高考数学二轮复习分层特训卷模拟仿真专练(四)文

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2020版高考理科数学二轮专题提分教程全国通用版仿真模拟卷四

仿真模拟卷四本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∪B ＝( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32答案 B 解析因为B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，A ＝{x |x ≥1}，所以A ∪B ＝[1，＋∞)．2．已知复数z 满足(1－i)z ＝2i(i 为虚数单位)，则z －＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析由(1－i)z ＝2i ，得z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，∴z －＝－1－i.3．设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，不一定是异面直线．所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，则lg E 1E 2＝25(m 2－m 1)＝25×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而E 1E 2＝1010.1.5．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析根据题意，该框图的含义是：当x ≤2时，得到函数y ＝x 2－1；当x >2时，得到函数y ＝log 2x ，因此，若输出的结果为1时，若x ≤2，得到x 2－1＝1，解得x ＝±2，若x >2，得到log 2x ＝1，无解，因此，可输入的实数x 的值可能为－2，2，共有2个．6．把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π3 B ．x ＝π2 C ．x ＝π4 D ．x ＝π8 答案 D解析根据题中变换，所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝π8＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，得x ＝π8，故选D.7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AE →·EC→＝( )A.725 B ．14425C.125 D ．1225答案 B解析如图，由AB ＝3，AD ＝4，得BD ＝9＋16＝5，AE ＝AB ·AD BD ＝125. 又AE →·EC →＝AE →·(EO →＋OC →)＝AE →·EO →＋AE →·OC →＝AE →·EO →＋AE →·AO→， ∵AE ⊥BD ，∴AE →·EO →＝0，又AE →·AO →＝|AE →||AO →|·cos ∠EAO ＝|AE→||AO →|·|AE →||AO →|＝|AE →|2＝14425， ∴AE →·EC→＝14425. 8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．8＋π2＋7 B ．8＋3π2＋7 C ．6＋3π2＋ 3 D ．6＋π2＋ 3答案 B解析由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，如图所示，其中圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为3，取BC 的中点N ，连接MN ，PN ，则该几何体的表面积为S ＝12π×1×2＋12×π×12＋2×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×2×3＋4＝3π2＋8＋7.9．若函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝xe x ＋e －x B ．f (x )＝xe x －e －x C ．f (x )＝e x ＋e －xx D ．f (x )＝e x －e －xx 答案 C解析当x →0时，f (x )→±∞，而A 中的f (x )→0，排除A ；当x ＜0时，f (x )＜0，而B 中x ＜0时，f (x )＝xe x －e－x >0，D 中，f (x )＝e x －e －x x >0，排除B ，D.10．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6]答案 C解析不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝y x ，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，∵y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，∴t ＝1时，y max ＝－1，∴a ≥－1，故a 的取值范围是[－1，＋∞)． 11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，则|OB |等于( )A ．aB ．bC ．eaD ．eb答案 A解析如图，延长F 2B 交PF 1于点C ，在△PCF 2中，由题意，得它是一个等腰三角形，|PC |＝|PF 2|，B 为CF 2的中点，∴在△F 1CF 2中，有|OB |＝12|CF 1|＝12(|PF 1|－|PC |)＝12(|PF 1|－|PF 2|)＝12×2a ＝a . 12．设min{m ，n }表示m ，n 二者中较小的一个，已知函数f (x )＝x 2＋8x ＋14，g (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，log 2(4x )(x >0)．若∀x 1∈[－5，a ](a ≥－4)，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则a 的最大值为( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．0答案 C解析由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4x )，0<x <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≥1，则g (x )max ＝g (1)＝2.在同一坐标系作出函数f (x )(－5≤x ≤a )和g (x )(x >0)的图象，如图所示．由f (x )＝2，得x ＝－6或－2，∵∀x 1∈[－5，a ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， ∴－4≤a ≤－2，∴a 的最大值为－2.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋2y －1≥0，y ≤3，则点P 到原点O 的最大距离为________．答案34解析画出⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋2y －1≥0，y ≤3表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由⎩⎨⎧ y ＝3，x ＋2y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝3，由图得，当点P 的坐标为(－5,3)时，点P 到原点的距离最大，且最大值为25＋9＝34.14．函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin x 的最小正周期为________，最大值为________．答案 π 12解析 f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为12. 15．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．答案 [4,6]解析由已知，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，又AB 的中点为原点，则|AB |＝2m ，则|m －1|≤(0－3)2＋(0－4)2≤m ＋1，解得4≤m ≤6，即m 的取值范围是[4,6]．16．如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则△ABC 的面积的最大值为________．答案 3 2解析由sin ∠ABC 2＝33，可得cos ∠ABC 2＝63，则sin ∠ABC ＝2sin ∠ABC 2cos ∠ABC 2＝223.由sin ∠ABC 2＝33<22可知，0°<∠ABC 2<45°，则0°<∠ABC <90°，由同角三角函数基本关系可知，cos ∠ABC ＝13. 设AB ＝x ，BC ＝y ，AC ＝3z (x >0，y >0，z >0)，在△ABD 中，由余弦定理可得，cos ∠BDA ＝163＋(2z )2－x 22×433×2z ，在△CBD 中，由余弦定理可得，cos ∠BDC ＝163＋z 2－y22×433×z ，由∠BDA ＋∠BDC ＝180°，故cos ∠BDA ＝－cos ∠BDC ，即163＋(2z )2－x 22×433×2z ＝－163＋z 2－y 22×433×z ，整理可得16＋6z 2－x 2－2y 2＝0. ①在△ABC 中，由余弦定理可知，x 2＋y 2－2xy ×13＝(3z )2，则6z 2＝23x 2＋23y 2－49xy ，代入①式整理计算可得，13x 2＋43y 2＋49xy ＝16，由基本不等式可得， 16≥213x 2×43y 2＋49xy ＝169xy ，故xy ≤9，当且仅当x ＝32，y ＝322时等号成立，据此可知，△ABC 面积的最大值为 S max ＝12(AB ·BC )max ·sin ∠ABC ＝12×9×223 ＝3 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a n ≠1，a n ＋1＝2－1a n(n ∈N *)，数列{b n }中，b n ＝1a n －1，且b 1，b 2，b 4成等比数列．(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)若S n 是数列{b n }的前n项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列．(2)由题意可得b 22＝b 1b 4，即(b 1＋1)2＝b 1(b 1＋3)，∴b 1＝1，∴b n ＝n ， ∴S n ＝n (n ＋1)2，∴1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 18．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ＝AA 1，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ∥平面BCC 1B 1；(2)若AB ＝2，求点A 到平面BEF 的距离．解 (1)证明：如图，取AB 中点M ，连接EM ，FM ，则ME ∥BC ，FM ∥BB 1， ∵ME ∩FM ＝M ，BC ∩BB 1＝B ， ∴平面EFM ∥平面BCC 1B 1， ∵EF ⊂平面EFM ， ∴EF ∥平面BCC 1B 1.(2)连接AF ，设点A 到平面BEF 的距离为h ， ∵EF 2＝FM 2＋EM 2＝5， ∴EF ＝ 5.又BE ＝3，BF ＝5，结合余弦定理，可知cos ∠EBF ＝1510，所以sin ∠EBF ＝8510，因而S △BEF ＝12BE ·BF ·sin ∠EBF ＝514.易知S △ABE ＝12S △ABC ＝12×12AB ·BC ·sin π3＝32. ∵V F －ABE ＝V A －BEF ， ∴13×32×2＝13×514×h ，解得h ＝41717，∴点A 到平面BEF 的距离为41717.19．(本小题满分12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：(1)估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．解 (1)由题知，样本中仅使用A 的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B 的学生有24＋1＝25(人)，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数为40100×1000＝400.(2)记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P (C )＝125＝0.04.(3)记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅使用B 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P (E )＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P (E )比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化，答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P (E )比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．20．(本小题满分12分)已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积；(3)记圆O ：x 2＋y 2＝ab a 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”．若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值．解 (1)由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程，得c 2a 2＋y 2P b 2＝1，解得y P ＝±b 2a .又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0，由0<e <1，解得e ＝12.(2)因为四边形AOPQ 是平行四边形，所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ，同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b 2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明：由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237.①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ，所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)，即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0. 所以3m 2＋4n 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 203，因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝x 2，a ∈R .(1)求函数f (x )的极值点；(2)若f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，令f ′(x )＝1x －a >0得0<x <1a ，令f ′(x )＝1x －a <0得x >1a ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，所以函数f (x )有极大值点，为x ＝1a ，无极小值点．(2)由条件可得ln x －x 2－ax ≤0(x >0)恒成立，则当x >0时，a ≥ln x x －x 恒成立，令h (x )＝ln x x －x (x >0)，则h ′(x )＝1－x 2－ln x x 2，令k (x )＝1－x 2－ln x (x >0)，则当x >0时，k ′(x )＝－2x －1x<0，所以k (x )在(0，＋∞)上为减函数．又k (1)＝0，所以在(0,1)上，h ′(x )>0；在(1，＋∞)上，h ′(x )<0.所以h (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以h (x )max ＝h (1)＝－1，所以a ≥－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (其中t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 2. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．解 (1)消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程x 2－y 2＝4(x ≥2)．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－y 2＝4，得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4.所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4<θ<π4. (2)将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2cos2θ. 展开得3cos 2θ－23sin θcos θ＋sin 2θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)．因为cos θ≠0，所以3tan 2θ－23tan θ＋1＝0.于是方程的解为tan θ＝33，即θ＝π6.代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2，得ρ＝22，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y 4＝1.由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12 y x ·x y ＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎨⎧ －3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明：因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．。

