2017版高考数学课件：7.7 空间角

因为AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,
又M,N分别为AD,BC的中点,
所以CM⊥AD,AN⊥BC,
所以CM= CD2 MD2=2 NC2 NH 2 = 3,
2,AN=
AC2 NC=22 ,M2H= AN1= ,HC2 =
2
则|cos∠HMC|= | CM 2 MH 2 HC2 =| 7.
3
3
解法二:以AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(0,1,0),S(0,0,1),D(2,0,0). 依题意有M(1,1,0), DM=(-1,1,0), D=S(-2,0,1),
设平面SDM的法向量为n=(x,y,z),则有 取x=1,得n=(1,1,2).
2
14
2 14
第九页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是A1B1和BB1
的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为
.
第十页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
答案 2 5
解析 以D为坐标原点, DA为x轴正向, D为C y轴正向,
)
A. 1 B. 3 C. 或1 5 7 D. 或3 5 7
2
2
2 14
2 14
答案 D 取BC的中点H,连结FH、EH,则∠EHF=60°或∠EHF=120°,由
已知得HE=1,HF=2,由余弦定理可得EF= 或3 EF= .从7 而有cos∠EFH=
3 或cos∠EFH= 5 ,7即异面直线EF与Cc D所成角的余弦值为 或 3 . 5 7
1.直线与直线所成的角 (1)定义法:用平移转化的方法,将异面直线所成的角转化为相交直线所成
的角.
(2)确定两条直线的方向向量分别为a,b,则两条直线所成角θ的余弦为cos
ac b
θ=① | a || b | ,既可以用数量积公式直接计算,也可以建立坐标系后转
化为坐标运算.
第一页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
解法三:不妨取AC=CB=CC1=2, 则BM= 6,AN= 5, BM· AN
第十七页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
=( BB1+ B1M)·( AA+1 A1N)
=
BB1
1 2
B1C1
1 2
C1 A1
·
AA1
1 2
A1C1
=3,
则cos< BM , AN>= BM AN = 30,
| BM || AN | 10
则M
1 2
,
1 2
,
0
,设N(x,x,1),x∈[0,1],
c
则
MN=
x
1 2
,x
1 2
,1,
BD=(0,-1,1), 3
x
2
则cos α=|cos< MN, BD>|=
2
2
x
1 2
2
1
第二十二页，编辑于星期六：二十点 二十四分 。
= 2×
2
3 2
x
2
.
2
x
1 2
2
1
令
3-x=t∈
第二十四页，编辑于星期六：二十点 二十四分 。
由于DM⊂平面SDM,所以平面SDM⊥平面SAM. 过点A作AN⊥SM,垂足为N,则AN⊥平面SDM,故∠ASM即为直线SA与平
面SDM所成的角.因为SA=1,AM= ,2所以SM= .3则sin∠ASM= =AM = 2
SM 3
6,故直线SA与平面SDM所成角的正弦值为 . 6
D为D1z轴正向建立
空间直角坐标系,则A(1,0,0),M

1,
1 2
,1,C (0,1,0),N
1,1,,12则
A=M
0,
12,,1
CN
=
1, 0,
1 2
,∴|cos<
AM,
CN>|=
| AM CN | =
| AM | | CN |
线AM与CN所成角的余弦值为 2.
5
|
01
1 2
0
1
1 2
|=
.2即直
AB CD
第四页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
AB cCD
④ | AB || CD | .
(ii)设n1、n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α、β的法向量,则向量n1与n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图2、3).其中cos<n1,n2>=
⑤
n1 c n2
| n1 || n2 | .
PA PC <0,等价于 P·A P<C0, | PA | | PC |
第十三页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2
=(λ-1)(3λ-1)<0,得 1<λ<1.
3
因此,λ的取值范围为
1 3
,1.
第十四页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
异面直线所成的角
以BC1与平面BB1D1D所成角就是∠C1BEc,而sin∠C1BE=
BE= .故选A.
6
= E,C所1 以1∠C1
BC1 2
第七页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
3.线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内,并与这两个面都成30°角, 则异面直线AB与l所成的角是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75° 答案 B 如图,在α内作AA'⊥l于A',在β内过点B作l的平行线,过点A'作l 的垂线,两线交于点C,作BB'⊥l于B'.连结AC,则∠ABC即为异面直线AB与
第十二页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
由 D1B=(1,1,-1)得 D1=Pλ D=1B(λ,λ,-λ), 所以 PA= PD+1 D1A=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1), PC= PD1+ D1C=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1). 显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos< , >P=A PC
第十六页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2), ∴ AN=(-1,0,-2), BM=(1,-1,-2), ∴cos< AN, BM>= AN BM = 1 4= 3= 3,0故选C.
| AN || BM | 5 6 30 10
第五页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )
A.75° B.60° C.45° D.30° 答案 C 如图,正四棱锥P-ABCD中,过P作PO⊥平面ABCD于点O,连结 AO,则AO是AP在底面ABCD上的射影,
∴∠PAO即为所求的角,易知AO= ∠PAO=45°,即所求角为45°.故选C.
