动能定理基础20140411
动能 动能定理课件
q
s1cos s2 cosq +… q +F2· ②. W合＝W1+W2 +…＝F1· b. 标量性 式子左边的功与右边的动能都是标量
c．对定理中“变化”一词的理解
e. 是一 ＞ Ek1 ， △ Ek —— ＞ 0 种求功 ①W合＞0， Ek2 __ ＜ 0 的方法. ②W合＜0， Ek2 ＜ __ Ek1 ， △ Ek —— d．适用范围（课后思考。提示：微元法） 特别是 求变力 既适合于直线运动，也适合于曲线运动。 既适用于恒力做功，也适合于变力做功。做功
1 1 2 2 = mv 2 - mv1 2 2
合外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
3. 动能定理的适用范围：经典物理范围内没有限制 4.动能定理主要应用： （1）多过程问题 （2）曲线运动，变力做功
作业布置：1、P69 T3、4、5（作业本上交）
2.【思考】 如图所示，AB与CD为两个对称斜面， 其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的 两端相切，圆弧圆心角为120°，半径R为2.0 m， 一个物体在离弧底E高度为h＝3.0 m处，以初速度 4.0 m/s沿斜面运动．若物体与两斜面的动摩擦因 数为0.02，则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一 共能走多长路程？(g取10 m/s2) 类型4.曲线、变力、多过程
解题思维总结：两点(初 末状态）一过程（做功过 程），对象：单体、系统
解析：设物体在斜面上运动的总路程为s，则摩 擦力所做的总功为－μmgscos60°，末状态选 为B(或C)，此时物体速度为零，对全过程由动能 定理得
mg[h － R(1 － cos60° )] － μmgscos60° ＝0 1 － mv2 0 2 物体在斜面上通过的总路程为 1 2gh－ R＋v2 0 2 s＝ μg 2×10×3.0－1.0＋4.02 ＝ m＝280 m. 0.02×10
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、什么是动能定理在开始探讨动能定理的应用之前，咱们得先搞清楚动能定理到底是啥。
动能定理简单来说就是：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
用数学表达式写出来就是：W 合＝ΔEk ，其中 W 合表示合外力做的功，ΔEk 表示动能的变化量。
动能 Ek ＝ 1/2 mv²，m 是物体的质量，v 是物体的速度。
那为什么要有动能定理呢？其实它就是为了让我们更方便地研究物体在力的作用下运动状态的变化。
二、动能定理的推导咱们来简单推导一下动能定理。
假设一个物体在恒力 F 的作用下，沿着直线运动，发生的位移是 s ，力 F 与位移 s 的夹角是θ 。
根据功的定义，力 F 做的功 W ＝Fscosθ 。
根据牛顿第二定律 F ＝ ma ，而根据运动学公式 v² v₀²＝ 2as （其中 v 是末速度，v₀是初速度，a 是加速度），可以得到 s ＝（v² v₀²) ／ 2a 。
把 s 代入功的表达式，得到 W ＝ F ×（v² v₀²) ／ 2a 。
又因为 a ＝ F ／ m ，所以 W ＝ 1/2 mv² 1/2 mv₀²。
这就得到了动能定理的表达式 W 合＝ΔEk 。
三、动能定理的应用场景1、求变力做功在很多情况下，物体受到的力不是恒力，比如弹力、摩擦力等，这时候直接用功的定义来求力做的功就很困难。
但是用动能定理就可以很方便地解决。
比如说，一个小球从高处自由下落，落到一个竖直放置的弹簧上，压缩弹簧。
在这个过程中，弹簧对小球的弹力是不断变化的，但我们可以通过小球动能的变化来求出弹簧弹力做的功。
2、多过程问题当物体的运动过程比较复杂，包含多个阶段，每个阶段受力情况不同时，动能定理就大显身手了。
比如，一个物体先在粗糙水平面上匀减速运动，然后进入光滑斜面加速上升。
我们可以分别分析每个阶段合外力做的功，然后根据动能定理求出物体在整个过程中的末速度。
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、动能定理的基本概念在物理学中，动能定理描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。
动能定理的表达式为：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
动能，是物体由于运动而具有的能量。
其表达式为：＄E_{k} ＝＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄，其中$m$是物体的质量，＄v$是物体的速度。
当一个力作用在物体上，并且使物体在力的方向上发生了位移，这个力就对物体做了功。
功的表达式为：＄W ＝ Fs\cos\theta$，其中$F$是力的大小，＄s$是位移的大小，＄＼theta$是力与位移之间的夹角。
二、动能定理的推导假设一个质量为$m$的物体，在恒力$F$的作用下，沿直线从位置$A$运动到位置$B$，位移为$s$，初速度为$v_{1}＄，末速度为$v_{2}＄。
根据牛顿第二定律$F ＝ ma$，其中$a$是加速度。
又因为运动学公式$v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2} ＝ 2as$，则$s ＝＼frac{v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2}｝｛2a}＄。