2020高考理科数学二轮分层特训卷：方法技巧专练(四)Word版含解析

专练 (四)技法 14 函数方程思想1．已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，点E 在线段 AB 上运动 (包括→ →端点 )，则 EM ·EC 的取值范围是 ()1 3 A. 2，2 B. 0，21 3C. 2，2 D ．[0，1] 答案： C分析：解法一1将正方形 ABCD 放入如下图的平面直角坐标系中，设 E(x ，0)，0≤ x ≤ 1.又 M 1， 2 ，→ 1 → → → 1C(1， 1)，所以 EM ＝ 1－ x ， 2 ， EC ＝ (1－ x ， 1) ，所以 EM ·EC ＝ 1－ x ，2 ·(1－ x ， 1) ＝ (1－x)2＋ 1 0≤ x ≤ 1，所以 1 1 3 .由于 ≤ (1－ x)2＋ ≤ ，2 2 2 2→ → 1 3 即 EM ·EC 的取值范围是 2，2 .→ →→1→→→→1→→1 → 1 解法二 EM ·EC ＝ EB ＋ 2BC ·(EB ＋BC) ＝EB 2＋ 2BC 2＝ EB 2＋ 2，又 0≤ |EB|≤ 1，所以 2 → 1≤ 3 → → 1 3 ≤EB 2 2，2 .＋ 2 2，即 EM ·EC 的取值范围是 2．将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大概积为 ( )π 8πA. 27B.27 π 2πC.3D. 9 答案： B分析：r2－ x如下图，设圆柱的半径为r ，高为 x ，体积为 V ，由题意可得 1＝2，所以 x ＝ 2－ 2r ，所以圆柱的体积V＝πr2 (2－2r )＝ 2π(r 2－ r3)(0< r<1) ，设 V( r)＝ 2π(r 2－ r3)(0< r<1) ，则 V′( r)＝2π(2r －3r 2)，2由 2 π(2r － 3r 2)＝ 0 得 r ＝，32 2 23 8π所以圆柱的最大概积 V max＝ 2π3 － 3 ＝27.3． [2019 ·西西安二模陕] 已知函数f(x)＝ x2＋4x＋ 4，若存在实数t，当 x∈ [1， t]时， f(x －a)≤ 4x(a>0)恒成立，则实数 t 的最大值是 ( )A．4 B．7C．8D． 9答案： D分析：作函数 f(x)＝ x2＋ 4x＋ 4＝ (x＋ 2)2的简图如下图．由图象可知，当函数 y＝ f(x－a)的图象经过点 (1， 4)时，有 x∈ [1，t]， f(x－ a)≤ 4x(a>0) 恒成立，此时 t 获得最大值，由(1－ a)2＋ 4(1－ a)＋ 4＝4，得 a＝5 或 a＝ 1(舍 )，所以 4t＝ (t－ 5＋ 2)2，所以 t＝ 1(舍 )或 t＝ 9，故 t＝ 9.4． [2018 全·国卷Ⅰ ]△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c.已知 bsin C＋ csin B＝4asin Bsin C， b2＋ c2－ a2＝8，则△ ABC 的面积为 ________．2 3答案：分析：∵ bsin C＋ csin B＝ 4asin Bsin C，∴由正弦定理得sin Bsin C＋ sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.1又 sin Bsin C ＞ 0，∴ sin A＝2.由余弦定理得cos A＝ b2＋ c2－ a2 ＝8 ＝ 4 ＞ 0，2bc 2bc bc3 4 8 3∴ cos A＝2 ， bc＝cos A＝3 ，∴ S△ABC＝1 b csin A＝1×8 3×1 ＝2 3.2 23 2 35．已知 { a } 为等差数列，前* )， { b } 是首项为 2 的等比数列，且公比n 项和为 S (n∈ Nn n n大于 0， b2＋ b3＝ 12， b3＝ a4－ 2a1，S11＝ 11b4.则 a n＝ ________， b n＝ ________.答案： 3n－ 22n分析：设等差数列 { a n} 的公差为 d，等比数列 { b n} 的公比为 q.由已知 b2＋ b3＝ 12，得 b1 (q212＋q － 6＝ 0，解得 q ＝ 2 或 q ＝－ 3，又由于 q>0，所以 q ＝2.所＋q )＝ 12，而 b ＝ 2，所以 q 以 b ＝ 2.由 b ＝ a － 2a ，可得3d － a ＝ 8 ① .nn 34 11由 S ＝ 11b，可得 a ＋ 5d ＝ 16 ② ，联立 ①② ，解得 a ＝ 1，d ＝ 3，由此可得 a ＝ 3n11411n－2.所以数列 { a n } 的通项公式为 n n n na ＝3n － 2，数列 { b } 的通项公式为b ＝ 2 .2 26．已知双曲线 C ： x 2－ y2＝ 1(a>0， b>0) 的左、右焦点分别为 F 1(－ c ，0) ，F 2(c ， 0)， P a b是双曲线 C 右支上一点，且 |PF 2|＝ |F 1F 2|，若直线 PF 1 与圆 x 2＋y 2＝ a 2 相切，则双曲线的离心率为 ________．答案： 53分析：取线段 PF 1 的中点为 A ，连结 AF 2，又 |PF 2|＝ |F 1F 2|，则 AF 2⊥PF 1，∵ 直线 PF 11与圆 x 2＋ y 2 ＝a 2 相切， ∴ |AF 2 |＝2a ， ∵ |PA|＝ 2|PF 1|＝a ＋ c ， ∴ 4c 2＝ (a ＋ c)2＋ 4a 2，化简得 (3c5－5a)(a ＋c)＝ 0，则双曲线的离心率为 3.1＋ 2x ＋ 4x ·a7．