江西省八所重点中学高三数学4月联考试题 理

江西省八所重点中学2015届高三联考
数学（理科）试卷
一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)．
1. 已知集合{
-=2
x x A }02≤-x ，{
==y x B })1ln(x -，则=⋂B A （ ）
A ．)21
(， B ．]21(， C ．)11[，- D ．)11(，- 2. 如果i
ai
z +-=
11为纯虚数，则实数a 等于（ ） A.0 B. -1或1 C. -1 D. 1
3. 在△ABC 中, AB AC BA BC ⋅=⋅“” 是 AC BC =“”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4.数列{n a }的前n 项和)(322+∈-=N n n n S n ，若p-q=5,则q p a a -= （ ）
A. 10
B. 15
C. -5
D.20 5.对任意非零实数a 、b ,若a b ⊗的运算原理如图所
示，则1
2)3
1(4log -⊗的值为（ ）
A.
3
1 B.1 C.34
D.2
6.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布
()()2
100,,0σσ>，若ξ在()80,120内的概率为0.8，则落在()0,80内的概率为（ ）
A. 0.05
B. 0.1
C. 0.15
D.0.2
7.函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示， 则`)1(f +)2(f +)
3(f ++)2015
(f 的值为（ ）
8.若)1(x +8822107)21(x a x a x a a x ++++=- ，则721a a a +++ 的值是（ ） A ．-2 B.-3 C.125 D.-131
9.已知圆1C ：022
2
=++y cx x ，圆2C ：022
2
=+-y cx x ，椭圆C ：22
221x y a b
+=，若圆
12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A. )1,21[
B.]2
1,0(
C. )1,22[
D. ]2
2,0( 10.定义在R 上的函数)(x f 对任意1x 、)(212x x x ≠都有
0)
()(2
121<--x x x f x f ，且函数
(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--．则当14s ≤≤时，
t s s
t +-2的取值范围是（ ） A ．21,3[-- B ．]21,3[-- C ．)21,5[-- D ．]2
1
,5[--
11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高
AD 翻折，使点B 与点C 面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．π7 B ．π19 C ．
π767 D ．π196
19
12.在平面直角坐标系中，点P 是直线21:-
=x l 上一动点，定点1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
,点Q 为PF 的中点，动点M 满足0=⋅PF MQ ,OF MP λ=)(R ∈λ,过点M 作圆2)3(2
2=+-y x 的切
线，切点分别为T S ,,则MT MS ⋅的最小值是（ ） A ．
53 B ． 9
35 C ．310 D ．31-
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.计算：
⎰
-3
3
3)cos (dx x x = .
14.已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y
+的最小值为 .
15.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，
且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（135,1312-），A O C α∠=．
若1BC =
2sin cos 222ααα-的值为 .
16.用)(n g 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,(9)9g =，
10的因数有1,2,5,10,(10)5g =,那么)12
()3()2()1(2015
-++++g g g g = .
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
17.（本小题12分）已知x x f 2
sin
2)(π
=，集合M =(){}
2,0x f x x =>，把M 中的元素
从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*
∈N n . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2
1
1
+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T .
18. (本题12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，
//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==， 1
2
BC AD =，E 是线段AB 的中点．
（1）求证：PE CD ⊥；
（2）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．
19. (本题12分)已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域
都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(. 设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数
表1
2341234()
()
()
()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表.
（1）求满足条件的不同的数表的张数;
(2)若i a i =(4,3,2,1=i )，从所有数表中任意抽取一张，记ξ为表中)(i f a i >的个数，求ξ的分布列及期望.
20．(本题12分)已知椭圆C:12222=+b
y a x （0>>b a ）的离心率e =21，且过点M （1，23
）
（1）求椭圆C 的方程；
（2）椭圆C 长轴两端点分别为A 、B,点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4=x 与直线PA 、
PB 分别交于M 、N 两点，又E(7，0)，过 E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
21. (本题12分)已知x ax x x f 2
sin
)(2
π
++= )1,0(∈x
（1）若)(x f 在定义域内单调递增，求a 的取值范围;
（2）当a =-2时，记)(x f 得极小值为)(0x f 。

若)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+ .
请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分 22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲.
如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC
交⊙O 于点C ，连结CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点，
(1)求证:2
2
QA QC BC QC -=⋅;
（2）若AQ =6，AC =5.求弦AB 的长. （第22题图）
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22522
3 (t 为参数). 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(2)若点P 坐标(，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |的值．
O .
P A
Q B
C
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
（1）已知函数()|1||3|f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数；
（2）若222,,,1,x y z R x y z ∈++=求m 的最大值。