那么力$F$做的功$W ＝ Fs ＝ ma ＼times ＼frac{v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2}｝｛2a} ＝＼frac{1}｛2}mv_{2}＾｛2} ＼frac{1}｛2}mv_{1}＾｛2}＄这就证明了合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量，即动能定理。
三、动能定理的应用场景1、求物体的速度当已知物体所受的合力做功以及物体的初动能时，可以通过动能定理求出物体的末速度。
例如，一个质量为$2kg$的物体，在水平方向受到一个大小为$10N$的恒力作用，力的方向与物体运动方向相同，物体在力的作用下移动了$5m$，物体的初速度为$3m/s$，求物体的末速度。
首先计算合力做功：＄W ＝ Fs ＝ 10×5 ＝ 50J$根据动能定理：＄W ＝＼frac{1}｛2}mv_{2}＾｛2} ＼frac{1}｛2}mv_{1}＾｛2}＄即$50 ＝＼frac{1}｛2}×2×v_{2}＾｛2} ＼frac{1}｛2}×2×3^｛2}＄解得$v_{2} ＝ 7m/s$2、求物体所受的合力如果已知物体的质量、初末速度以及位移，可以通过动能定理求出合力。
知识讲解动能动能定理基础
物理总复习：动能、动能定理编稿：李传安审稿：张金虎【考纲要求】1、理解动能定理，明确外力对物体所做的总功与物体动能变化的关系；2、会用动能定理分析相关物理过程；3、熟悉动能定理的运用技巧；4、知道力学中各种能量变化和功的关系，会用动能定理分析问题。
【知识络】【考点梳理】考点一、动能动能是物体由于运动所具有的能，其计算公式为212k Emv?。
动能是标量，其单位与功的单位相同。
国际单位是焦耳（J）。
考点二、动能定理1、动能定理合外力对物体所做的功等于物体动能的变化，这个结论叫做动能定理。
2、动能定理的表达式21kk WEE??。
式中W为合外力对物体所做的功，2k E为物体末状态的动能，1k E为物体初状态的动能。
动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度，中学物理中一般取地球为参考系。
要点诠释：1、若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以视全过程为整体来处理。
2、应用动能定理解题的基本步骤（1）选取研究对象，明确它的运动过程。
（2）分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是否做功？做正功还是做负功？做多少功？然后求各个外力做功的代数和。
（3）明确物体在始、末状态的动能1k E和2k E。
（4）列出动能定理的方程21kk WEE??及其他必要的辅助方程，进行求解。
动能定理中的W总是物体所受各力对物体做的总功，它等于各力做功的代数和，即123=WWWW??????总若物体所受的各力为恒力时，可先求出F合，再求cosWFl??总合3、一个物体动能的变化k E?与合外力做的功W总具有等量代换的关系。
因为动能定理实质上反映了物体动能的变化，是通过外力做功来实现的，并可以用合外力的功来量度。
0k E??，表示物体动能增加，其增加量就等于合外力做的功；0k E??，表示物体动能减少，其减少量就等于合外力做负功的绝对值；0k E??，表示物体动能不变，合外力对物体不做功。
动能定理基础知识点
动能定理基础知识点动能定理是物理学中的基本定理之一，它描述了物体的动能与外力所做的功之间的关系。
在本文中，我将介绍动能定理的基本概念和公式，并解释其在物理学中的应用。
一、动能定理的概念动能定理是指当物体受到外力作用时，物体的动能的增量等于外力对物体所做的功。
换句话说，如果一个物体的动能从初态到末态发生变化，那么这个变化值等于外力所做的功。
动能定理的思想基于牛顿第二定律：物体的加速度与外力成正比，加速度越大，物体的动能增加得越快。
通过动能定理，我们可以通过物体动能的变化来推断外力所做的功的大小。
二、动能定理的公式动能定理可以表述为以下公式：ΔK = W其中：ΔK表示物体动能的变化量，单位为焦耳(J)；W表示外力所做的功，单位也为焦耳(J)。
根据动能定理，如果一个物体的动能发生了变化，那么这个变化值等于外力所做的功。
三、动能定理的应用1. 碰撞与能量转化：在物体之间的碰撞中，根据动能定理可以推断出物体在碰撞过程中的动能转化情况。
例如，在弹性碰撞中，当两个物体碰撞之后，它们的动能是互相转化的，总的动能保持不变。
2. 机械能守恒定律：在只受重力做功的系统中，根据动能定理可以推导出机械能守恒定律。
机械能守恒定律指的是，在只受重力做功的系统中，物体的总机械能（动能和势能之和）保持不变。
3. 动能定理与力学工作：根据动能定理，我们可以计算外力所做的功。
功是物体在力的作用下沿着力的方向移动时所吸收或放出的能量。
功可以用来计算一些力学工作，比如推车沿着平面移动、抬起重物等。
4. 动能定理在运动学中的应用：动能定理也经常应用在运动学分析中，特别是在研究物体在一段时间内的加速度变化时。
根据动能定理，我们可以通过物体动能的变化来推断物体的加速度变化情况。
总结：动能定理是解决物体动能变化以及外力所做功的基本定理之一。
它提供了物体动能与外力作用之间的定量关系，并在物理学的不同领域中有着广泛的应用。
通过动能定理，我们可以深入理解物体在受力作用下的运动情况，分析碰撞、能量转化以及力学工作等问题。
动能定理
