安徽省安庆市第八中学高三数学理测试题含解析

安徽省安庆市第八中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法中正确的是（）
A．“”是“”必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．，使函数是奇函数
D．设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题
参考答案：
B
略
2. 已知偶函数满足，且当时，，关于x的不等式
在区间[－200,200]上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据的周期和对称性得出不等式在上的整数解的个数为3,计算的值得出的范围.
【详解】因为偶函数满足,
所以,
所以的周期为且的图象关于直线对称,
由于上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,
所以关于不等式在上有3个整数解, 当时,,
由,得,由,得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
因为,,
所以当时,,
所以当时,在上有4个整数解,不符合题意,
所以,
由可得或,
显然在上无整数解,
故而在上有3个整数解,分别为,
所以,,,
所以.
故选:D
【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.
3. 关于函数有以下三个判断
①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；
②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；
③若是函数的一个极值点,则函数极小值为-1.
其中正确判断的个数有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
参考答案：
C
【分析】
函数的零点个数即的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系.
【详解】因为，方程，，所以关于的方程一定有两个实根，且两根之积为-1，所以恒有两个零点且两个零点之积为-1，即①正确；
，，对于，
，所以恒有两个不等实根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为，所以②错误；
若是函数的一个极值点, ，则，
，
，
，，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以函数的极小值为，所以③正确.
故选：C
【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强.
4. 在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对（）的概率
是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
5. 在中，D为AB边上一点，，，则=
A． B. C. D.参考答案：
B
6. 已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（）
A. 127
B. 255
C. 511
D. 1023
参考答案：
B
略
7. 设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则?U（A∩B）=（）A．{﹣2，0} B．{﹣2，0，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，2}
参考答案：
C
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可．
【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，
A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，
则A∩B={﹣2，0}，
∴?U（A∩B）={﹣1，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
8. .已知，，且，则向量与的夹角为（）
A. 60°
B. 120°
C. 30°
D. 150°
参考答案：
D
【分析】
将两边平方，根据向量的夹角公式得到答案.
【详解】，，
即
故答案选D
【点睛】本题考查了向量的运算和夹角公式，意在考查学生的计算能力.
9. （文）已知，则p是q的（）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
10. 谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.在一个正三角形中，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形为剩下的部分，我们称此三角形为谢尔宾斯基三角形.若在图（3）内随机取一点，则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得．
【详解】由图可知：图（2）挖去的白色三角形的面积为图（1）整个黑色三角形面积的，
在图（2）中的每个小黑色三角形中再挖去的每一个白色三角形的面积仍为图（2）中每一个黑色三角形面积的，即为图（1）大黑色三角形面积的，
∴图（3）中白色三角形面积共占图（1）黑色三角形面积的，∴谢尔宾斯基三角形的面积为，
故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为，
故选C.
【点睛】本题考查了数学文化及几何概型中的面积型题型，属于简单题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数满足则的最大值是
_____ .
参考答案：
5
【考点】线性规划
【试题解析】
作可行域：
因为目标函数为：所以z的几何意义为：目标函数线纵截距的相反数。

所以当目标函数线过B（3,1）时，
12. 已知i为虚数单位，复数z满足，则．
参考答案：
2
，，所以。

13. 已知集合，，则
．
参考答案：{1}
14. 若函数在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是。

参考答案：
15. （几何证明选讲选做题）
极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为．
参考答案：
16. f （x ）=+xcosx 在点A （，f（））处的切线方程是
．
参考答案：
y=（2﹣）x+
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出导数，求得切线的斜率，和切点，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：f（x）=+xcosx的导数为：
f′（x）=+（cosx﹣xsinx），
即有在点A（，f（））处的切线斜率为：
k=×2+（﹣×）=2﹣，
f（）=+??=，
即有在点A（，f（））处的切线方程为y﹣=（2﹣）（x﹣），即为y=（2﹣）x+．
故答案为：y=（2﹣）x+．
17. 如图6，为了测量、两点间的距离，选取同一平面上、两点，测出四边形
各边的长度（单位：）：，，，，且与互补，
则的长为_______.
参考答案：
7
，故答案为7.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与轴交于点，
与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点且斜率大于的直线与椭圆交于两点
（），若，求实数的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）因为轴，得到点，…………2分所以，所以椭圆的方程是．…………5分
（Ⅱ）因为……6分
所以．由（Ⅰ）可知，设方程，，
联立方程得：．即得（*）
又，有， (7)
分
将代入（*）可得：
．…………8分
因为，有
，…………9分
则且． (没考虑到扣1分) ………11分
综上所述，实数的取值范围为
．…………12分
注：若考生直接以两个极端位置分析得出答案，只给结果2分.
19. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知正项数列，满足：对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列，的通项公式；
（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.
（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.
（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.
【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.
（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.
（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.
【参考答案】（1）由已知，①,②，………1分由②可得，
③，……………………………2分
将③代入①得，对任意，，有，
即，所以是等差数列．…………………………4分（2）设数列的公差为，由，，得，，……6分
所以，，所以，……………………7分
所以，，………………8分
所以，，，……………………9分
．…………………………………………………………10分
（3）解法一：由（2），，……………11分
所以，，……13分
故不等式化为，
即当时恒成立，…………………………………………14分
令，
则随着的增大而减小，且恒成立. ………………………………17分
故，所以，实数的取值范围是. ………………………………18分解法二：由（2），，……………………11分
所以，，……13分
故不等式化为，
所以，原不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立，……………………………………14分
设，由题意，，
当时，恒成立；…………………………15分当时，函数图像的对称轴为，在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可，
由，得，所以当时，对恒成立．
综上，实数的取值范围是
．…………………………18分
20. （本题满分14分．第（1）小题7分，第（2）小题7分）
在中，角的对边分别为，是该三角形的面积，
（1）若，，，求角的度数；
（2）若，，，求的值.
参考答案：
解：（1）
（2）得
21. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线M的极坐标方程为
ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣
与曲线M交于A，B，C三点（异于O点）
（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；
（II）当φ=时，直线l经过B，C两点，求m与α的值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）利用极坐标方程，即可证明：|OB|+|OC|=|OA|；
（II）当φ=时，直线l经过B，C两点，求出B，C的坐标，即可求m与α的值．
【解答】（Ⅰ）证明：由已知：
∴…
（Ⅱ）解：当时，点B，C的极角分别为，
代入曲线M的方程得点B，C的极径分别为：
∴点B，C的直角坐标为：，
则直线l的斜率为，方程为，与x轴交与点（2，0）；
由，知α为其倾斜角，直线过点（m，0），∴…
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点。

（1）求异面直线PA与BF所成角的正切值。

（2）求证：EF⊥平面PCD。

参考答案：
解：（1）如图，连结AC，过点F作FO⊥AC，∴面PAC⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥AC，垂足为O，
连结BO，则FO⊥平面ABCD，且FO//PA。

∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角
在Rt△BOF中，OF PA=1，
OB=，则tanBFO=
（2）连结OE、CE、PE。

∵E是AB的中点，∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD，∴EF⊥AB。

∵AB//CD ∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，∴Rt△PAE≌Rt△CBE，∴PE=CE ∴又F为PC的中点，∴EF⊥PC。

故EF⊥平面PCD。

略。