已知函数 f(x)＝ lga 2－ a ＋1 ，此中 a 为常数，若当 x ∈ (－∞， 1] ， f(x)存心义，则实数 a 的取值范围为 ________．3答案：－ 4，＋∞分析：参数 a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接成立对于a 的不等式 (组 )特别困难，故应变换思想角度，想法从原式中把 a 分别出来，从头认识 a 与变元 x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题 “ 峰回路转 ”．由 1＋ 2x ＋ 4x ·a >0 ，且 a 2－ a ＋ 1＝ a －1 2＋ 3>0，2－a ＋ 124a1 1得 1＋2x ＋ 4x ·a>0，故 a>－ 4x ＋ 2x .1 1当 x ∈ (－ ∞， 1]时， y ＝ 4x 与 y ＝2x 都是减函数，1 1所以，函数 y ＝－ 4x ＋2x 在 (－ ∞， 1]上是增函数，1 1 3 3所以－－ 4x ＋ 2xmax ＝－4，所以 a>－ 4.3故实数 a 的取值范围是－4，＋ ∞ .xx 2912 － 1－ a － 4 x ≥0 在 x ∈ ，＋∞上恰成立，则 a 的取值会合8．对于 x 的不等式 e － 2 为________．答案： {2 e}x 2分析：对于 x 的不等式 e x－9 x ≥ 0 在 x ∈ 12 － 1－ a － 4 ，＋ ∞ 上恰成立 ? 函数 g(x)＝2 e x － 1 2x 2－ 11 9 x在 2，＋ ∞ 上的值域为 a － 4，＋ ∞ . e x 1x － 1 － 2x 2＋ 1由于 g ′ (x)＝x 2，令 φ(x)＝ e x(x －1) －1x 2＋ 1， x ∈ 1，＋ ∞ ，2 2 则 φ′ (x)＝ x(e x － 1)．11 17 e由于 x ≥2，所以 φ′ (x)≥ 0，故 φ(x)在 2，＋ ∞ 上单一递加，所以 φ(x)≥ φ 2 ＝ 8－2 >0.1所以 g ′ (x)>0，故 g(x)在 2，＋ ∞ 上单一递加，1 11e 2－ 8－ 19则 g(x)≥ g 2 ＝1＝ 2 e －4，2 99所以 a － 4＝ 2 e － 4，解得 a ＝ 2 e ，所以 a 的取值会合为 {2e} ．9．[2018 ·国卷全 Ⅱ 节选 ] 设抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k>0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， |AB|＝ 8.求 l 的方程．分析：由题意得 F(1， 0)， l 的方程为 y ＝ k(x － 1)(k>0) ．设 A(x1，y1)， B(x2， y2)，y ＝ k x － 1 ，得 k 2x 2－(2k 2＋ 4)x ＋k 2＝0.由y 2＝ 4x2k 2＋ 4＝ 16k 2＋ 16>0，故 x1＋x2＝k 2.4k 2＋ 4所以 |AB|＝ |AF|＋ |BF |＝(x1＋1) ＋(x2＋ 1)＝ k 2.4k 2＋ 4由题设知 k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1(舍去 )或 k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝ x －1.10．已知数列 { a } 是各项均为正数的等差数列，a ＝ 2，且 a ， a ， a ＋1 成等比数列．n1234(1)求数列 { a n } 的通项公式 a n ；1 ＋1＋＋ 1 ，若对随意的(2)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， b n ＝ n ∈ N *，不等式n ＋ 1n ＋ 2S 2nb ≤ k 恒成立，务实数 k 的最小值． SSn2分析： (1)由于 a 1＝ 2， a 3＝a 2 (a 4＋ 1)，又由于 { a n } 是正项等差数列，所以公差 d ≥ 0，所以 (2＋ 2d) 2＝ (2＋d)(3 ＋3d)，解得 d ＝ 2 或 d ＝－ 1(舍去 )，所以数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 2n. (2)由 (1) 知 S n ＝ n(n ＋ 1)，则 b n ＝ 1 ＋ 1＋＋ 1S n ＋1 S n ＋ 2 S 2 n 1 ＋ 1 ＋＋ 1＝n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 2 n ＋ 3 2n 2n ＋ 11 1 1 1 1 1＝－＋－＋＋－n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋2 n ＋ 32n 2n ＋ 11 1 ＝ n 1 .＝－＝1 n ＋ 1 2n ＋ 1 2n 2＋ 3n ＋ 12n ＋ n ＋ 3令 f(x) ＝2x ＋ 1 (x ≥ 1)，则 f ′ (x)＝ 2－ 12， xx 当 x ≥ 1 时， f ′ (x)>0 恒成立，所以 f(x)在 [1，＋ ∞ )上是增函数，故当 x ＝1 时， f(x) min ＝f(1) ＝ 3，1即当 n ＝ 1 时， (b n )max ＝ 6，要使对随意的正整数n ，不等式 b n ≤ k 恒成立，1则需使 k ≥ (b n )max ＝ 6，所以实数 k 的最小值为16.。

