【数学】山东省枣庄市滕州市善国中学2016-2017学年高二下学期3月月考试卷(文)(解析版)

山东省枣庄市滕州市善国中学2016-2017学年
高二下学期3月月考试卷（文）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在△ABC中，已知a=，b=1，A=130°，则此三角形解的情况为（）
A．无解B．只有一解
C．有两解D．解的个数不确定
2．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）
A．12B．18C．24D．42
4．△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）
A．B．C．1D．
5．已知{a n}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）
A．4B．5C．6D．7
6．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）
A．21B．20C．19D．18
7．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=（n∈N*），则a20=（）
A．0B．C．D．
8．已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为（）
A．1＜a＜5B．1＜a＜7
C．D．
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cos C=（）A．B．C．D．
10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）11．已知在△ABC中中，==，则C的度数为．
12．设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．
13．△ABC中，BC=8，AC=5，S△ABC=12，则cos2C=．
14．若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是．
15．在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；
②△ABC一定是钝角三角形；
③sin A：sin B：sin C=7：5：3；
④若b+c=8，则△ABC的面积是．
其中正确结论的序号是．
三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b sin A=3c sin B，a=3，cos B=．
（1）求b的值；
（2）求sin（2B﹣）的值．
17．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．设向量=（a，b），=（sin B，sin A），=（b﹣2，a﹣2）．
（Ⅰ）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（Ⅱ）已知c=2，C=，若⊥，求△ABC的面积S．
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+S n=1（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n=3+log4a n，设T n=|b1|+|b2|+…+|b n|，求T n．
19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，n∈N*．
（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；
（2）求{a n}的通项公式．
20．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2c sin A．（1）求角C的值；
（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．
21．设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．
参考答案
一、选择题
1．B
【解析】∵a=＞b=1，A=130°为钝角，
∴此三角形只有唯一解．
故选：B．
2．B
【解析】S=BC•AC•sin C=×4×3×sin C=3
∴sin C=
∵三角形为锐角三角形
∴C=60°
故选B
3．C
【解析】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，
∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，
即2，8，S6﹣10成等差数列，
∴2+S6﹣10=8×2，
∴S6=24，
故选C．
4．A
【解析】∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，
∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，
又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2ab cos C=a2+b2﹣ab，
∴2ab﹣4=﹣ab，
∴ab=．
故选：A．
5．C
【解析】解法1：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12；
∴a1+4d=6；
∴a5=a1+4d=6．
解法2：∵a2+a8=2a5，a2+a8=12，
∴2a5=12，
∴a5=6，
故选C．
6．B
【解析】设{a n}的公差为d，由题意得
a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①
a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②
由①②联立得a1=39，d=﹣2，
∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．
故选：B．
7．B
【解答】解；由题意知：
∵
∴
故此数列的周期为3．
所以a20=．
故选B
8．C
【解析】分两种情况来考虑：
当a为最大边时，设a所对的角为α，由α锐角，
根据余弦定理可得：cosα=＞0，
可知只要32+42﹣a2＞0即可，可解得：0＜a＜5；
当a不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，
则有32+a2﹣42＞0，可解得：a＞，
所以综上可知x的取值范围为．
故选C
9．A
【解析】因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，所以8sin B=5sin C=5sin2B=10sin B cos B，所以cos B=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C ．
所以sin B==．
所以sin C=sin2B=2×=，
cos C==．
故选：A．
10．A
【解析】设等差数列的公差为d
由题意可得，
解方程可得，d=1，a1=1
由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n
∴==
=1﹣=
故选A
二、填空题
11．
【解析】∵==，
∴由正弦定理可得，
∴b=，c=，
由余弦定理可得cos C===﹣．∴由C∈（0，π），可解得：C=．
故答案为：．
12．24
【解析】∵
∴a5=8
又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24
故答案是24
13．﹣
【解析】∵BC=8，AC=5，S△ABC=12，
∴S△ABC=BC•AC•cos C=20cos C=12，
解得：cos C=，
则cos2C=2cos2C﹣1=2×（）2﹣1=﹣．
故答案为：﹣
14．
【解析】设直角是C，最小角是A，另一个角是B．
∴sin C=1，设sin B=q，则sin A=q2
∵A+B=90°，则sin A2+sin B2=1，即q4+q2=1，
解之可得sin A=q2=
故答案为：
15．②③
【解析】由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
则a=k，b=k，c=k，
∴a：b：c=7：5：3，
∴sin A：sin B：sin C=7：5：3，∴③正确；
同时由于△ABC边长不确定，故①错；
又cos A=
=﹣＜0，
∴△ABC为钝角三角形，∴②正确；
若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3，
又A=120°，∴S△ABC=bc sin A=，故④错．
故答案：②③
三、解答题
16．解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得b sin A=a sin B，
又b sin A=3c sin B，可得a=3c，又a=3，所以c=1．
由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2ac cos B，，
即b2=32+12﹣2×3×cos B，
可得b=．
（Ⅱ）由，可得sin B=，
所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，
sin2B=2sin B cos B=，
所以===．
17．解：（Ⅰ）证明：∵∥，向量=（a，b），=（sin B，sin A），
∴a sin A=b sin B，
由正弦定理可得：a2=b2，即a=b，
∴△ABC为等腰三角形
（Ⅱ）∵⊥，
∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0，可得：a+b=ab①，
又∵c=2，C=，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2ab cos C，可得：a2+b2﹣ab=4，…9分
∴（a+b）2﹣3ab=4，把①代入可得：（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得：ab=4，或﹣1．（舍去），∴△ABC的面积S=ab sin C=．
18．解：（1）由a n+S n=1，得a n+1+S n+1=1，
两式相减，得a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0．
∴2a n+1=a n，即a n+1=a n．
又n=1时，a1+S1=1，∴a1=．又=，
∴数列{a n}是首项为，公比为的等比数列．
∴a n=a1q n﹣1=•（）n﹣1=（）n．
（2）b n=3+log4（）n=3﹣=．
当n≤6时，b n≥0，T n=b1+b2+…+b n=；
当n＞6时，b n＜0，
T n=b1+b2+…+b6﹣（b7+b8+…+b n）
=﹣[（n﹣6）（﹣）+•（﹣）]
=．
综上，T n=．
19．解：（1）证b1=a2﹣a1=1，
当n≥2时，
所以{b n}是以1为首项，为公比的等比数列．
（2）解由（1）知，
当n≥2时，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（a n﹣a n﹣1）=1+1+（﹣）+…+
==1+[1﹣（﹣）n﹣1]=，
当n=1时，．
所以．
20．解：（1）由a=2c sin A及正弦定理，得sin A=2sin C sin A，
∵sin A≠0，
∴sin C=．
又∵△ABC是锐角三角形，
∴C=．
（2）∵c=，C=，
∴由面积公式，得ab sin=，即ab=6．①
由余弦定理，得a2+b2﹣2ab cos=7，
即a2+b2﹣ab=7．②
由②变形得（a+b）2=3ab+7．③
将①代入③得（a+b）2=25，故a+b=5．
21．解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1 =3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，
所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．
（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①
从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②
①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．。