2020年2月普通高考数学(江苏卷)全真模拟卷(4)(全析全解)

2020年2月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（4）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分．
1．已知集合{}13A x x =-<<，{}
2B x x =<，则A B ⋃=________． 【答案】(),3-∞
【解析】通过数轴可知，(),3A B ⋃=-∞． 2．若复数(2)3i =2+i a b -+ (,a b ∈R )，则34a i
b i
-=+_________． 【答案】i -
【解析】由题意，复数满足(2)3i =2+i a b -+，所以22
3
a b -=⎧⎨
=⎩，解得4,3a b ==，所以复数
()()()()433434325434343425
i i a i i i
i b i i i i -----====-+++-． 3．用一组样本数据8，x ，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s = ． 【答案】2
【解析】因为样本数据8，x ，10，11，9的平均数为10，所以
12105
9
11108=⇒=++++x x ，
=
由题意可知用样本来估计总体的标准差，所以s =
4．执行如图所示的算法框图，若输入的x 的值为2，则输出的n 的值为__________．
【答案】2 【解析】
当x=2时，x 2﹣4x+3=﹣1＜0，满足继续循环的条件，故x=3，n=1； 当x=3时，x 2﹣4x+3=0，满足继续循环的条件，故x=4，n=2； 当x=4时，x 2﹣4x+3=3＞0，不满足继续循环的条件， 故输出的n 值为2．
5．平行四边形ABCD 中，3,5,||4AB AD DA DC →
→
==+=，则BA AD →→
⋅=__________． 【答案】9-
【解析】cos ,35cos ,15cos .BA AD BA BC BA BC BA BC BA BC ABC ⋅=⋅==⨯⨯=∠u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
又334,cosA ,cos ,55BD DA DC ABC =+=∴=∠=-u u u v u u u v u u u v 所以3
159.5
BA AD ⋅=⨯-=-u u u v u u u v
6．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2018
＝2，则20172019
12a a +的最小值为________．
【答案】4
【解析】∵{a n }为等比数列，
2201720192018a a a ∴⋅=
2017
2019
124a a ∴
+≥==
当且仅当
2017
2019
12a a =
，220191702a a =时，取得等号．
∴
2017
2019
12a a +
的最小值为4．
7．将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字组成没有重复数字的八位数，要求7与8相邻，且任意相邻两个数字奇偶不同，这样的八位数的个数是________． 【答案】504
【解析】先将数字分成两类：“奇偶奇偶奇偶奇偶”与“偶奇偶奇偶奇偶奇”．若是第一类，则1，2，3，4，5，6有3
3
33A A 种排列，再将“7，8”或“8，7”插空进前后7个空位中去;第二类同理，数量一样，故有
33
33A A 72504⨯⨯⨯=个．
8．已知(0,
)2
π
β∈
，满足an (4
t )αβ=
＋，sin 13β=，则tan α等于__________．
【答案】
11
【解析】1sin 3β=
，又02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
，可得cos β=
，即tan β=
，则tan()tan tan tan()1tan()tan 1144
αββααββαββ-
+-=+-===++． 9．给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
；③y ＝lg x ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____． 【答案】①③
【解析】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y
＝0成立，即具有性质P ；
对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ； 对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ； 故答案为：①③．
10．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C
分别在函数
y x
=，1
2
y x =
，2x
y ⎛= ⎝⎭
的图像上，且矩
形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______．
【答案】11,24⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】由图像可知，点(),2A A x
在函数
y x
=的图像上，
所以
2A
x =，
即2
122A x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
．
因为点(),2B B x 在函数1
2y x =的图像上，所以1
22B
x =，4B x =．
因为点()4,C C y
在函数x y =⎝⎭的图像上，
所以4
1
4C y ==⎝⎭
．又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫
⎪⎝⎭
． 11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下
列命题：
①异面直线EF 与AG ；
②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是 ③1A C ⊥平面EFG
④三棱锥C EFG -的体积为1
其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号） 【答案】①③④
【解析】取11C D 的中点为点H ，连接GH 、AH ，如图1所示，因为//EF GH ，所以AGH ∠就是异面直线
EF 与AG 所成的角，易知在AGH V 中，3,AG AH GH ===，所以2cos 3AGH ∠==
确；
图1 图2 图3
矩形EFGH 即为过点E 、F 、G 所得正方体的截面，如图2所示，易知EF EG =
=