• 动能定理这一章 , 是从能量的观点来描述一个 力学过程. 与前几章不同的是 , 不再把力分成内 力和外力, 而是分成主动力和约束反力 . • 在解题的思路上这一章与前几章也有明显的不 同. 对于刚体系统和质点系统来讲, 动能定理的运 用大都以整个系统为研究对象. 而动量定理和动 量矩定理的运用在许多场合下需要将原系统拆成 单体或简单系统 . • 运用动能定理求运动量特别是线速度和角速度 是非常方便的.
1
1 1 1 2 J 11 J 22 mv2 0 M1 mgh 2 2 2 2
R
2
由题目所给的条件可得: v v 2 1 i 12 2 i 12 R R 代入上式整理后可得:
2
h R
1 i 12 2 i 12
h R
2 v 2 ( J 1 i 12 J 2 m R2 ) 2(Mi 12hR m gR2h )
h
mg
v2
2(Mi 12 m gR)Rh 2 J 1 i 12 J 2 m R2
v
2(Mi 12 m gR)Rh 2 J 1 i 12 J 2 m R2
17
例三. ( 例13– 3) 冲击实验机如图 示.已知摆锤的质量为18kg , 重心到转动轴的距离L = 840mm. 杆重不计. 开始时将摆锤升高到摆角α1 = 70° 的地方然后释放, 冲断试件后摆锤上 升的摆角 α2 = 29° . 求冲断试件所需用的能量WK . 由动能定理: T2 －T1 = ∑WA
y
x
重力作功与质点或物体的运动路径无关, 只与其初终的位置有关. 质心下降作正功, 质心上升作负功.
3
2. 弹力的功
第十讲：动能定理解析版
第十讲：动能定理一、动能和动能定理1、动能1.定义：物体由于运动而具有的能．2.公式：E k ＝12m v 2.3.物理意义：动能是状态量，是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有正值，动能与速度方向无关．4.单位：焦耳，1 J ＝1 N·m ＝1 kg·m 2/s 2.5.动能的相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性．6.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12m v 22－12m v 21. 2、动能定理1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．2.表达式 (1)W ＝ΔE k . (2)W ＝E k2－E k1. (3)W ＝12m v 22－12m v 21. 3.物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度． 4．适用条件：(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．例题、关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是( )A ．合外力为零，则合外力做功一定为零B ．合外力做功为零，则合外力一定为零C ．合外力做功越多，则动能一定越大D ．动能不变，则物体所受合外力一定例题、如图所示，AB 为14圆弧轨道，BC为水平直轨道，BC 恰好在B 点与AB 相切，圆弧的半径为R ，BC 的长度也是R .一质量为m 的物体与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，它由轨道顶端A 从静止开始下落，恰好运动到C 处停止，重力加速度为g ，那么物体在AB 段克服摩擦力所做的功为( )A.μmgR 2B.mgR 2C ．mgRD ．(1－μ)mgR(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．二、对动能定理的理解1．动能定理表明了“三个关系”(1)数量关系：合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合外力做的功．(2)因果关系：合外力做功是引起物体动能变化的原因．(3)量纲关系：单位相同，国际单位都是焦耳．2．标量性动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题．当然动能定理也就不存在分量的表达式．三、动能定理的基本应用1．应用流程2．注意事项(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理A．物体的重力势能增加了3 JB．物体的重力势能减少了3 JC．物体的动能增加了4.5 JD．物体的动能增加了8 J例题、用力F拉着一个物体从空中的a 点运动到b点的过程中，重力做功－3 J，拉力F做功8 J，空气阻力做功－0.5 J，则下列判断正确的是()例题、如图所示，半径为r的半圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，直径AC 水平，一个质量为m的物块从圆弧轨道A端正上方P点由静止释放，物块刚好从A点无碰撞地进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，到B点时对轨道的压力大小等于物块重力的2倍，重力加速度为g，不计空气阻力，不计物块的大小，则：(1)物块到达A点时的速度大小和P A间的高度差分别为多少？(2)物块从A运动到B所用时间和克服过程之间的关系．(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理．(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验．四、动能定理结合图像问题1．解决图象问题的基本步骤(1)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．2．