高考数学二轮复习疯狂专练24模拟训练四文8.doc

模拟训练四1．[2017·庄河高级中学]已知集合{}1,0,1,2M =-，{}2,N y y x x M ==∈，则MN =（） A ．{}1,1- B ．{}0,1 C．{}1,1,3,5-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【解析】由题意可得：{}0,1,4N =，则{}0,1M N =．本题选择B 选项．2．[2017·庄河高级中学]设复数12iiz --=，则复数1z -的模为（） AB ．4C．D ．2【答案】A【解析】由题意可得：12ii 2iz --==-，13i z ∴-=-+，z ==题选择A 选项．3．[2017·庄河高级中学]已知平面向量a ，b 1a =，12b =，则2a b -=（） A ．1BC ．2D ．32【答案】A 【解析】根据条件：1111224a b ⋅=⨯⨯=，∴一、选择题（5分/题）()22211244144144a ba ab b -=-⋅+=-⨯+⨯=，∴21a b -=，故选A ．4．[2017·庄河高级中学]已知双曲线222:1(0)y C x b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，则双曲线C 的离心率为（）A BC ．2D ．【答案】C【解析】由题意可得：双曲线的渐近线为：y bx =±，则：πtan3b ==据此有：2c e a ====．本题选择C 选项．5．[2017·庄河高级中学]在等比数列{}n a 中，已知32a =，35726a a a ++=，则7a =（） A ．12 B ．18 C ．24 D ．36【答案】B【解析】由题意可得：()243126a q q ++=，整理可得：()()22340q q -+=，结合等比数列的通项公式可得：42732318a a q =⨯=⨯=．本题选择B 选项．6．[2017·庄河高级中学]执行如图所示的程序框图，若输入3m =，4n =，则输出a =（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】程序框图运行如下：首先初始化数值：3m =，4n =，0i =；执行第一次循环：11i i =+=，7a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第二次循环：12i i =+=，10a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第三次循环：13i i =+=，13a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第四次循环：14i i =+=，16a mi n =+=，此时满足判断条件，跳出循环，输出16a =．本题选D ．7．[2017·庄河高级中学]已知α为第二象限角，sin 410απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则t a n α的值为（） A ．12-B ．13C ．43-D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：cos 410απ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，sin 14tan 47cos 4αααπ⎛⎫+ ⎪π⎛⎫⎝⎭∴+==- ⎪π⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，据此有：1147tan tan 144317αα--⎡⎤ππ⎛⎫=+-==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-．本题选择C 选项．8．[2017·庄河高级中学]设实数x ，y 满足约束条件()20200x y x y y m m +--->⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，则目标函数2z x y =-的最大值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点()2,0处取得最大值：2202z =-⨯=．本题选择D 选项．9．[2017·庄河高级中学]某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A ．18B ．1C ．2D【答案】B【解析】，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x ，222x-=，解得12x =，故21x =，故新工件的体积为1．10．[2017·庄河高级中学]已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕπ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，若()12f x f π⎛⎫ ⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为（） A ．2 B ．10C ．4D ．16【答案】C【解析】函数图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：1sin 2ϕ=，结合2ϕπ<可得：6ϕπ=，由()12f x f π⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立可得：()21262k k ωπππ⨯+=π+∈Z ，解得：()244k k ω=+∈Z ，令0k =可得：min 4ω=．本题选C ．11．[2017·庄河高级中学]已知函数()2222,2log ,2x x x f x x x ⎧-+=⎨>⎩≤，若0x ∃∈R ，使得()2054f x m m -≤成立，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =，则要考查的不等式转化为：2154m m -≤，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦．本题选择B 选项．12．[2017·庄河高级中学]设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若y 轴上存在点()0,2A ，使得0AM AF =⋅，则p 的值为（）A ．2或8B ．2C ．8D ．4或8【答案】A【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点()0,2，设(),M x y ，由抛物线性质52p MF x =+=，可得52px =-，因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为552222p p-+=，已知圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点()0,2，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即5,42p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程得210160p p -+=，所以2p =或8p =．本题选择A 选项．13．[2017·庄河高级中学]设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12x f x +=，则14log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．【答案】- 【解析】由题意：144log 3log 30=-<，则：()()4l og311444l o g 3l o g 3l o g 322f f f +⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭．14．[2017·庄河高级中学]在ABC △中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，2a b =，60C =︒，则=B ______．【答案】6π【解析】由题意有：222222241cos 242a b c b b c C ab b +-+-===，解得：223c b =，据此有：二、填空题（5分/题）::2a b c =6B π=． 15．[2017·庄河高级中学]若直线1ax by +=（a ，b 都是正实数）与圆224x y +=相交于A ，B 两点，当OA OB ⊥（O 是坐标点）时，ab 的最大值为__________．【答案】14【解析】由题意可得，圆心到直线的距离为，即：=，整理可得：22122a b ab +=≥，则：14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，即ab 的最大值为14．16．[2017·庄河高级中学]已知1x =是函数()()22e (0)2xk f x x x kx k =--+>的极小值点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】()0,e【解析】由题意可得：()()()()()1e 11e x x f x x k x x k '=---=--，满足题意时有：ln 1k <，求解不等式可得实数k 的取值范围是()0,e ．。

高考数学大二轮复习刷题首选卷第三部分刷模拟高考仿真模拟卷(四)文-人教版高三全册数学试题

2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1，由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22，则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了答案 C解析因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析根据题意，设高三年级抽取x 人，则高一抽取(180－x －65)人，由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65，解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时，目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4，即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2，而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9，可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立．令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0，从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率．解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离．解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°，所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直，所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32，所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33，解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2，即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2，所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ，由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2，当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围．解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立，即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。