EFGH S ==
分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立如图3所示直角坐标系，则(2,0,2),(2,1,0),A E
(1,0,0),(1,2,2)F G ，1
(2,2,2),(1,1,0),(1,1,2)AC FE EG =--==-u u u r u u u r u u u r
， 因为110,0
AC FE AC EG ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11,A C EF A C EG ⊥⊥，又EF ⊂平面EFG ， EG ⊂平面EFG 且EF EG E =I ，所以1A C ⊥平面EFG ，故③正确
134(111212)22EFC S =-⨯⨯+⨯+⨯=V ，11
13
G ECF EFC V S C C -=⋅=V ，④正确．
故答案为：①③④
12．已知函数()[]11,1,05x
f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，(
)22log +3,,22g x a x a x ⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，对任意的[]11,0x ∈-，总
存在0,22x ⎤
∈⎥⎣⎦
使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】(][),46,-∞-+∞U
【解析】∵()[]11,1,05x
f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭
，
∴f （0）≤f （x ）≤f （-1），即0≤f （x ）≤4，即函数f （x ）的值域为B ＝[0，4]，
若对于任意的1x ∈[]1,0-
，总存在022x ⎤
∈⎥⎣⎦，使得g （x 0）＝f （x 1）成立， 则函数f （x ）在[]1,0-上值域是g （x
）在22⎤
⎥⎣⎦
上值域A 的子集，即B ⊆A ①若a ＝0，g （x ）＝0，此时A ＝{0}，不满足条件． ②当a ≠0时，()2
2log +3g x a x a =
在,22⎤⎥⎣⎦
是增函数，g （x ）∈[﹣212a +3a ，23a a +]，即A ＝[﹣2
12a +3a ，23a a +]，
则 ][2
22213a 01043a 32234
a a a a a a ⎧+≤⎪
⎡⎤⊆++∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪+≥⎩
﹣，﹣，，∴64a a ≥≤-或
综上，实数a 的取值范围是64a a ≥≤-或． 故答案为(][
),46,-∞-⋃+∞．
13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在定义域上单调递增．当[1,)x a ∈-+∞时，不等式
(2)()0f x a f x -+>恒成立，则实数a 的取值范围是____．
【答案】1(,)2
-∞
【解析】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且不等式f （x ﹣2a ）+f （x ）＞0当x ∈[1﹣a ，+∞）时恒成立，
∴f （x ﹣2a ）＞f （﹣x ）当x ∈[1﹣a ，+∞）时恒成立 又∵函数f （x ）在定义域上单调递增． ∴x ﹣2a ＞﹣x ，即x ＞a ，又x ∈[1﹣a ，+∞）， ∴1﹣a ＞a ，解得a 1
2
＜
∴实数a 的取值范围是12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，．
14．双曲线C 的方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，12,l l 为其渐近线，F 为右焦点．过F 作2l l ∥且l 交双
曲线C 于R ，交1l 于M ．若FR FM λ=u u u r u u u u r
，且13,24λ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
则双曲线的离心率的取值范围为________．
【答案】
)
2
【解析】双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程为：b y x a =±，不妨设1:b l y x a =-，2:b l y x a =
则():b l y x c a =
-，联立1,l l 解得,22c bc M a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 设(),R x y ，FR FM λ=u u u r u u u u r 故(),,22c bc x c y a λ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故2
2c x c bc y a λλ
⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
代入双曲线方程得到：22
22
221c bc c a a b λλ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简得到()212,41e λ
=∈-
，故)
e ∈．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且22222a bccos B b c +=+． （1）证明：A = 2B ，
（2）若()1,cos 2cos b a B c b A ==-，求△ABC 的外接圆面积． 【答案】（1）见解析；（2）π
【解析】（1）由已知及余弦定理得2222cos22cos b c a bc B bc A +-==，
cos cos2,2A B A B ∴==．
（2）由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理得cos cos cos 2sin cos A B sinB A C A +=，即
()2sin cos sin A B C A +=，
1
cos ,602
A A ∴==o ，
由（1）知30,22,1sin b
B R R B
==
==o
， S π∴=．
16．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且3
ABC π
∠=
．四边形CDEF 是平行四边形，且2
DE =
．点E ，F 在平面ABCD 内的射影为H ，G ，且G 在AC 上，四棱锥F ABCD -的体积为2．
（1）求证：平面DHE ⊥平面BDF ；
