一元二次方程的应用-几何应用

第11课时一元二次方程的应用(2）——几何应用姓名________ 1．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于多少?
2．如图，要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果
要使彩条所占面积是图案面积的19
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，则竖彩条宽度为多少？
3．利用一面墙（墙的长度不限)，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
4．用一条长为60cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．240 B．225 C．60 D．30
5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P,Q分别从点A,B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．几秒后△PBQ的面积为15cm2？
6．如图所示，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm，BC=3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B 移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发,多少秒后P、Q之间的距离等于42cm．
7．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0,2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB 于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．
8．直角△ABC中,斜边AB=5，直角边BC、AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1)=0的两根，求则m的值．
9．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
10．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度．
11．如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1)写出一个“勾系一元二次方程";
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根;
（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求△ABC 面积．
12．已知：如图，在△ABC中,∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3)在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由．
13．如图，四边形ABCD为矩形，AB=16cm．AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s 的速度向B点移动,一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动．
（1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离第一次是10cm？
（3）在运动过程中,点P和点Q之问的距离可能是18cm吗?如果可能,求出运动时间t，如果不可能，请说明理由．（2取1.4）
14．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内,若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形; （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；
（3)以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能,求x的值；如果不能，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：设CD与A′C′交于点H,AC与A′B′交于点G,
由平移的性质知，A′B′与CD平行且相等，∠ACB′=45°，∠DHA′=∠DA′H=45°，
∴△DA′H是等腰直角三角形，A′D=DH，四边形A′GCH是平行四边形，
∵S A′GCH=HC•B′C=（CD﹣DH）•DH=1,
∴DH=A′D=1,
∴AA′=AD﹣A′D=1．
故答案为1．
2．【解答】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则
（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣），
整理得：x2﹣20x+19=0，
解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．
答:竖彩条的宽度为1cm．
3．x（58﹣2x）=200
解得：x1=25，x2=4
∴另一边为8米或50米．
答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．
4．【解答】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（60÷2﹣x）cm,依题意，得x（60÷2﹣x)=a，整理，得
x2﹣30x+a=0，
∵△=900﹣4a≥0，
解得a≤225，
∴a的值不可能为240；
5．【解答】解：设动点P,Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t)cm,BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得,
×（8﹣t）×2t=15,
解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意,舍去)．
答：动点P，Q运动3秒时,能使△PBQ的面积为15cm2．
6．【解答】解：设点P、Q分别从点A、B同时出发，xs后P、Q之间的距离等于4cm, ∵AP=1•x=x，BQ=2x，
∴BP=AB﹣AP=6﹣x，
∴BP2+BQ2=PQ2，
即（6﹣x）2+（2x）2=（4）2，
解得:x1=,x2=2（不合题意,舍去）．
答:点P、Q分别从点A、B同时出发,s后P、Q之间的距离等于4cm．
7．【解答】解:作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°,
∵OP=t，
∴OG=PG=t,
∴点P（t，t），
又∵Q（2t，0)，B（6,2），
根据勾股定理可得：PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，
即:2t2+[(6﹣2t）2+22］=（6﹣t)2+（2﹣t）2，
整理得：4t2﹣8t=0，
解得：t1=0(舍去）,t2=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2,
∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2］+[（6﹣2t）2+22]=2t2，
整理得:t2﹣10t+20=0，
解得：t=5±．
∴当t=2或t=5+或t=5﹣时，△PQB为直角三角形．
故答案为：2或5+或5﹣．
8．【解答】解：如图．设BC=a,AC=b．
根据题意得a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1）．
由勾股定理可知a2+b2=25，
∴a2+b2=（a+b)2﹣2ab=(2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=4m2﹣12m+9=25，
∴4m2﹣12m﹣16=0，
即m2﹣3m﹣4=0，
解得m1=﹣1，m2=4．
∵a+b=2m﹣1＞0，
即m＞，
∴m=4．
故答案为:4．
9．【解答】解:（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t
∴
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10
∴
(2）∵S△ABC=
∴当t＜10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）
当t＞10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值)（7分）
∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分)
（3)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
10．【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x)=60，
化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．
解得x1=1，x2=8(不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1m．
11．【解答】（1）解:当a=3，b=4，c=5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；
（2)证明：根据题意,得
△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab
∵a2+b2=c2
∴2c2﹣4ab=2（a2+b2)﹣4ab=2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
(3）解:当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c
∵2a+2b+c=6，即2（a+b)+c=6
∴3c=6
∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2
∵（a+b)2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC=ab=1．
12．【解答】解：（1)设经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5﹣x）×2x=6
整理得：x2﹣5x+6=0
解得:x=2或x=3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
(2)当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2=52,
5t2﹣10t=0，
t（5t﹣10)=0,
t1=0,t2=2,
∴当t=0或2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8,
×(5﹣x）×2x=8
整理得：x2﹣5x+8=0
△=25﹣32=﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
13．【解答】解：(1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16﹣3x）cm,QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得(16﹣3x+2x）×6=33，
解得x=5；
答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB,垂足为E，
则QE=AD=6,PQ=10,
∵P A=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4。

8，t2=1.6．
答：从出发到1.6秒或4。

8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
（3)∵==＜18，
∴在运动过程中，点P和点Q之问的距离不可能是18cm．
14．【解答】解：（1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边,以矩形的边(AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1=﹣1，x2=﹣﹣1(舍去）．
因为BQ+CM=x+3x=4（﹣1）＜20，此时点Q与点M不重合．
所以x=﹣1符合题意．
②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．
此时DN=x2=25＞20，不符合题意．
故点Q与点M不能重合．
所以所求x的值为﹣1．
（2）由(1）知,点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，
由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），
解得x1=0（舍去）,x2=2．
当x=2时四边形PQMN是平行四边形．
②当点P在点N的右侧时，
由20﹣（x+3x）=(2x+x2）﹣20,
解得x1=﹣10（舍去），x2=4．
当x=4时四边形NQMP是平行四边形．
所以当x=2或x=4时,以P,Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
（3)过点Q，M分别作AD的垂线,垂足分别为点E,F．
由于2x＞x，
所以点E一定在点P的左侧．
若以P，Q,M，N为顶点的四边形是等腰梯形，
则点F一定在点N的右侧,且PE=NF，
即2x﹣x=x2﹣3x．
解得x1=0（舍去），x2=4．
由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
所以以P，Q，M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形．。