2020高考理科数学二轮分层特训卷：热点练(四)Word版含解析

热门 (四 ) 数列中的奇偶分类和最值1． (偶数项 ) 已知等差数列 { a } 的前 9 项和为 27，a ＝8，则 a＝ ()n10100A ．100B ．99C ．98D ． 97 答案： C分析：设等差数列 { a n } 的公差为 d ，因为 { a n } 为等差数列，且 S 9＝9a 5＝ 27，所以 a 5＝ 3. 又 a ＝ 8，所以 5d ＝ a － a ＝ 5，所以 d ＝ 1，所以 a ＝ a ＋ 95d ＝ 98，应选 C.1010 5 100 52．(项数的最值 ) 已知 S是等差数列 { a } 的前 n 项和， a ＝ 2，a ＋ a ＝ a ，若 S >32，则nn1 1 4 5 nn 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ． 6答案： D分析：由 a 1＝1 45，可得公差 5 662 且 a ＋ a＝ad ＝ 2，所以 S ＝ 30， S ＝ 42，即 S >32，应选D.3．(奇数项和 )已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，当 n ≥2 时，a n ＋ 2S n － 1＝n ，则 S 2 017的值为()A ．2 017B ．2 016C ．1 009D ．1 007答案： C分析：因为 a nn －1＝ n ，n ≥ 2，所以 a n ＋ 1n*，两式相减得 a n ＋ 1n＋ 2S ＋ 2S ＝n ＋ 1，n ∈ N＋ a＝ 1， n ≥ 2.又 a 1＝ 1，所以 S 2 017＝a 1＋( a 2＋ a 3 )＋＋ (a 2 016＋ 22 017)＝ 1 009，应选 C.4． (项数的最值问题 )设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若a 8<0，且 a 9 >|a 8 |，则使 S n >0建立的最小正整数 n 为 ()A ．15B ．16C ．17D ． 18 答案： B分析：因为 a 8<0 ，且 a 9 >|a 8 |，所以此等差数列从第一项到第八项都是负数，从第九项开始是正数，因为 a 89710 1 16 8 9 8 n建立的最小正＋ a ＝ a ＋ a ＝＝ a ＋ a ，a ＋ a >0 ，a <0 ，所以使 S >0整数 n ＝ 16，应选 B.5．(数列中奇偶分类问题 )已知数列 { b n } 知足 b 1＝2n π n π1，b 2＝ 4，b n ＋ 2＝ 1＋ sin 2 b n ＋ cos 2，23 项的和为 ( )2则该数列的前A ．4 194B ．4 195C ．2 046D ．2 047 答案： A分析： b 1 2n ＋22n π 2n π＝ 1＋ sinn2，＝1， b ＝ 4， b 2 b ＋ cos当 n 为奇数时， b n ＋2＝ 2b n ，数列为以 2 为公比的等比数列，当 n 为偶数时， b n ＋2＝ b n ＋ 1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴前 23 项和 S 23132324221－ 21211× 11－1＋ 11× 4＋＝( b ＋b ＋＋ b ) ＋(b ＋ b ＋＋ b )＝1－ 22×1＝ 212－ 1＋ 44＋55＝ 4 194，应选 A. 6． (奇数项和 )已知等差数列 nn≠ 0，若 n ≥2 且 an －1n ＋ 122n －1n{ a } 中， a ＋ a－ a ＝0， S＝ 38，则 n 等于 ________．答案： 10分析： ∵ { a n } 是等差数列， ∴2a n ＝ a n －1 ＋ a n ＋1，又 ∵a n － 1＋ a n ＋12＝0，∴ 2a2－a n n － a n ＝ 0，即 a n (2 －a n )＝0.∵ a n ≠ 0，∴ a n ＝ 2，∴ S 2n － 1＝ (2n － 1)a n ＝ 2(2n － 1)＝ 38，解得 n ＝ 10.7．(范围问题 )在等差数列 { a } 中， a ＝ 7，公差为 d ，前 n 项和为 S ，当且仅当 n ＝8 时，n1nS n 获得最大值，则 d 的取值范围为 ________．答案：－ 1，－78d<0 ，d<0 ，分析：由题意可得8即7＋ 7d>0 ，解得－ 1<d<－7a >0，8.a <0，7＋ 8d<0，98． (奇偶项和 )一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为 1，且中间两项的和为 24，则等比数列的项数为 ________．答案： 8分析：由题意可知公比 q ＝ 2，设该数列为 a 1， a 2 ，a 3，， a 2n ，则 a n ＋ a n ＋1＝24，又 a 1＝1， ∴ qn －1＋q n ＝ 24，即 2n －1＋ 2n ＝ 24，解得 n ＝ 4， ∴等比数列的项数为8.9． (和的最值问题 )已知数列 { a n } 知足 2a n ＋ 1＝a n ＋a n ＋ 2(n ∈ N * )，前 n 项和为 S n ，且 a 3＝110， S 6＝ 72，若 b n ＝ 2a n － 30，设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的最小值．分析： ∵ 2a n ＋1 n n ＋2 n ＋1 n ＝ a n ＋ 2 n ＋ 1 n＝ a ＋ a ， ∴ a －a － a ，故数列 { a } 为等差数列．设数列a ＋ 2d ＝ 10，1{ a n } 的公差为 d ，由 a 3＝ 10，S 6 ＝72 得6a 1 ＋15d ＝ 72，解得 a 1＝ 2，d ＝ 4.故 a n ＝ 4n － 2，b ≤ 0，2n － 31≤ 0，1n29≤ n ≤31则 b n ＝ 2a n － 30＝ 2n － 31，令则解得 22，b n ＋1≥ 0， 2n ＋ 2－ 31≥0，∵ n ∈N * ， ∴ n ＝ 15，即数列 { b n } 的前 15 项均为负值， ∴ T 15 最小．∵ 数列 { b n } 的首项为－ 29，公差为 2， ∴T 15＝－ 29× 15＋15× 14× 2＝－225， 2 ∴ T n 的最小值为－ 225.10． [2019 湖·南省联考 ]设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和， a 1＝ 1， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋1.(1)求数列 { a n } 的通项公式；n1(2)设 b n ＝ (－ 1) log 3a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .分析： (1)当 n ＝ 1 时， 2S 1＝ 5－ 3a 2＝ 2a 1＝2，求得 a 1＝ a 2＝ 1.当 n ≥2 时， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋ 1， 2S n －1＝ 5－ 3a n ，则 2S n － 2S n － 1＝ (5－3a n ＋1)－ (5－ 3a n )，a n ＋1 1整理得 2a n ＝ 3a n － 3a n ＋1，即 a n ＝3，1可知数列 { a n} 从第 2 项起为等比数列，且a2＝ 1，公比为3，1 n即当 n≥ 2 时， a n＝－ 23 .易知 a1＝1 不知足上式，所以数列 { a n} 的通项公式为1，n＝ 1，a n＝1 n－2*.3 ， n≥ 2，n∈ N0， n＝1，(2)由 (1) 得 b n＝－1 n n－ 2 ， n≥ 2，n∈ N*，则当 n≥ 2 时， T n＝ 0＋ 0－ 1＋ 2－ 3＋ 4－＋(－1)n(n－2)．n－ 2 当 n 为偶数时， T n＝ (－1＋ 2)＋ (－ 3＋4)＋＋ [－ (n－ 3)＋ (n－2)] ＝2；n－ 3 1－ n当 n 为奇数时， T n＝2－( n－ 2)＝2，且当 n＝1 时，知足该式．1－ n综上可得，数列 { b n2， n为奇数，n ＝} 的前 n 项和 Tn－ 22，n为偶数.。

二轮复习专项分层特训专项4抛体运动和圆周运动(含答案)