（2）在EF 上是否存在点M ，使//MG 平面BCF ？如果存在，是确定点M 的位置，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）M 是靠近点E 的四等分点，理由见解析 【解析】（1）Q 点,E F 在平面ABCD 内的射影为,H G ，
EH ∴⊥平面ABCD ，FG ⊥平面ABCD ，
//EH FG ∴，且FG ⊂平面AFC ，EH ∴//平面AFC ，
又Q 四边形CDEF 是平行四边形，
ED ∴//平面AFC ，∴平面HED //平面AFC ，HD AC ∴//，
Q 四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，BD HD ⊥∴，且BD EH ⊥，
BD ∴⊥平面DHE ，又BD ⊂平面BDF ，∴平面DHE ⊥平面BDF ．
（2）假设在EF 上是存在点M ，使//MG 平面BCF ，
Q 四棱锥F ABCD -的体积为2，即14223F ABCD V FG -=⨯⨯=，
FG =∴
DE FC ==
32GC =∴，即点G 是靠近点A 的四等分点．
延长HG 交BC 于点K ，在梯形EFKH 内，过G 作FK 的平行线交EF 于M ， 则点M 即为所求．
33
44
MF GK DC EF ==
=Q ，即点M 是靠近点E 的四等分点．
17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的一点到两个焦点的距离之和为4
，离心率为2
，点A 为椭圆
C 的左顶点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设圆()()2
22:202M x y r r +-=<<，过点A 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于点B 和D ，求证：直线BD 过定点．
【答案】（1）22
14
x y +=（2）10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．
【解析】（1
）由题意得，24
2a c a
=⎧⎪
⎨=
⎪⎩
，解得2c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=． ∴椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． （2）设切线,AB AD 的方程为()2y k x =+
r =，即()2224840r k k r --+-=．
设两切线,AB AD 的斜率为12,k k ，则121k k =．联立()22
214
y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222
14161640k x k x k +++-=，
设()()1122,,,B x y D x y ，则2
112
12814k x k -=+，1121
414k y k =+， 同理222121
222222
2121282844,144144
k k k k x y k k k k --====++++，则()
11
22111222
1112
2
11444143282841414BD k k k k k k k k k k k -
++==--+-++． ∴直线BD 的方程为()21112221114328141441k k k y x k k k ⎛⎫
--=- ⎪+++⎝⎭，整理得
()
121310341k y x k ⎛⎫=+ ⎪+⎝
⎭， 故直线BD 过定点10,03⎛⎫
-
⎪⎝⎭
． 18．如图，一条小河岸边有相距8km 的,A B 两个村庄（村庄视为岸边上,A B 两点），在小河另一侧有一集镇P （集镇视为点P ），P 到岸边的距离PQ 为2km ，河宽QH 为0.05km ，通过测量可知，PAB ∠与PBA ∠的正切值之比为1:3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN （,M N 分别为两岸上的点，且MN 垂直河岸，M 在Q 的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知,A B 两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m 次．设PMQ θ∠=．（小河河岸视为两条平行直线）
（1）记L 为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L ； （2）试确定θ的余弦值，使得L 最小，从而符合建桥要求． 【答案】（1）3170751000sin tan L m m θθ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；（2）当1cos 3θ=时，符合建桥要求． 【解析】（1）PAB ∠与PBA ∠的正切值之比为1:3 :1:3PH PH
PA PB
⇒
= :3:1PA PB ⇒= 则6PA =，2PB =，2PQ =2sin PM θ⇒=，2
tan MQ θ
=
()()1000500L AN MN MP BN MN MP ∴=+++++
2222100060.0550020.05tan sin tan sin m m θθθθ⎛
⎫⎛
⎫
=-++
++++ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
3170751000sin tan m m θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
3170751000sin tan L m m θθ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
（2）由（1）知：3cos 70751000sin L m m θ
θ-⎛⎫=+
⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()()()223cos sin 3cos sin 13cos 10001000sin 1cos L m m θθθθθθ
θ
'
'
----∴=⋅
=-'⋅
，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
令0L '=，解得：1
cos 3
θ= 令01cos 3θ=
，且00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
当()00,θθ∈时，1cos 3θ>
，0L '<；当0,2πθθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭时，1cos 3θ<，0L '>
∴函数()L θ在()00,θ上单调递减；在0,2πθ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增；
