12-2参数方程

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解：(1)C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得 C 的参数方程为
x＝1＋cos t， y＝sin t
(t 为参数，0≤t≤π)．
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(2)设 D(1＋cos t，sin t)．由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心，1 为半径 的上半圆．因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同． tan t＝ 3，t＝π3. 故 D 的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即32， 23.
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解：①消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2.所以 C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标 方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. ②曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0， ρ＝4cos θ.
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2．若将本例(2)的曲线变为xy＝＝34csions α α ，其余不变，求交点个数．
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解：xy＝＝34csions
α α
，即34xy＝＝csions Nhomakorabeaα， α.
∴x92＋1y62 ＝1.
而直线 x＋y－1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x92＋1y62 ＝1 内，故直线与
曲线有两个交点．
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考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用 1.直线与圆的方
命题 程应用 点 2.直线与椭圆的
方程应用
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[例 2] (1)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的 参数方程为xy＝＝a1c＋osast，in t， (t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. ①说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； ②直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tan α0＝2，若曲 线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.
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3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C：x42＋y92＝1，直线 l：
x＝2＋t， y＝2－2t
(t 为参数)．
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，
求|PA|的最大值与最小值．
相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，
圆 C 的方程为 ρ＝6sin θ.
(1)求圆 C 的直角坐标方程；
(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(1,2)，求|PA|＋ |PB|的最小值．
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解：(1)由 ρ＝6sin θ 得 ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为 x2＋y2＝ 6y，即 x2＋(y－3)2＝9. 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－3)2＝9. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t2＋2(cos α－sin α)t－7＝0. 由已知得 Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设 t1，t2 是上述 方程的两根，
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第2课时 参数方程
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1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地， 可以 通过消去参数 从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把
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解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，曲线 C3 的直角 坐标方程为 x2＋y2－2 3x＝0.
联立xx22＋ ＋yy22－ －22y＝3x0＝，0，
解得xy＝ ＝00， ，
x＝ 或
23，
y＝32.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 23，32.
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又直线 l 过点 P(3， 5)， 故由上式及 t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
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2．(2017·甘肃三校联考)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程
为xy＝ ＝12＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取
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(2)求直线xy＝＝2－＋1t－，t
(t
为参数)与曲线xy＝＝33csions
α α
，(α 为参数)的
交点个数．
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解：将xy＝＝2－＋1t－，t 消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0；
将xy＝＝33csions
α， α，
消去参数 α 得圆 x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 22＜3.
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[高考真题体验]
1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：
x＝tcos α， y＝tsin α，
(t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π.在以 O 为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2 3
cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值．
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(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π. 因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4sinα－π3. 当 α＝56π时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
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1．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x＝3－ 22t， (t
y＝
5＋
2 2t
为参数)．在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且
以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5
sin θ.
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(1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(3， 5)，求|PA| ＋|PB|.
2sinα＋π3－2.
当且仅当 α＝2kπ＋6π(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为 2，此
时 P 的直角坐标为32，12.
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[方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化 为平面直角坐标系中的普通方程 fx，y＝0 再应用.如果直接应用， 要明确极坐标ρ，θ及参数的意义.
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2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ρ ＝2cos θ，θ∈0，π2. (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3x＋2 垂直， 根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 点的坐标．
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(2)(2016·高考全国丙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程 为xy＝＝sin3cαos α， (α 为参数)．以坐标原点为极点，以 x 轴的正半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsinθ＋π4＝ 2 2. ①写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； ②设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直 角坐标．
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1．若将本例(1)改为：圆上的任一点 P 与圆心的连线的旋转角为 参数 θ，求圆的参数方程．
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解：圆心为12，0，r＝12. 设 P(x，y)，则 x＝12＋12cos θ， y＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为
x＝12＋12cos θ， y＝12sin θ.
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解：①C1 的普通方程为x32＋y2＝1，C2 的直角坐标方程为 x＋y－4
＝0.
②由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α)．因为 C2 是直
线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值，
d(α)＝|
3cos α＋sin α－4|＝ 2
因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点．
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[方法引航] 1.由普通方程求参数方程，要根据参数的意义建立关
系．
2．由参数方程得到普通方程的思路是消参，消去参数的方法要视
情况而定，一般有三种情况：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或
直接利用加减消元法消参；
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解：(1)由 ρ＝2 5sin θ，得 ρ2＝2 5ρsin θ. ∴x2＋y2＝2 5y，即 x2＋(y－ 5)2＝5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程． 得3－ 22t2＋ 22t2＝5，即 t2－3 2t＋4＝0. 由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2＞0，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根， 所以tt11＋·t2＝t2＝4.3 2，
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则tt11＋ ·t2＝t2＝－－7.2cos α－sin α， 由题意得直线 l 过点(1,2)，结合 t 的几何意义得 |PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2＝ 4cos α－sin α2＋28 ＝ 32－4sin 2α≥ 32－4＝2 7. 所以|PA|＋|PB|的最小值为 2 7.
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解：(1)曲线
C
的参数方程为xy＝ ＝23csions
θ， θ
(θ 为参数)．
直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.
它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么
x＝ft y＝gt
，就是曲线的参数方程．
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2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的 轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α
，
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝rcos θ， y＝rsin θ
2利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分
别变形，使得一个方程一边只含有 sin θ，另一个方程一边只含有
cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数；
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3根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上 消去参数. 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的 扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 ft和 gt的值 域，即 x 和 y 的取值范围.
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考点一 参数方程与普通方程的互化及应用 1.求参数方
命题 程 点 2.消参数化
为普通方程
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[例 1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数，求圆 x2＋y2 －x＝0 的参数方程．
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解：(1)圆的半径为12， 记圆心为 C12，0，连接 CP， 则∠PCx＝2θ，故 xP＝12＋12cos 2θ＝cos2θ， yP＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ 为参数)． 所以圆的参数方程为xy＝ ＝csions2θθc，os θ (θ 为参数)．
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若 ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而 1－a2＝0，解得 a＝－ 1(舍去)或 a＝1. 当 a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，且在 C3 上． 所以 a＝1.
(θ 为参数)
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椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
双曲线 xa2－by22＝1，(a＞0，b＞0)
抛物线
y2＝2px(p＞0)
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数)
x＝asec φ y＝btan φ
，(φ 为参数)
x＝2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
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