图象所围“面积”的意义(1)v－t图象：由公式x＝v t可知，v－t图线与t坐标轴围成的面积表示物体的位移．(2)a－t图象：由公式Δv＝at可知，a－t图线与t坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量．(3)F－x图象：由公式W＝Fx可知，F－x图线与x坐标轴围成的面积表示力所做的功．(4)P－t图象：由公式W＝Pt可知，P－t图线与t坐标轴围成的面积表示力所做的功．例题、如图甲所示，置于水平地面上质量为m的物体，在竖直拉力F作用下，由静止开始向上运动，其动能E k与距地面高度h的关系图象如图乙所示，已知重力加速度为g，空气阻力不计．下列说法正确的是()A．在0～h0过程中，F大小始终为mg B．在0～h0和h0～2h0过程中，F做功之比为2∶1C．在0～2h0过程中，物体的机械能不断增加D．在2h0～3.5h0过程中，物体的机械能不断减少针对训练题型1：动能定理的理解（多选）1．改变物体的质量和速度，都能使物体的动能发生改变，下列哪种情况，物体的动能是原来的2倍（）A．质量减半，速度增大到原来的2倍B．速度不变，质量增大到原来的2倍C．质量减半，速度增大到原来的4倍D．速度减半，质量增大到原来的4倍【解答】解：A、由动能表达式可知质量减半，速度增大到原来的2倍，动能变为，故A正确。
动能定理
X=0,Y=0,Z=-P
2
理论力学讲义
由求功的解析表达式有：
W = − ∫ Pdz = P( z1 − z 2 )
z1 z2
可见重力的功等于质点的重量与起始位置的高度差的乘机， 与质点运动的路 径无关。当质点位置降低时，功为正值；反之，功为 负值。
2 弹性力的功：
设质点与长为 l 0 的弹簧相连沿轨迹 A1 A2 ，由 A1 移 至 A2 。设 A 点矢径为 r ，单位矢径为 r0 ，则
式中 v 是 F 作用点的速度 在 N 一定的情况下， Fτ 与 v 成反比。如汽车上坡时，由于需要较大的牵引 力，故一般选用低速挡。 作用在定轴转动刚体上力的功率 dϕ δW N= = Mz = M zω dt dt 功率的量纲：
[N ] = [W ] [T ]
在国际单位制中，功率单位为： 瓦特（w） 瓦特=J / s （kw）
x=
∴v =
mg ， k
m ⋅g k
§13-3 质点系的动能定理
1. 质点系的动能： 质点系的动能等于质点系中各质点动能之和。即：
n 1 2 T = ∑ mi v i i =1 2
下面将给出刚体动能的计算公式： （1） 平动刚体的动能：
n 1 1 2 1 2 T = ∑ mi vi = vc ⋅ ∑ mi = Mvc2 2 2 i =1 2
[W]=[F][L]
在 SI 中，功的单位为：J（焦耳） 。1J=1Nm 在工程单位制中，功的单位为：kg f m. 下面介绍几种常见力的功的计算方法： 三．常见力的功：
1 重力的功：
设质点重 P，由 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 处沿曲线移 至 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 。重力的投影为：
动能定理基础知识点
动能定理基础知识点动能定理是力学中的一条基本定理，用于描述物体运动中动能的变化情况。
它是一个非常重要的概念，有助于我们深入理解物体运动的本质以及能量的转化和守恒。
本文将介绍动能定理的基础知识点，从定义、公式推导到实际应用等方面进行阐述。
一、动能定理的定义和原理动能定理是描述物体运动过程中动能变化的定理。
其基本原理是物体的动能变化等于受力的做功。
以物体质点沿直线运动为例，动能定理可以表示为：\[W = \Delta E_k\]其中，\(W\)为受力\(F\)所做的功，\(\Delta E_k\)为物体动能的变化量。
二、动能定理的公式推导根据牛顿第二定律和功的定义，可以推导出动能定理的公式。
牛顿第二定律表示为：\[F = ma\]其中，\(m\)为物体质量，\(a\)为物体的加速度。
设物体在起始位置\(x_1\)处的速度为\(v_1\)，在终止位置\(x_2\)处的速度为\(v_2\)，根据动能的定义可知：\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]物体从位置\(x_1\)移动到位置\(x_2\)的过程中，受力的功可表示为：\[W = F(x_2 - x_1)\]根据牛顿第二定律可以得到：\[W = ma(x_2 - x_1)\]将式子\(a = \frac{(v_2^2 - v_1^2)}{2(x_2 - x_1)}\)代入上式，可得：\[W = m\frac{(v_2^2 - v_1^2)}{2(x_2 - x_1)}(x_2 - x_1) =\frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2)\]根据动能定义，可得到动能的变化量：\[\Delta E_k = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2)\]综上所述，就得到了动能定理的公式：\[W = \Delta E_k\]三、动能定理的应用动能定理在物理学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用示例。
1. 汽车刹车过程中的动能变化当汽车以速度\(v_1\)行驶时，刹车后速度变为\(v_2\)，应用动能定理可以计算出汽车刹车过程中的动能变化量。
（完整版）动能定理