2023届二轮复习专项分层特训专项4 抛体运动和圆周运动（含答案）一、单项选择题1.[2022·辽宁模拟卷]某小组的同学到劳动实践基地进行劳动锻炼，任务之一是利用石碾将作物碾碎，如图所示．两位男同学通过推动碾杆，可使碾杆和碾轮绕碾盘中心的固定竖直轴O 转动，同时碾轮在碾盘上滚动，将作物碾碎．已知在推动碾轮转动的过程中，两位男同学的位置始终关于竖直轴对称，则下列选项中两男同学一定相同的是( )A ．线速度B ．角速度C ．向心加速度D ．向心力的大小2.[2022·全国甲卷]北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a 处由静止自由滑下，到b 处起跳，c 点为a 、b 之间的最低点，a 、c 两处的高度差为h .要求运动员经过c 点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( )A ．hk ＋1B ．h kC ．2hkD ．2h k －13.[2022·广东卷]如图是滑雪道的示意图．可视为质点的运动员从斜坡上的M 点由静止自由滑下，经过水平NP 段后飞入空中，在Q 点落地．不计运动员经过N 点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力．下列能表示该过程运动员速度大小v 或加速度大小a 随时间t 变化的图像是( )4.[2022·广东卷，6]如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P 点等高且相距为L .当玩具子弹以水平速度v 从枪口向P 点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t .不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )A ．将击中P 点，t 大于Lv B ．将击中P 点，t 等于Lv C ．将击中P 点上方，t 大于LvD．将击中P点下方，t等于L v5.[2022·广东茂名一模]大雾天气，司机以10 m/s的速度在水平路面上向前行驶，突然发现汽车已开到一个丁字路口(如图所示)，前方15 m处是一条小河，司机可采用紧急刹车或紧急转弯两种方法避险．已知汽车与地面之间的动摩擦因数为0.6，g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列措施中正确的是()A．紧急刹车B．紧急转弯C．两种都可以D．两种都不可以二、多项选择题6.[2022·河北省模拟题]智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱．如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示．可视为质点的配重质量为0.5 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m．水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是()A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变B．若增大转速，腰带受到的合力变大C．当θ稳定在37°时，配重的角速度为15rad/sD．当θ由37°缓慢增加到53°的过程中，绳子对配重做正功7.[2022·重庆二诊]如图所示，空间中匀强磁场的方向为竖直方向(图中未画出)，质量为m，电荷量为＋q的小球在光滑圆锥上以速度大小v做匀速圆周运动(从上往下看是逆时针)，其运动平面与圆锥轴线垂直且到圆锥顶点的距离为h，已知重力加速度为g，圆锥半顶角为θ，下列说法正确的是()A．磁场方向竖直向下B．小球转一圈的过程中，重力的冲量为0C．圆锥对小球的支持力大小为mg sin θD．磁感应强度大小为mgq v tan θ＋m vqh tan θ三、非选择题8.[2022·全国甲卷]将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．9.[2022·湖北省模拟题]2022年2月8日，18岁的中国选手谷爱凌在北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台比赛中以绝对优势夺得金牌，这是中国代表团在北京冬奥会上的第三枚金牌，被誉为“雪上公主”的她赛后喜极而泣．现将比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为α＝30°的斜面顶端O 点以v 0飞出，已知v 0＝20 m/s ，且与斜面夹角为θ＝60°.图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A 为轨迹上离斜面最远的点，B 为小球在斜面上的落点，C 是过A 作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g ＝10 m/s 2.求：(1)小球从O 运动到A 点所用时间t ； (2)小球离斜面最远的距离L ； (3)O 、C 两点间距离x .10.动画片《熊出没》中有这样一个情节：某天熊大和熊二中了光头强设计的陷阱，被挂在了树上(如图甲)，聪明的熊大想出了一个办法，让自己和熊二荡起来使绳断裂从而得救，其过程可简化如图乙所示，设悬点为O ，离地高度为2L ，两熊可视为质点且总质量为m ，绳长为L2且保持不变，绳子能承受的最大张力为3mg ，不计一切阻力，重力加速度为g ，求：(1)设熊大和熊二刚好在向右摆到最低点时绳子刚好断裂，则他们的落地点离O 点的水平距离为多少；(2)改变绳长，且两熊仍然在向右到最低点绳子刚好断裂，则绳长为多长时，他们的落地点离O 点的水平距离最大，最大为多少；(3)若绳长改为L ，两熊在水平面内做圆锥摆运动，如图丙，且两熊做圆锥摆运动时绳子刚好断裂，则他们落地点离O 点的水平距离为多少．专项4 抛体运动和圆周运动1．解析：线速度、向心加速度都是矢量，两同学的线速度和向心加速度的大小相等，但方向相反，所以不相同，故A 、C 错误；两同学的运动为同轴传动，故两者的角速度一定相同，故B 正确；两同学的质量大小未知，所以无法判断两者所受向心力的大小关系，故D 错误．答案：B2．解析：运动员从a 处滑至c 处，mgh ＝12 m v 2c －0，在c 点，N －mg ＝m v 2c R ，联立得N ＝mg ⎝⎛⎭⎫1＋2hR ，由题意，结合牛顿第三定律可知，N ＝F 压≤kmg ，得R ≥2hk －1，故D 项正确．答案：D3．解析：根据题述可知，运动员在斜坡上由静止滑下做加速度小于g 的匀加速运动，在NP 段做匀速直线运动，从P 飞出后做平抛运动，加速度大小为g ，速度方向时刻改变、大小不均匀增大，所以只有图像C 正确．答案：C4．解析：由于子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以将击中P 点．子弹水平方向做匀速直线运动，由L ＝v t 可得t ＝Lv ，B 项正确．答案：B5．解析：由题意知紧急刹车的位移为x ＝v 22a ，又由牛顿第二定律得μmg ＝ma ，解得x ≈8.3m<15 m ，故紧急刹车是安全的，转弯时静摩擦力提供向心力，最大静摩擦力为μmg ，根据向心力公式有μmg＝m v2r m，解得r m＝16.7 m>15 m，如果转弯半径小于r m＝16.7 m时需要更大的向心力，汽车容易发生侧翻是不安全的，选项A正确．答案：A6.解析：匀速转动时，配重受到的合力提供向心力，大小恒定不变，方向指向圆心，时刻改变，故A错误；腰带受力平衡，受到的合力为0，故B错误；对配重受力分析如图所示：根据向心力公式有：mg tan θ＝m（d＋l sin θ）ω2, d＝0.2, l＝0.5, θ＝37°，解得：ω＝15 rad/s，故C正确；当θ由37°缓慢增加到53°的过程中，需要加速，动能增加，同时配重高度上升，重力对配重做负功，故绳子对配重做正功，故D正确．答案：CD7．解析：由左手定则可知，磁场方向竖直向下，故A正确；小球转一圈的过程中，重力的冲量等于重力与时间的乘积，所以重力的冲量不等于零，故B错误；对小球进行受力分析可知，小球受到重力mg，垂直圆锥母线的支持力F N，水平方向的洛伦兹力q v B，沿水平和竖直方向正交分解，有F N sin θ＝mg, q v B－F N cos θ＝m v2h tan θ，解得F N＝mgsin θ，磁感应强度大小为B＝mgq v tan θ＋m vqh tan θ，故C错误，D正确．答案：AD8.解析：依题意，相邻两球影像间隔的时间t ＝4t 0＝0.2 s设初速度大小为v 0，如图所示：由O 到A ，水平方向：x 1＝v 0t 竖直方向：y 1＝12 gt 2又s 1＝x 21 ＋y 21由A 到B ，水平方向：x 2＝v 0t 竖直方向：y 2＝12 g （2t ）2－12 gt 2又s 2＝x 22 ＋y 22s 1s 2 ＝37联立解得v 0＝255 m/s答案：255 m/s9.解析：（1）将速度分解，如图，当小球速度与斜面平行时到达A 点垂直斜面方向：v 1＝v 0sin θ，a 1＝g cos α，t ＝v 1α1 ，得：t ＝2 s（2）垂直斜面方向v 1匀减速至0时有：L ＝v 212a 1 ，代入数据得：L ＝103 m（3）由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O 到A 与A 到B 所用时间相等平行斜面方向：a 2＝g sin α，v 2＝v 0cos θ，x OB ＝v 22t ＋12 a 2（2t ）2小球在水平方向做匀速直线运动，C 为OB 中点，则x ＝12 x OB代入数据解得：x ＝40 m答案：（1）2 s （2）103 m （3）40 m 10．解析：（1）在最低点3mg －mg ＝m v 21 L 2绳子断后，两熊做平抛运动，则32 L ＝12 gt 21两熊落地点离O 点的水平距离x 1＝v 1t 1联立可得x 1＝3 L（2）设绳长为d ，则在最低点3mg －mg ＝m v 22d绳子断后，两熊做平抛运动，则2L －d ＝12 gt 22两熊落地点离O 点的水平距离x 2＝v 2t 2即x 2＝2（2L －d ）d则当d ＝L 时，两熊落地点离O 点水平距离最远，此时最大值x 2＝2L（3）两熊做圆锥摆运动时，设绳子与竖直方向的夹角为θ时，绳子被拉断．竖直方向3mg cos θ＝mg 水平方向3mg sin θ＝m v 23L sin θ此时两熊离地面的高度为h ＝2L －L cos θ 此后两熊做平抛运动h ＝12 gt 23水平位移x 3＝v 3t 3由几何关系：落地点到O 点的水平距离s ＝（L sin θ）2＋x 23联立可求得s ＝2223L答案：（1）3 L （2）d ＝L 时 2L （3）2223 L。