江西省八所重点中学2015届高三联考数学（理科）试卷参考
答案
13 . 0 14. 135
16 . 3
142015-
17.解：（1） 2)(=x f ∴
2
2
π
ππ
+
=k x 12+=k x Z k ∈ ……（3分）
又 0>x ∴12-=n a n )(*
∈N n ……（6分）
（2） 2
11+=
n n a b 2)
12(1+=n )(*
∈N n ……（7分） 2)12(1
+=
n b n 14412++=n n n n 4412+<)1
11(41+-=n n ……（10分）
∴<+⋅⋅⋅+=n n b b T 13121211(41-+-=)111
+-
⋅⋅⋅+n n 4
1
)1(
4141<+-=n
∴4
1
<
n T 得证 ……（12分） 18.解：（1）证明：因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，
所以AD PE ⊥．…………2分
又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，
所以PE AB ⊥． 因为AD AB A
=，
所以PE ⊥平面ABCD ．……4分 而CD ⊂平面ABCD ，
所以PE CD ⊥．………5分
（2）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．
则(0,0,0)E ，(1,1,0)C -，(2,1,0)D ，P ．
(2,1,0)ED =，EP =，(1,1,PC =-．
设(,,)x y z =n 为平面PDE 的法向量．
由0,0.
ED EP ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n
即20,
0.
x y +=⎧⎪=
令1x =，可得(1,2,0)=-n ．……9分 设PC 与平面PDE 所成的角为θ．
||3
sin cos ,5
||||PC PC PC θ⋅=<>=
=n n n ．
所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为
3
5
． ……12分 19.解：（1）94
4A =216 ……5分
（2） p(ξ=1) =91
, p(ξ=2) =97
p(ξ=3) =9
1
……9分
因此，ξ的分布列如下：
∴E ξ =2 ……12分
20．解：（1）13
42
2=+y x ………5分 (2)设PA,PB 的斜率分别为21,k k ,),(00y x p ，则4
3
21-=k k ………7分 则PA:)2(1+=x k y ，则)6,4(1k M PB: )2(2-=x k y ,则)2,4(2k N 又11
236k k k EM -=-
=，3
22k k EN -= 1-=EN EM k k ………10分
设圆过定点F(m,o),则
142462
1-=--m
k m k ，则m=1或m=7(舍)
故过点E 、M 、N 三点的圆是以MN 为直径的圆过点F （1,0）………12分
解：21.解：（1）x a x x f 2
cos
2
2)(π
π
++=' )1,0(∈x
依题意0)(≥'x f 恒成立，
a x x -≥+
2
cos
2
2π
π
令=)(x g x x 2
cos
2
2π
π
+
)1,0(∈x
x x g 2
sin
4
2)(2
π
π-
=' )(x g '在)1,0(∈x 单调递减，且0)0(>'g ，0)1(<'g
∴)(x g '在区间)1,0(∈x 上存在唯一零点0x ………3分
∴)(x g 在),0(ξ上单调递增，在)1,(ξ上单调递减。

由⎩⎨⎧-≥-≥a
g a g )1()0(得2π
-≥a ………5分
（2）当2-=a 时，x x x x f 2
sin
2)(2
π
+-=)1,0(∈x
x x x f 2
cos
2
22)(π
π
+
-='，
令)()(x f x '=ϕ)1,0(∈x
x x 2
sin
4
2)(2
π
πϕ-
=',显然)(x ϕ'在区间)1,0(单调递减,
又02)0(>='ϕ,04
2)1(2
<-
='πϕ
故存在唯一实数ξ,使得0)(='ξϕ
∴)(x ϕ在),0(ξ上单调递增，在)1,(ξ上单调递减。

即)(x f '在),0(ξ上单调递增，在)1,(ξ上单调递减。

又02
2)0(<+
-='π
f ,0)1(='f
∴
0)(>'ξf ,
由0)(0='x f 知100<<<ξx ,
∴)(x f 在(0,0x )上单调递减,在(0,0x )上单调递增.
不妨设,21x x <由)()(21x f x f =,则10201<<<<x x x 令)()()(00x x f x x f x F --+=，
则)()()(00x x f x x f x F -'++'='=)](2
cos
)(2
[cos
2
44000x x x x x -+++
-π
π
π
=x x x 2
cos
2
cos
4400π
π
π+-………8分
又)(x F '在)1,0(∈x 上单调递减，所以)(x F '<)0(F '=002
cos
44x x π
π+-=)(20x f '=0
∴)(x F 在)1,0(∈x 上单调递减，∴)(x F <)0(F =0,即：)()(00x x f x x f -<
+
又)()(21x f x f ==)]([200x x x f --<)]([200x x x f -+=)2(20x x f -……9分
010x x << 02020x x x <-<
又∴)(x f 在),0(0x 上单调递减
∴2012x x x -< ∴0212x x x >+………12分
22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 1
证明：（1）∵PQ 与⊙O 相切于点A ，∴CBA PAC ∠=∠ ∵BAC PAC ∠=∠ ∴CBA BAC ∠=∠ ∴AC=BC=5
由切割线定理得：
()QC BC QC QC QB QA -=⋅=2
∴ 22QA QC BC QC -=⋅ ------------5分 （2） 由AC=BC=5，AQ=6 及（1）， 知 QC=9 由ACQ QAB ∠=∠ 知QAB ∆∽QCA ∆ ∴QC QA AC AB = ∴ 3
10
=AB . ----------10分
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
解：
(1)
由3x y =⎧⎪⎨⎪⎩得直线l
的普通方程为30x y +-=--------2分
又由ρθ=得圆C
的直角坐标方程为220x y +-=
即
(2
2
5x y +=. ---------5分
(2) 把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得
2
2
3522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即2
40t -+=
由于(2
4420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，
所以1
2124
t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩又直线l 过点
P (，A 、B 两点对应的参数分别为12,t t
所以1212PA PB t t t t +=+=+=分 24．解：
（1）22,3
()1|3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪
=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
………..4分
则当[3,1]x ∈-时，)(x f 为常函数. ………..5分 （2）由柯西不等式得:(
)
))
2
222
x y z ++≥
3≤ 因此M 的最大值为3.。