（完整版）动能定理动能定理知识梳理一、动能（一）动能的表达式1.定义：物体由于运动而具有的能叫做动能.2.公式:E k =mv 2,动能的单位是焦耳. 说明:(1)动能是状态量,物体的运动状态一定,其动能就有确定的值,与物体是否受力无关.(2)动能是标量,且动能恒为正值,动能与物体的速度方向无关.一个物体,不论其速度的方向如何,只要速度的大小相等,该物体具有的动能就相等.(3)像所有的能量一样,动能也是相对的,同一物体,对不同的参考系会有不同的动能.没有特别指明时,都是以地面为参考系相对地面的动能. （二）动能定理1.内容:力在一个过程中对物体所做的功,等于物体在这个过程中动能的变化.2.表达式:W=E -E ,W 是外力所做的总功,E 、E 分别为初末状态的动能.若初、末速度分别为v 1、v 2,则E =mv 21,E =mv . 3.物理意义:动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系,即外力对物体做的总功,对应着物体动能的变化,变化的大小由做功的多少来度量.动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系,即做功的过程是能量转化的过程.利用动能定理来求解变力所做的功通常有以下两种情况：①如果物体只受到一个变力的作用，那么：W=E k2-E k1.只要求出做功过程中物体的动能变化量ΔE k ，也就等于知道了这个过程中变力所做的功.②如果物体同时受到几个力作用，但是其中只有一个力F 1是变力，其他的力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出这几个恒力所做的功，然后再运用动能定理来间接求变力做的功：W 1+W 其他=ΔE k .可见应把变力所做的功包括在上述动能定理的方程中. ③注意以下两点：122k 1k 1k 1k 1k 122k 1222a.变力的功只能用表示功的符号W来表示，一般不能用力和位移的乘积来表示.b.变力做功，可借助动能定理求解，动能中的速度有时也可以用分速度来表示.4.理解动能定理（1）力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
理论力学11动能定理
F dr Xdx Ydy Zdz)
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
M2
M2
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1
M1
M2
F dr
（矢量式）
M1
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
9
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R
F d (rA rB ) F d (BA)
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
不可伸长的绳索内力功之和等于零。
功的计算公式中力作用点的含义应包括三方面： （1）受力点：受力物体（分析对象）上直接受到力的那个点； （2）加力点：施力物体上加力的那个点，该瞬时与受力点的接触点； （3）力点：力作用点的空间位置。 任何瞬时这三个点都是重合的，但在很多情况下，这三个点具有不同的运 动和轨迹。 功的正确计算： dr 和 v应当为受力点的位移和速度。
即 dT Wi 质点系动能定理的微分形式 将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 W 质点系动能定理的积分形式
在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
dT W (F) ; T2 T1 W (F)
5
若将质点系中的受力分为外力、内力，则有外力功和内力功
T2 T1 W12
W12 i
ri 2 ri1
F (e)
i
dri
i
ri 2 ri1
F (i)
i
dri
动能定理
动能定理
动能定理（kinetic energy theorem）描述的是物体动能的变化量与合外力所做的功的关系，具体内容为：合外力对物体所做的功，等于物体动能的变化量。
所谓动能，简单的说就是指物体因运动而具有的能量。
数值上等于（1/2）mv2。
动能是能量的一种，它的国际单位制下单位是焦耳(J)，简称焦。
需要注意的是，动能（以及和它相对应的各种功），都是标量，即只有大小而不存在方向。
求和时只计算其代数和，不满足矢量（数学中称向量）的平行四边形法则。
动能定理一般只涉及物体运动的始末状态，通过运动过程中做功时能的转化求出始末状态的改变量。
但是总的能是遵循能量守恒定律的，能的转化包括动能、势能、热能、光能（高中不涉及）等能的变化。
质点系所有外力做功之和加上所有内力做功之和等于质点系总动能的改变量。
和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，因为外力对质点系做功与参照系选择有关，而内力做功却与选择的参照系无关，因为力总是成对出现的，一对作用力和反作用力（内力）所做功代数和取决于相对位移，而相对位移与选择的参照系无关。
动能定理适用于物体的直线运动,也适应于曲线运动;适用于恒力做功,也适用于变力做功;力可以是分段作用,也可以是同时作用,只要可以求出各个力的正负代数和即可,这就是动能定理的优越性，因此动能定理也是解决众多物理问题的重要理论依据。
关于动能定理课件
达最高点后又下滑，回到出发点时的速度为v0 /2，
求物体与斜面间的动摩擦因数。
N f
分析：物体受力如图，
设上升的最大位移为s，
N
v0
mg
上滑过程：
- mgsin 37ºs–f s = 0– m v02/2 f
mg
下滑过程：