2021年高三高考仿真(四)(数学文)

2021年高三高考仿真（四）（数学文）说明：1．本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分.其中第一大题为选择题.2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3．所有题目的解答均应在答题卡上做答，在本试卷和草稿纸上做答无效.做选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A) P(B)如果事件A在一次实验中发生的概率为P，那么n次独立重复实验中恰好发生k次的概率：球的表面积公式S=4，球的体积公式第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设A={x|y=}，B={y|y=2x-x2}，则A∪B=（）Ａ．RＢ．Ｃ．Ｄ．2..抛物线y=2x2的准线方程是（）A.8x+1=0B.8y+1=0C.8y-1=0D.4y+1=03. 直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A.x＋2y－1＝0B.2 x＋y－1＝0C.2 x＋y－3＝0D.x＋2y－3＝04.已知由正数组成的数列{a n}满足a1=1, a2=2，（n≥2），则对数的值为（）Ａ．100 Ｂ．99Ｃ．50 Ｄ． 5．给出下列三个等式：f (xy )=f (x )+f (y )，f (x +y )=f (x ) f (y )，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（） A ．f (x )= B ．f (x )=sin x +cos x C ． D ． 6．命题“对任意的”的否定是（） A ．不存在 B ．存在 C ．存在 D ．对任意的 7.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 8.已知双曲线（a >0，b >0）的两条渐近线和抛物线y =x 2+相切，则双曲线的离心率是（） A . B . C .2 D . 9.如果点P 在平面区域内，点Q 在曲线上，则|PQ |的最小值为（） A ．2 B . C . D . 10．已知三棱锥A —BCD 的外接球球心在CD 上，且AB =BC =，BD =1，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 10.在非直角△ABC 中，向量与向量的夹角为（） A .锐角 B .直角 C .钝角 D .0 12．某班从5名男生和4名女生中选派4人去参加一个座谈会，要求男生甲和女生乙至少有一人参加，且男女生都有.则不同的选派方法有（）Ａ．85种Ｂ．86种Ｃ．90种Ｄ．91种第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数y =的最大值为_________. 14. 函数的图象与直线y =k 有且只有两个交点，则k 的取值范围是__________. 15.某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_______名学生. 16.如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，在此棱锥的侧面、底面及对角面PAC 和PBD 中任取两个面，这两个面互相垂直的概率为_______. 三. 解答题考号_______________ ________________________________________——————线—————————————_______________________________________17.（本题满分10分）已知43cos sin cos sin 2cos sin )(344--++=x x x x x x x f . ⑴求的周期和单调减区间；⑵设A 为锐角三角形的内角，且，求tan A 的值.18.（本题满分12分）数学单选题，每个题都有4个选项，其中只有一个是正确的.一次数学测验中，共出12道选择题，每题5分.同学甲和乙都会做其中的9道题，另外3道题，甲只能随意猜；乙有两道题各能排除一个错误选项，另一题能排除两个错误选项.求：⑴同学甲和乙选择题都得55分的概率；⑵就选择题而言，乙比甲多得10分的概率.19.（本题满分12分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，PD⊥底面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，PA与BC成60°角.⑴求证：CD=2PD=2；⑵求侧面PAD与侧面PBC所成的锐二面角的大小.20.（本题满分12分）已知是公差为d（d>0）的等差数列, 的前n项的平均数.⑴证明数列也是等差数列，并指出公差；⑵记的前n项和为，的前n项和为的前n项和为，求证: .21.（本题满分12分）已知x+c.⑴如果b=0，且在x=1时取得极值，求a的值，并指出这个极值是极大值还是极小值，说明理由；⑵当a=-1时，如果函数y=的图象上有三个不同点处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求b的取值范围.22.（本题满分12分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，上、下顶点分别为B1、B2，四边形B1F1B2F2的一个内角等于，椭圆过点P（1，）.⑴求椭圆E的方程；⑵直线l的斜率等于椭圆E的离心率，且交椭圆于A、B两点，直线PA和PB分别交x轴于点M、N，求证：|PM|=|PN|.唐山一中2011届高三年级数学仿真训练考试卷（文科四）参考答案一、选择题1—5题ABDDB 6—10题CACDC 11—12题BB二、填空题13. 14.(1,) 15.40 16.三、解答题17. 解：⑴43)1sin 2(cos sin cos sin 2)cos (sin )(222222--+-+=x x x x x x x x f的周期为，减区间为(k ∈Z)；⑵由，得.∵0<A <，∴<4A +<, 4A +=,2A =.于是tan2A =，解得tan A =1+,或tan A =1-.∵tan A >0，∴tan A =1+.18. 解：⑴甲乙都得55分，就是二人各猜对2个题.甲猜对2个题的概率为乙猜对2个题的概率为二人各猜对2个题的概率为P 1=;⑵不会的3个题目，解答情况如下：乙对2道，甲对0道的概率为12815)411(]21)311(3121-1)31[(3122=-⨯⨯-⨯⨯+⨯C ）（乙对3道，甲对1道的概率为所以，乙比甲多得10分的概率.19. 解：⑴作DE ⊥PB 于E ,∵平面PBC ⊥平面PBD ，∴DE ⊥平面PBC ，得DE ⊥BC .又∵PD ⊥BC ，PD ∩DE =D ，∴BC ⊥平面PBD ，得BC ⊥BD .∵AB =AD =1,AB ∥CD ，∴∠CDB =∠DBA =45°.BC =BD =,CD =2.取CD 中点F ，连AF ，PF .则AF ∥BC ，∠PAF 为PA 与BC 所成的角，∴∠PAF =60°，∵Rt ΔADP ≌Rt ΔFDP ，∴PA =PF ，∴△PAF 为等边三角形，∴PD =AD =DF = 1;（2）延长DA ，CB 交于G ，连PG ，则PG 是所求二面角的棱.作DH ⊥PG 于H ，连CH ，根据三垂线定理，CH ⊥PG ，∴∠CHD 是侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的平面角， PD =1 ，GD =2，DH =，CD =2，tan ∠CHD =，∴侧面PAD 与侧面PBC 所成锐二面角的大小为arc tan ；解2：⑴建立空间直角坐标系如图，设CD =a ,PD =b ,则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,a ,0),D (0,0,0), P (0,0,b ).设BD 中点为M （，0），则AM ⊥平面PBD ,所以是平面PBD 的一个法向量.=(-1,a -1,0),=(0,a ,-b ),设n =(x ,y ,z)是平面PBC 的法向量,则-x +(a -1)y =0,且ay -b z =0,令y =1,则x =a -1,z =,n =(a -1,1, ).∵平面PBC ⊥平面PBD ，∴·n ==0,得a =2.=(-1,1,0)，=(1,0,-b ),cos 60°=，解得b =1.所以,CD =2PD =2；⑵由⑴知,平面PBC 的法向量为n =(1,1,2)，=（1，0，0）是平面PAD 的法向量,设平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角为θ,则cos θ=.∴侧面PAD 与侧面PBC 所成锐二面角的大小为arc cos .20. 解.（1）∵2)1(2)1(...1121d n x n d n n nx n S n x x x x n n n ⋅-+=-+==+++= ∴{}是以x 1为首项，以d 2为公差的等差数列；（2）∵，∴∴)111(4)1(14111+-⋅=+⋅=-++n n d n n d T S n n ∴)]111(...)4131()3121()211[(4+-++-+-+-=n n d U n . 21. 解：⑴，∵x =1是f (x )的极值点，∴=a +2=0，a =-2 .此时，=x (x 2-x -2=x （x -1）（x +2）所以0<x <1时，<0，当x >1时，>0因此f (x )在x =1处取得极小值.⑵当a =-1时，+b ，直线x +2y +3=0的斜率为，依题意，方程+b =2有三个不等的实根.设g (x )= +b -2,由=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1)=0得x 1=-1,x 2=.列表讨论（略）知，在x =-1处取得极大值，在x =处取得极小值.极大值为g (-1)=b -1，极小值为g ()=b -，由b -1>0，且b -<0得，1<b <.22. 解：⑴由b >=c 知∠F 1B 1F 2=，由此可得，椭圆方程简化为，以点P (1，)代入得b 2=3，a 2=4.椭圆方程为；⑵c ==1，离心率e =.设直线l 的方程为y =x +m ，代入椭圆方程整理得x 2+mx +m 2-3=0，所以x 1+x 2=-m ，x 1x 2=-m 2-3，要证|PM |=|PN |，只需证直线PA 的斜率k 1与直线PB 的斜率k 2互为相反数，k 1+k 2=)1)(1(2)1)(32()1)(32(1231232112212211----+--=--+--x x x y x y x y x y ∵=)1)(32()1)(32(1221--++--+x m x x m x=2x 1x 2+(2m -4)(x 1+x 2)+6-4m =2(m 2-3)+(2m -4)(-m )+6-4m =0所以，k 1+k 2=0，因此|PM |=|PN |.。