第三页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
3.二面角
(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点分别在两个半平
面中作棱的垂线,得出平面角.用定义法时,要认真观察图形的特征.
(2)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个
半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.由此可知,二面角的平面角
所以BM与AN所成角的余弦值为|cos< BM, AN>|= 3.0
10
第十八页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
异面直线所成角的求解方法
(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角. (2)用“向量法”求两直线的方向向量所成角(或其补角),当异面直线的 方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.
2.直线和平面所成的角
分类:(1)直线与平面斜交时,直线和平面所成的角是指这条直线和它在平 面内的射影所成的锐角; (2)直线和平面垂直时,直线和平面所成的角为90°; (3)直线和平面平行或直线在平面内时,直线和平面所成的角为0°. 由 求此直可线知与,平直面线所和成平角面的所一成般的过角程的:范通围过为射影转0,化2. 法,作出直线与平面所成
所在的平面与棱垂直.
(3)射影法:利用面积射影公式③
,其中θ为二面角的平面
S射=S斜·cos θ 角的大小.此方法不必在图中画出平面角.
(4)向量法:设二面角α-l-β的平面角为θ,
(i)若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线,
如图1所示,则二面角的大小就是向量 、 的夹角.此时,cos θ=
,2又PA=1,∴cos∠PAO=
2
c
=AO ,∴2 PA 2
第六页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与平面BB1D1D所成的角是 ( )
A. B. C. D.
6
4
3
2
答案 A 连结A1C1交B1D1于E,连结BE、C1E,易知C1E⊥平面BB1D1D,所
第十九页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
1-1 (2015浙江,13,4分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=
BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值
是
.
第二十页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
答案 7 8
解析 连结DN,取DN的中点H,连结HM,HC,由N、M、H均为中点,知|cos ∠HMC|即为所求.
典例1 (2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分 别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 ()
A. 1 B. 2 C. 30 D. 2
10
5
10
2
答案 C
解析 解法一:取BC的中点Q,连结QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所
的角;在三角形中求角的大小.
向量法:设PA是平面α的斜线,m= ,n为平面α的法向量,PA与平面α所成
PA
第二页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
的角为θ,则sin θ=②
mn
c
|m||n| .
转化法:若斜线段(其中有一个端点在平面内)长度确定,则求斜线与平面 所成角的问题可转化为直角三角形中的问题,求斜线段的另一个端点到 平面的距离,即求点到平面的距离,进而求角.
l所成的角.连结A'B.由题意易知AA'= AB1,BB'=A'C= AB,1A'B= AB,所3 以
2
2
2
A'B'=BC= 2AB,AC= 2AB.由勾股定理c 逆定理知∠ACB=90°,则∠ABC=4
2
2
5°.
第八页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
4.空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD的中点,若CD=2AB=4,异面直 线AB与CD所成的角为60°,则异面直线EF与CD所成角的余弦值为 (
2
1 2
,
3 2
,
则cos α= 2 ×
t2 = 2×
2 2t2 4t 3 2
令 1=u∈
t
2 3
,
2,
1,
2
4 t
3 t2
则cos α= 2×
2
1 ,3u2-4u+2∈
3u2 4u 2
2 3
, 6,
所以cos α= 2×
2
1 ∈ 3 3.
3u2 4u 2
6
,
2
1∈
3u2 4u 2
求,设BC=CA=CC1=2,
c
则AQ= 5,AN= 5,QN= 6,
第十五页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
∴cos∠ANQ= AN 2 NQ2 AQ2
2AN NQ
= 5 6 5 = 6 = 30,故选C.
2 5 6 2 30 10
解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
5
0 1 1 10 1
4
4
第十一页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
6.(2015浙江金丽衢十二校联考)如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上,记 D1=Pλ.当∠APC为钝角时,求λ的取值范围.
D1B
解析 以{ DA, DC, DD}1为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标 系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),Dc 1(0,0,1).
2CM MH
8
故异面直线AN,CM所成角的余弦值为 . 7
8
第二十一页，编辑于星期六：二十点 二十四分 。
1-2 (2015杭州二模文,15,4分)在正四面体ABCD中,M是AB的中点,N是棱 CD上的一个动点,若直线MN与BD所成的角为α,则cos α的取值范围是
.
答案
3, 6
3
2
解析 建立空间直角坐标系,且A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,1),D(0,0,1),
6, 6
6,
2
第二十三页，编辑于星期六：二十点 二十四分 。
直线与平面所成的角 典例2 如图,四边形ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,SA=AB=1,AD=2,点M 为BC的中点,求直线SA与平面SDM所成角的正弦值.
解析 解法一:连结AM,因为点M为BC的中点,SA=AB=1,AD=2,所以AM= DM= 2, 由勾股定理的逆定理知DM⊥AM.又SAc ⊥平面ABCD,则DM⊥SA,因SA∩ AM=A,所以DM⊥平面SAM.