mgsin 37ºs–f s = m〔v0/2 〕2/2– 0
全过程：
–2 f s = m〔v0/2 〕2/2– m v02/2
内容：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
1、合外力做功。 2、外力做功之和。
动能变化
和某一过程〔始末状态〕相对 应。
W总12mv22 12mv12
外力的总功 末状态动能 初状态动能
三、对动能定理的理解：
a．合力对物体做功的理解
b.标量性 式子左边的功与右边的动能都是标量
c．对定理中“变化〞一词的理 解① W合＞0， Ek2 ＞ Ek1 ， △ Ek ＞ 0
v
v=0
分析：物体的末动 能为32J，即两个恒 力的总功为32J，
W甲 + W乙= 32
F甲
F乙
B
C
= -s1 s1 t
s2
W甲 / W乙= F甲 s1/ F乙s2= F甲 / F乙
s1 = a1t 2 /2 s2= (a1t ) t - a2t 2 /2
s1 = - s2 F甲 / F乙= 1 / 3
W甲 = 8J W乙=24J
W甲 / W乙= 1 / 3
10、质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量 为m 的子弹以初速度v0 沿水平方向射入木块，并 留在木块中与木块一起以速度v运动，当子弹相对木 块静止时，木块前进的距离为L，子弹进入木块的深 度为s，木块对子弹的阻力f 为定值，那么以下关系 式正确的选项是〔 〕
14动能定理
2
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
例题：如图所示系统中，定滑轮B（可视为均质圆盘）和均 质圆柱体C的质量均为m1、半径均为R，重物的质量为m2， 圆柱体C沿倾角为θ 的斜面作纯滚动，在图示瞬时，重物的 速度为v。假设绳与轮间无相对滑动，并不计绳的质量，试 求系统的动能。
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
积分上式得到
1 2 1 2 mv2 mv1 W12 2 2
——动能定理的积分形式
二、质点系的动能定理
质点系中任一质点质量为mi，速度为vi，由质点动能定理
1 2 d mi vi = δWi 2
对于个质点，就有个上述方程，将其相加，得
W12 m1 g max s t k 2 2 W12 ( st max ) 2
在物块下落初始时刻与弹簧达到最大压缩量时，系统各部 分的速度均为零。由质点系动能定理的积分形式得：
k 2 2 0 0 mg (h max st ) m1 g ( max st ) ( st max ) 2
W12
2
1
k 2 k x dx 1 22 2
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
3、 定轴转动刚体上作用力的功
由于
ds Rd
2
R
由变力做功的表达式得到：
d
R ds
F
W = Fcos ds = Fcos Rd
0
s
1
式中
Fcos R M z
动能定理讲解
动能定理讲解
动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的运动与物
体所具有的动能之间的关系。
动能指的是物体在运动过程中所具有的
能量，其大小与速度的平方和物体的质量成正比。
动能定理告诉我们，当物体受到外力的作用时，它所获得的动量与外力所做的功相等，这
个过程中所产生的动能增量也与所做的功相等。
动能定理有助于我们深入理解物体的运动规律和物理世界的运动
模式。
通过研究动能定理，我们能够更好地理解物体在运动过程中所
承受的力和能量转化，并预测它们的运动轨迹和速度变化。
在现实生活中，动能定理具有广泛的应用，尤其是在动力学、机
械工程、天文学和物理学教学中。
工程师们利用动能定理设计机械设备、制造运动工具和研发机器人等产品，以达到更高效的效果。
天文
学家们则利用动能定理研究星系运动和行星运动，探究宇宙的奥秘。
物理学教师在教学时使用动能定理，帮助学生更好地理解速度、质量
和能量转化的过程。
总之，动能定理是物理学中的一个关键定理，具有重要的理论和
实际应用价值。
通过深入研究动能定理，我们能够更好地理解物理世
界中的运动规律、能量转化和碰撞过程，为我们探索更广阔的物理知
识提供了基础。
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动能定理习题一、选择题（不定项选择）1、一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图，则力F 所做的功为 ( ) A ．mgLcos θB. mgL(1－cos θ)C. FLsin θD. FLcos θ2、质量为m 的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R ，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速转动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为( ) A. 0B. 2πμmgRC. μmgR/2D. 2μmgR3．质量一定的物体 ( )A.速度发生变化时，其动能一定变化B.速度发生变化时，其动能不一定变化C.速度不变时．其动能一定不变D.动能不变时，其速度一定不变4、下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是 ( )A. 物体做变速运动，合力一定不为零，动能一定变化B. 