
x12 a2
x22
a2
y12 b2
y22 b2
1① ，由①-②得
1②
y1 x1
y2 x2
b2 a2
x1 y1
x2 y2
b2 a2
x0 y0
，
变形得：
1 a2
( x12
x22 )
1 b2
( y12
y22 )
0
，即 kAB
b2 x0 a2 y0
．
陷阱规避
运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题
【典例】已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
2
联立 方程
斜率 存在
弦长 公式
由弦长公式得 CD
k2
3 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 2
2.
即 CD
2
(1
k 2 ) ( x1
x2 )2
4 x1 x2
9. 2
【解析】椭圆方程可化为 9x2+36 y2 = 324．设弦两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题得
椭圆方程及性质的应用
知识要点
1．进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质.
直线与椭圆的位置关系及判定
1．能否像判断直线和圆的位置关系那样，利用椭圆的中心到直线的距离判 断直线和椭圆的位置关系？
直线与椭圆的位置关系及判定方法的理解
1．直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与 椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件.
1
1 k
，
∴3k2－4k+1=0，得 k 1或 k 1 ．但 k 1， k 1 均使方程（*）没有两相异实根③，
3
3
∴满足条件的 k 不存在．