0θθ∴=时，函数()L θ取最小值，即当1
cos 3
θ=
时，符合建桥要求 19．设函数f (x )mlnx
x
=
(m ∈R)． （1）当m =1时，求函数的单调区间；
（2）若函数F (x )=f (x )+x 2
4m x
++m +2有两个零点，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) 递增区间为(0，e )，递减区间为(e ，+∞) (2) (﹣∞，﹣2e )． 【解析】(1)当m =1时，f (x )lnx x =
，x >0，∴f '(x )2
1lnx
x -=， 令f '(x )=0，得1﹣lnx =0，x =e ， 随x 的变化(),()f x f x '变化如下表：
∴函数f (x )的单调递增区间为(0，e )，单调递减区间为(e ，+∞)；
(2)F (x )mlnx x =+x 2
4m x
++m +2，定义域为(0，+∞)，
∴F (x )mlnx x =+x 24m x ++m +22244484mlnx x m mx x x
++++=， 设g (x )=4mlnx +4x 2+m 2+4mx +8x ，
∵函数F (x )=f (x )+x 2
4m x
++m +2有两个零点，
∴函数g (x )=4mlnx +4x 2+m 2+4mx +8x 有两个零点，
∵g '(x )()()()284844124848x m x m x x m m
x m x x x
+++++=+++==
， 令g '(x )=0得，x 2
m
=-
， ∵函数g (x )=4mlnx +4x 2+m 2+4mx +8x 有两个零点， ∴函数g (x )在(0，+∞)上不单调，∴2
m
-
>0，∴m <0， 随x 的变化(),()g x g x '
变化如下表：
∴函数g (x )的极小值为g (2
-
)， ∵当x →0时，g (x )→+∞；当x →+∞时，g (x )→+∞， ∴若函数g (x )=4mlnx +4x 2+m 2+4mx +8x 有两个零点， 则函数g (x )的极小值g (2
m
-
)<0，
即4mln (2m -)+42
4
m ⨯+m 2﹣4m 2m ⨯-4m <0，
∴mln (2m -)﹣m <0，又∵m <0，∴ln (2
m
-)>1， ∴2
m
-
>e ，∴m <﹣2e ， ∴实数m 的取值范围为：(﹣∞，﹣2e )．
20．定义：若有穷．．数列12,,,n a a a …同时满足下列三个条件，则称该数列为P 数列． ①首项11a =；②12n a a a <<⋯<；
③对于该数列中的任意两项i a 和()1j i j a n ≤≤≤其积i j a a 或商i
j
a a 仍是该数列中的项． (1) 问等差数列1，3，5是否为P 数列？ (2) 若数列,,,6a
b
c 是P 数列，求b 的取值范围；
(3) 若4n >，且数列12,,,n b b b ⋯是P 数列，求证：数列12,,,n b b b ⋯是等比数列． 【答案】（1）不是；（2
）(；（3）见解析 【解析】 (1)因为5
3515,
3
⨯=均不在此数列中， 所以等差数列1，3，5不是P 数列．
(2)因为数列,,,6a b c 是P 数列，所以16a b c =<<<，
由于6b 或
6
b 是数列中的项，而6b 大于数列中的最大项6， 所以6b 是数列中的项，同理6
c
也是数列中的项，
考虑到6616c b <<<，于是66
,b c c b
==，
所以6bc =，又1b c <<
，所以1b <<
综上，b
的取值范围是．
(3)因为数列{}n b 是P 数列，所以1231n b b b b =<<<<L ，
由于2n b b 或2n b b 是数列中的项，而2n b b 大于数列中的最大项n b ，所以2
n
b b 是数列{}n b 中的项，
同理
341
,,,n n n n b b b
b b b -⋯也都是数列{}n b 中的项， 考虑到121n n n n b b b b b -<
<⋯<<，且12
,,,n n n n b b
b b b -⋯这n 个数全是共有n 项的增数列21,,,n b b ⋯中的项， 所以
21n n b b b -=，…，12
n n b
b b -=， 从而1(1,2,,1)n i n i b b b i n +-==-L ，①
又因为1312n n n b b b b b -->=，所以13n b b -不是数列{}n b 中的项，所以1
3n b b -是数列{}n b 中的项，同理
1142
,,n n n b b
b b ---⋯也都是数列{}n b 中的项， 考虑到111212433
1n n n n n n n n b b b b
b b b b b b b ------<
<⋯<<<=<<， 且11112433
,,,,,,n n n n n n n b b b b b b b b b b -----⋯这n 个数全是共有n 项的增数列12,,,n b b b ⋯中的项， 于是，同理有，1(1,2,,2)n i n i b b b i n --==-L ，② 在①中将i 换成1i +后与②相除，得11,1,2,,2n i n i
b b
i n b b +-==-L ， 所以12,,,n b b b ⋯是等比数列．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则
按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵00a M b ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
满足：i i i Ma a λ=，其中(1,2)i i λ=是互不相等的实常数，(1,2)i a i =是非零的平面列向量，11λ=，211a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，求矩阵M ．
【答案】0110M -⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
． 【解析】由题意，12,λλ是方程()20a
f
ab b λλλλ
-=
=-=-的两根，因为11λ=，所以1ab =
又因为222Ma a λ=，所以2011011a b λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，从而22a b λλ=⎧⎨=⎩，所以2
21ab λ== 因为12λλ≠，所以21λ=-，从而1a b ==-，故矩阵0110M -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
．
B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C