若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零C. 物体的合力做功，它的速度大小一定发生变化D. 物体的动能不变，所受的合外力必定为零 5、一物体做变速运动时，下列说法正确的有 ( )A. 合外力一定对物体做功，使物体动能改变B. 物体所受合外力一定不为零C. 合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变D. 物体加速度一定不为零6. 一质量为m 的滑块，以速度v 在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为 ( ) A. 32mv 2 B. －32mv 2 C. 52mv 2 D. －52mv 2 7．如右图所示 质量为M 的小车放在光滑的水平而上，质量为m 的物体放在小车的一端．受到水平恒力F 作用后，物体由静止开始运动，设小车与物体间的摩擦力为f ，车长为L ，车发生的位移为S ，则物体从小车一端运动到另一端时，下列说法正确的是（ ）A 、物体具有的动能为（F-f ）（S+L ） B. 小车具有的动能为fSC. 物体克服摩擦力所做的功为f(S+L) D 、摩擦力对小车所做的功为f(S+L)8、汽车从静止开始做匀加速直线运动，到最大速度时刻立即关闭发动机，滑行一段后停止，总共经历s 4，其速度——时间图象如图所示，若汽车所受牵引力为F ，摩擦阻力为f F ，在这一过程中，汽车所受的牵引力做功为W 1，摩擦力所做的功为W 2，则 （ ） A. 3:1:=f F F B. 1:4:=f F F C. 4:1:21=W WD. 1:1:21=W W9、质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用. 设某一时刻小球通过轨道最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为( ) A.14mgRB.13mgRC.12mgRD. mgR10、如图所示，质量为 m 的小车在水平恒力F 的推动下，从山坡底部A 处由静止起运动至高为h 的坡顶B ，获得速度为v ，A 、B 的水平距离为s.下列说法正确的是( )A.小车克服重力所做的功是mghB.推力对小车做的功是12mv 2O1234vtO ′mOmMθ o PQF11．如图所示，电梯质量为M ，地板上放着一质量为m 的物体．钢索拉电梯由静止开始向上加速运动，当上升高度为H 时，速度达到v ，则 ( )A ．地板对物体的支持力做的功等于12m v 2B ．地板对物体的支持力做的功等于mgH ＋12m v 2C ．钢索的拉力做的功等于12M v 2＋MgHD ．合力对电梯做的功等于12M v 212、一质量为2kg 的滑块，以4m/s 的速度在光滑的水平面上滑动，从某一时刻起，给滑块施加一个与运动方向相同的水平力，经过一段时间，滑块的速度大小变为5m/s ，则在这段时间里，水平力做的功为（ ） A 、9J B 、16J C 、25J D 、41J二、计算题（要有必要的文字说明）1、将质量m=2kg 的一块石头从离地面H=2m 高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm 深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。
（g 取10m/s 2）2、如图所示，物体沿一曲面从A 点无初速滑下，滑至曲面的最低点B 时，下滑高度为5m ，若物体的质量为1kg ，到B 点时的速度为6m/s ，则在下滑过程中，物体克服阻力所做的功为多少？3、质量为m 的物体以速度v 0竖直向上抛出，物体落回地面时，速度大小为3v 0/4（设物体在运动过程中中所受空气阻力大小不变），求：⑴ 物体运动过程中所受空气阻力的大小⑵ 物体以初速度2v 0竖直向上抛出时上升的最大高度4、如图所示，物体在离斜面底端5 m 处由静止开始下滑，然后滑上由小圆弧连接的水平面上，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°.求物体能在水平面上滑行多远．5．一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为s ，如图7-5-6所示，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同，求动摩擦因数μ．6、质量为M ＝500t 的机车，以恒定功率从静止起动，经时间t ＝5min ，在水平轨道上行驶了s ＝2.25km ，速度达到最大v m ＝15m/s.试求：⑴ 机车的功率P ；⑵ 机车运动过程中所受到平均阻力.hHABO7.如图所示，竖直固定放置的斜面DE与一光滑的圆弧轨道ABC相连，C为切点，圆弧轨道的半径为R，斜面的倾角为θ.现有一质量为m的滑块从D点无初速下滑，滑块可在斜面和圆弧轨道之间做往复运动，已知圆弧轨道的圆心O与A、D在同一水平面上，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，求：(1)滑块第一次至左侧AC弧上时距A点的最小高度差h.(2)滑块在斜面上能通过的最大路程s.8．右端连有光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，如图所示．将一个质量为m＝0.5 kg的木块在F＝1.5 N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2.求：(1)木块沿弧形槽上升的最大高度；(2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离．