四年级奥数讲义 教案库07年春小4第6讲精英学生

第六讲数学的方法和思想（三）
等量代换法
小朋友们一定都知道曹冲（曹操的小儿子）称大象的故事吧。

曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。

把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。

为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，才会淹没得一样深。

“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。

解数学题，经常会用到这种思考方法。

【例1】用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。

小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？
【例2】1元钱1瓶汽水，喝完后两个空瓶换1瓶汽水。

问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？
【例3】（第七届《小数报》数学竞赛决赛）大盒放有若干支同样的钢笔，小盒放有若干同样的圆珠笔，两盒笔的总价相等．如果从大盒取出8支钢笔放入小盒，从小盒取出10支圆珠笔放人大盒，必须在大盒中再添两支同样的钢笔，两盒笔的总价才相等．如果从大盒取出10支钢笔放人小盒，从小盒取出8支圆珠笔放人大盒，那么大盒内笔的总价比小盒少44元．每支钢笔多少元?
【例4】如右图，AB长20厘米，D、E分别是AC、BC的
中点，那么AD+BE是多少厘米？
【例5】如右图：阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。

枚举法
在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。

对此，我们可以先初步估计其数目的大小。

若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。

我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。

这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。

其特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。

适用于所求的对象为有限个。

【例6】明明带8元钱去商店买冰激凌。

有三种冰激凌，售价分别是5元一支、2元一支和1元一支。

如果这8元钱全部用于买这三种冰激凌，共有多少种不同的买法?
【例7】从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？
【例8】商店有围巾4种，每种价钱依次是12元、10元、8元和6元。

帽子有3种，每种价钱依次是9元、7元和5元。

如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱?
【例9】一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第一天在A市，第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方案?
奇偶性分析法
（1）奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

最小的奇数是１，最小的偶数是０．
（2）奇数与偶数的运算性质：
性质1：偶数±偶数=偶数
奇数±奇数=偶数
偶数±奇数=奇数
同性质（指奇偶性）两数加减得偶，不同性质得奇。

性质2：偶数×奇数=偶数（推广开来我们还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）
偶数×偶数=偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）
奇数×奇数=奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）
对于乘法，见偶就得偶。

【例10】小苗在做算术题时，写出了如下一个等式：264538=153×1075+64，他做得对吗?
【例11】从3开始，依据后一数是前一数加上3，写出2000个数排成一行：3，6，9，12，15，18，21,……在这行数中第1991个数是奇数还是偶数?
【例12】（第三届“从小爱数学”邀请赛）某班同学参加学校的数学竞赛.试题共50题.评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分.请你说明：该班同学得分总和一定是偶数.
【例13】桌子上有5个杯子，开口全部朝上，每次同时翻其中的4个，请问是否可以经过有限次翻动使得5个杯子都开口向下。

【例14】（第七届《小数报》数学竞赛决赛）从1，2，3…，100中任选两个不同的数可以组成两个加法算式(8+2与2+8算两个).这些算式中，有的和是奇数，有的和是偶数.在所有这些算式中，和为奇数的多还是和为偶数的多?多多少？
习题六
1．如右图，C是AB上非中点的任意一点，D、E是AC的三等分
点，F、G是BC的三等分点，AB长54厘米，那么EF长多少厘米？
2．口袋中有1分硬币10枚、2分4枚、5分2枚和1角硬币1枚，从口袋中拿出1角，情况有多少种？
3．把1，2，3，4，5，6分别填入左下图所示的表格内，使得每行相邻的两个数左边的小于右边的，每列的两数上面的小于下面的。

问：有几种填法？
4．从下面的数中选出5个数，使它们的和等于60，你能做到吗？为什么？
11，33，13，7，5，17，19，15，23，31，1，3，9，21。

5．判断算式：(292+293+…+395)一(163+164+…+221) 的结果是奇数还是偶
数?
6．在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在
这个方格中，例如a=5+3=8，问：填入的81个数中，奇数多还是偶数多?多多
少？
数学童话
八戒卖菜
八戒自从陪师傅西天取经回来后，便失业了。

为了生计，八戒租了十几亩菜地，种上了大白菜。

一天，狐狸两兄弟蹬着三轮车来买菜。

一般情况下都是谈好价钱再砍菜，可八戒二话不说就砍了1000千克大白菜。

砍完后才说：“批发价，每千克1角钱。

”这个价钱是实打实的，没有一点浮动的水份。

狐狸两兄弟显然也知道行情，所以也没有还价。

只是在一块儿嘀咕了一会儿，然后，狐狸老大说：“我是开餐馆的，只要菜帮，我兄弟他是养鱼的，只要菜叶喂鱼。

所以，我买菜帮，每千克我给8分钱；他买菜叶，每千克给你2分钱。

这样，每千克大白菜还是卖1角钱，你老猪一点不吃亏。

”八戒想想也对，就同意了。

于是三个立即忙开了，花了近半个钟头，将菜帮和菜叶分开，并称了重量。

狐狸两兄弟按讲好的价钱付了款之后将菜装上三轮车拉走了。

等他们走后，八戒数了数手中的钱，顿时吃惊得瞪大了眼睛，为什么呢？他本应该收到100元钱，可到手的钱却差了一大截儿。

这是怎么回事呢？八戒蹲下来苦思冥想，并用一根小棍子在地上划来划去。

后来，终于弄明白了，1千克菜帮给8分钱，1千克菜叶给2分钱，2千克菜合起来一共才收到1角钱，鬼就出在这里。

种菜赚不了几个钱，这次又被狐狸两兄弟坑了，八戒气得几天都吃不好饭。

过了几天，尝到甜头的狐狸两兄弟又来了。

八戒一看见他俩就骂了起来：“你们滚得远远的，骗了我一次骗不了两次，我不愿意和你们做生意了。

”狐狸两兄弟嘻皮笑脸地对八戒说：“老猪，做生意的人，怎么说不做了呢？这次我保证不让你吃亏了。

菜帮每千克给你1角6分钱，菜叶每千克给你4分钱，2千克菜共给你2角钱，你不吃亏了吧。

”
八戒心想这样肯定不会吃亏了。

于是又卖给了他们1000千克大白菜。

狐狸两兄弟离开后，八戒数了数手中的钱，又一次气得目瞪口呆，本应该收到100元钱，怎么只有88元呢？另外12元钱哪里去了呢？八戒百思不得其解，只好去请教他的猴哥指点迷津。

猴哥听后，给他解释道：将菜帮和菜叶分开卖，会出现三种情况：
1、菜帮、菜叶同样，即都是500千克，那么这种情况刚好卖：0.16×500＋0.04×500=100元；
2、菜帮多、菜叶少，那么这种情况则比100元多，如：0.16×600＋0.04×400=112元；
3、菜帮少、菜叶多，那么这种情况则比100元少，你八戒就是这么卖的，即：0.16×400＋0.04×600=88元；
八戒听了猴哥的解释，才恍然大悟。