40y +-=，曲线2C ：cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨=+⎩
（θ为参数），以坐标原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）曲线3C ：cos sin x t y t αα
=⎧⎨
=⎩（t 为参数，0t >，02π
α<<），分别交1C ，2C 于A ，B 两点，当α取何值
时，||
||
OB OA 取得最大值．
【答案】（1
cos sin 40θρθ+-=，2sin ρθ=． （2）π
3
α=
【解析】（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，2
2
2
x y ρ+=，1C
cos sin 40θρθ+-=， 2C 的普通方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=．
（2）曲线3C 的极坐标方程为θα=（0ρ>，
π
02
α<<），设()1,A ρα，()2,B ρα，
则1ρ=，
22sin ρα=，
所以
21OB OA ρρ=
=)
1
2sin sin 4
ααα⨯
+)
12cos 214
αα=
-+
1π2sin 2146α⎡⎤⎛⎫=
-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦， 又π02α<<，ππ5π2666α-<-<，
所以当ππ262α-
=，即π
3α=时，OB OA 取得最大值34
．
C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>． （1）当1ab =时，证明：()2f x ≥；
（2）若()f x 的值域为[)2,+∞，且()35f =，解不等式()4f x ≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）5|2x x ⎧≥
⎨⎩或32x ⎫≤-⎬⎭
【解析】（1）证明：()1
2x a x b x b x a a b a a
-+-≥+--=+=+≥，当且仅当1a b ==时，取等号 （2）(),2f x x a x b a b a b a b =-+-≥+=+∴+=， 又()31
333335,,22
f a b a b a b =-++=-++=∴=
=Q 由题意可得3231422x x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪-++≥⎪⎩或132213422x x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪++-≥⎪⎩或12
31422x x x ⎧
≤-⎪⎪⎨
⎪---≥⎪⎩ 故原不等式的解集为5|2x x ⎧
≥⎨⎩
或32x ⎫≤-⎬⎭．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．已知()
21
2210122112n n n x a a x a x a x +++-=+++⋅⋅⋅+，*n N ∈，求；
()11221n a a a +++⋅⋅⋅+； ()
20121n a a a +++⋅⋅⋅+；
()3设()2k k k a b =-，求和：()()01221123122k n b b b k b n b +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅．
【答案】（1）－2；（2）3n ；（3）21
22(21)2n n n +++⋅
【解析】（1）在()
21
2210122112n n n x a a x a x a x +++-=+++⋅⋅⋅+中，令0x =，得01a =，
令1x =，得21
01221(12)
1n n a a a a ++++++=-=-L ， ∴12212n a a a ++++=-L ； （2）由题意21
210121(12)
n n n x a a x a x ++++=+++L ，令1x =，得
0121n a a a +++⋅⋅⋅+213n +=；
（3）由题意21(2)k k k n a C +=-，又21(2)(2)k k k k n k a C b +=-=-，∴21k
k n b C +=， ∴1212121221(1)(1)(21)k k k k k
k n n n n n k b k C kC C n C C -+++++=+=+=++，
∴()()01221123122k n b b b k b n b +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅
()()01221
2121212121123122k n n n n n n C C C k n C ++++++=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅ 0122101221212121222()(21)()n n n n n n n n n C C C C n C C C +++++=+++⋅⋅⋅++++++L
2122(21)2n n n +=++⋅．
23．小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，2019年10月7日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为1、2、3、4，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测．现用1a 、2a 、3a 、4a 表示某网友对实际名次为1、2、3、4的四位选手名次做出的一种等可能
的预测排列，
12341234X a a a a =-+-+-+-是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述． （1）求X 的分布列及数学期望；
（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是4X <，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）．
【答案】（1）分布列见解析，X 的数学期望为5EX =；（2）
1
216
． 【解析】（1）以()1234,,,a a a a 为一个基本事件，如下表所示：
所以X 的可能取值集合为{}0,2,4,6,8． 分布列如下表所示：
因此，7940246852424242424
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）因为()()()131********
P X P X P X <==+==
+=， 将三人评分后都有4X <的概率记作p ，由上述结果的独立性得3116216
p ==．。