9．(14分)质量m＝1 kg的物体，在水平拉力F(拉力方向与物体初速度方向相同)的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4 m时，拉力F停止作用，运动到位移是8 m时物体停止，运动过程中E k－x的图线如图所示．求：(g取10 m/s2)(1)物体的初速度多大？(2)物体和平面间的动摩擦因数为多大？(3)拉力F的大小．10.如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R.一个质量为m的物体(可以看作质点)从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ.求：(1)物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；(2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么条件．11.如图5－2－18所示，质量m＝0.5 kg的小球从距离地面高H＝5 m处自由下落，到达地面时恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆形槽的半径R＝0.4 m，小球到达槽最低点时速率恰好为10 m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘飞出且沿竖直方向上升、下落，如此反复几次，设摩擦力大小恒定不变，取g＝10 m/s2，求：(1)小球第一次飞出半圆形槽上升到距水平地面的高度h为多少？(2)小球最多能飞出槽外几次？12、如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B 平滑连接着半径r =0.40m 的竖直光滑圆轨道。
质量m =0.50kg 的小物块，从距地面h =2.7m 处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，求：（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g =10m/s 2） （1）物块滑到斜面底端B 时的速度大小。
（2）物块运动到圆轨道的最高点A 时，对圆轨道的压力大小。
13．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R 。
一质量为m 的小物块（视为质点）从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
（g 为重力加速度） (1)要使物块能恰好通过圆轨道最高点，求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 多大；(2)要求物块能通过圆轨道最高点，且在最高点与轨道间的压力不能超过5mg 。
求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围。
14．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的两个圆形轨道组成，B 、C 分别是两个圆形轨道的最低点，半径R 1=2.0m 、R 2=1.4m 。
一个质量为m =1.0kg 的质点小球，从轨道的左侧A 点以v 0=12.0m/s 的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距L 1=6.0m 。
小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2。
两个圆形轨道是光滑的，重力加速度g =10m/s 2。
（计算结果小数点后保留一位数字）试求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； (2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B 、C 间距L 2是多少；15．如图所示为“S ”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，固定在竖直内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球(可视为质点)从a 点水平射向b 点并进入轨道，经过轨道后从p 点水平抛出，已知小球与地面ab 段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能 损失，ab 段长L ＝1.25 m ，圆的半径R ＝0.1 m ，小球质量m ＝0.01 kg ，轨道质量为M ＝0.15 kg ，g ＝10 m/s 2，求： (1)若v 0＝5 m/s ，小球从p 点抛出后的水平射程；(2)若v 0＝5 m/s ，小球经过轨道的最高点时，管道对小球作用力的大小和方向； (3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v 0至少为 多大时，轨道对地面的压力为零．mRh A BC ABC L 2 L 1R 1R 2v 0一、选择题（不定项选择）1、B2、C 3．BC 4、C.5、B. D6. A7．ABC8、B 、D9、C10、AD11、BD12、A二、计算题（要有必要的文字说明）1、解法一（应用动能定理分段求解）：设石头着地时的速度为v ，对石头在空中运动阶段应用动能定理，有 0212-=mv mgH ； 对石头在泥潭中运动阶段应用动能定理，有2210mv h F mgh -=-。