【精品】第二章高斯曲率的计算公式

曲面论
高斯曲率的计算公式
高斯定理
2
122
LN M
K k k EG F
-==-。

注意
(,,)u uu r r r L n r =⋅=
，
(,,)
u uv r r r M n r =⋅=
，
(,,)u vv r r r N n r =⋅=。

所以
2
2LN M K EG F
-=- 2
22
1[(,,)(,,)(,,)]()
u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =
--，
利用行列式的性质和矩阵乘法，得
2
(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u vv u u u v u uv v u
v v v vv v u
v v v uv uu u
uu v
uu vv
uv u
uv v
uv uv
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
u vv u uv v vv v uv uu u
uu v
uu vv
uv u
uv v
uv uv
E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=
⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
u vv u uv v vv
v uv uu u
uu v
uu vv uv uv
uv u
uv v
E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=
⋅-
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，
由于
()(())()uv u v u v u v uu v v vu v
F F r r r r r r ==⋅=⋅+⋅
uu vv uuv v u uvv uv uv r r r r r r r r =⋅+⋅+⋅+⋅，
11
()()22
vv v v u uv v u uvv uv uv E E r r r r r r ==⋅=⋅+⋅，
11
()()22
uu u u v vu u v vuu vu vu G G r r r r r r ==⋅=⋅+⋅，
所以
11
22
uv vv uu uu vv uv uv F E G r r r r --=⋅-⋅，
于是得到
22
11221
11[]()
22111111
2
2
222
2
u v v v u u v u
uv vv uu v
u E
F F E E
F E K F
G G F G G EG F E F G F E G E G -=
-----
对于曲面上的正交坐标网来说， 0F =， 此时
1[K u v ∂∂=+∂∂，
1
]u v K =+。

于是，曲面的高斯曲率K
被其第一基本形式完全确定，所以高斯曲率也是曲面的内蕴量，公式被称为高斯定理，且被誉为著名的高斯定理。

据说，高斯当年发现并证明出来后，非常兴奋，欣喜若狂。

半测地坐标网下，
高斯曲率的计算公式
在2C类曲面
∑：(,)
=
r r u v
上选一条测地线Γ为v--曲线：
u=；再取与Γ正交的测地线族为0
u--曲线，另取这测地线族的正交轨线为v--曲线，则得一半测地坐标网。

对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式可以简化为
22
I=+，
du G u v dv
()(,)()
其中(,)G u v 满足条件
(0,)1,(0,)0u G v G v ==。

在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式
2
1K u ∂=∂。

常高斯曲率的曲面
现在设曲面∑的高斯曲率是常数，即K =常数，则得微分方程
22
0u
∂+=∂。

根据初始条件：
(0,)1,(0,)0u G v G v ==，
我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。

（1） 正常数高斯曲率的曲面，
0K >，
((A v B v =+。

根据初始条件，可得
()1,()0A v B v ==，
于是cos =，
22
2
()cos
()
du dv I =+。

实例：考虑球心在原点，半径为R 的
球面。

取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。

设球面上点的经度为v ，纬度为u ，
则球面的参数表示是
(cos cos ,cos sin ,sin )r R u v u v u =。

(sin cos ,sin sin ,cos )u r R u v u v u =--，
(cos sin ,cos cos ,0)v r R u v u v =-， 2
,0,u u u v E r r R F r r =⋅==⋅=
22cos v v G r r R u =⋅=
22222
()cos ()R du R u dv I =+。

在球面上重新选择参数，命 ,u Ru v Rv == 于是
2
2
2
()cos ()
u du dv R
I =+， 高斯曲率
2
2
11
(cos )cos u K u u R R R
∂''=-=-=∂，
因此得到
22
2
()cos
)du dv I =+，
所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。

正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。

（2）
K=，从而有1=，
因此
22
()()
du dv
I=+，
所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。

（3）负常数高斯曲率的曲面，
K<，
()()
A v
B v
=+。

根据初始条件，可得
()1,()0
A v
B v
==，
于是=，
222 ()()
du ch dv I=+。

由此可知,具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数,使曲面具有相同的第一基本形式,因此可建立等距对应.
由上述定理知道,
具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为常曲率曲面)可按
K>0;K =0;K<0分成三种类型.而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的.平面作
为高斯曲率为零的代表;球面作为高斯曲率为正常数的代表.换句话说,高斯曲率为零的曲面都可以与平面建立等距对应,高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应.那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表?
设21
K a =-,我们可以在旋转曲面中找出这个代表.
设旋转曲面的待定母线为Oxz 平面中的曲线()z z x =.把它绕z 轴旋转后形成了旋转面
(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=，t x =； 代入旋转曲面的高斯曲率公式
222
[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+
得其高斯曲率为
22
()()[1(())]
z x z x K x z x '''='+
为了使这个曲面的高斯曲率21K a
=-
所以待定函数()z z x =就必须满足下列
方程:22
2
()()
1[1(())]
z x z x x z x a '''=-
'+
，
将其改写成
222221[(())]11()2[1(())]2z x x z x a
'''-='+，
两边积分后得到2
12
2111(())x C z x a
=
+'+ 取积分常数1
0C =, 于是可解出 222
(())x z x x a '+=，
由此得出()z x x
'=±，
dz dx x
=±， 令sin x a t =，
则2cos 1sin cos sin sin a t t
dz a tdt a dt a t t -=±⋅=±
1(
sin )sin a t dt t =±-21(sin )2tan cos 22
a t dt
t t =±-，
于是
(ln tan cos )
2
t
z a t =±+。

因此，以母线
sin (ln tan cos )2
x a t t z a t =⎧
⎪⎨=±+⎪⎩
绕z -轴旋转后所得的旋转曲面的高
斯曲率正好等于负常数21K a =-。

我们把母线(4.4)称为曳物线. 而把曳物线绕z -轴旋转后所得的曲面称为伪球面.
由著名的高斯定理,曲面的高斯曲率K 被其第一基本形式完全确定.因此,若两个曲面可建立等距对应,则对应点的高斯曲率必相等.
但反之则不然. 【例１】证明:曲面
:(cos ,sin ,)S r u v u v v =，（正螺面）
1:S 1
11111(cos ,sin ,ln )r u v u v u =，(旋转曲
面)
在点(,)u v 与1
1
(,)u v 处的高斯曲率相等,但曲面S 与1
S 不存在等距对应.
【证明】容易算出正螺面S 与旋转曲面1
S 的第一基本形式分别为
222
()(1)()du u dv I =++，
222
111121
1(1)()()
du u dv u I =++ 再利用正交网时高斯曲率的计算公
式(即高斯方程
)
1
]u v K =+
经过计算得出曲面S 和1
S
的高斯曲率分别为
2
21
(1)
K u =-+， 12
211
(1)
K u =-+。

因此取对应点1
1
(,)(,)u v u v →，便成立1
K K =。

但是曲面S 与1
S 不存在等距对应. 我们用反证法.若曲面S 与1
S 之间存在等距对应,
它的对应关系为1
1
(,),
(,),
u u v v u v ϕψ=⎧⎨
=⎩
则对应点的高斯曲率必相等,所以得出1(,)(,)K u v K u v =， 即2
2
22
1
(1)(1)u u +=+， 或2
21(1)(1)u u +=±+； (1) 若2
21
(1)(1)u u +=+则2
2
1u
u =或1
u u =±。

因此对应关系为1
1
,
(,),
u u v u v ψ=±⎧⎨
=⎩
这时1
S 的第一基本形式
222
111121
1(1)()()
du u dv u I =++ 22221
(1)()()u v du u du dv u
ψψ=+
++
222222221
(1)()2()u u v v u du u dudv u dv u
ψψψψ=+
+++，
因为是等距对应,故1
I =I ，比较得出
2222
222111,0,1,
u u v v
u u u u u ψψψψ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
由其中第二式得出0
u
ψ
=或0
v
ψ
=,再由第一式或第三式得出2
10u =或2
10
u
+=，
这显然不可能成立.因此这种情况不可能.
若2
21
(1)(1)u u +=-+，则2
21
2u u +=-。

这显然不可能成立.
因此曲面S 与1
S 之间不能存在等距对应.
尽管在对应点具有相同高斯
曲率的曲面不能建立等距对应,但
是对高斯曲率为常数的曲面,若在
对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的.
定理4.1(Minding定理) 具有相同常数高斯曲率的曲面
总可建立局部等距对应.
证明设曲面S的高斯曲率K
是常数,。

在S上取任意点P和过P点的任意测地线Γ,
u=；且从P 把Γ作为v--曲线0
点起的弧长为v.
再取与Γ正交的测地线族为u--曲线，另取这测地线族的正交轨线为v--曲线，则得一半测地坐标网。

对于这个半测地坐标网而言，
（注意,这时:0u Γ=的曲线也是测地线）。

因此曲面的第一基本形式可以简化为
22
()(,)()
du G u v dv I =+，
根据假设v 是Γ的弧长,所以
22
()(0,)()
dv G v dv =，
于是
(0,)1G v =(4:1)
又因Γ是测地线,根据Liouville 公式知
001ln ||0v g u u G
k u
==∂==∂
即成立
(0,)0u
G v =(4:2)
另一方面,将E =1代入高斯方程,得
2
1K u ∂=∂，
或220K u ∂+=∂，
其中(,)G u v 满足条件
(0,)1,(0,)0
u G v G v ==。

这个微分方程的通解可按
高斯曲率K 的符号分为三种情形:。