备战高考高中数学二轮专项分层特训试卷习题仿真模拟专练(四)

仿真模拟专练(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |－10<x <5}，B ＝{x |－6<x <8}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－6<x <5} B ．{x |－10<x <8} C.{x |－10<x <－6} D ．{x |5<x <8}2．设i 为虚数单位，a ∈R ，“复数z ＝a 22 ＋i 2 0211－i是纯虚数”是“a ＝1”的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知O (0，0)，A (－sin θ，1)，B (1，3 cos θ)，θ∈(π2 ，3π2)，若|OA → ＋OB → |＝|AB →|，则θ＝( )A.2π3 B ．5π6 C ．7π6 D ．4π34．在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＋a 13＝9，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 15＝( ) A.43 B ．44 C ．45 D ．465．设P (x ，y )是曲线 x 225 ＋ y 29＝1上的点，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，则必有( )A.|PF 1|＋|PF 2|≤10 B ．|PF 1|＋|PF 2|<10 C.|PF 1|＋|PF 2|≥10 D ．|PF 1|＋|PF 2|>106．如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长均为2，E 、F 分别是棱CC 1、A 1B 1的中点，则异面直线AC 与EF 所成角的余弦值为( )A.24 B ．144 C ．77 D ．347．已知tan α＝4，tan β＝－14，则tan 2α－tan 2β＝( )A.－1615 B ．0 C ．1615 D ．－8158．已知圆M ：x 2＋y 2－6y ＋8＝0，以圆M 的圆心为焦点F 的抛物线E ：x 2＝2py (p >0)，过F 的直线l 与M 交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，l 与E 交于P ，Q 两点(P 在Q 的上方)，则14|AP |＋|BQ |的最小值为( ) A.7 B ．254 C ．6 D ．1129．在正四棱锥S ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO ＝2，底面的边长为2 ，点P ，Q 分别在线段BD ，SC 上移动，则P ，Q 两点的最短的距离为( )A.55 B ．255C ．2D ．1 10．已知a >0，b >0，两直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0，l 2：x ＋2by ＋1＝0，且l 1⊥l 2，则1a＋2b的最小值为( ) A.2 B ．4 C ．8 D ．911．已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安；模式B ：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t 倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在m 小时后切换为B 模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m 的取值范围是( )A.(5，6) B ．(6，7) C ．(7，8) D ．(8，9)12．已知a －4＝ln a 4 ，b －3＝ln b 3 ，c －2＝ln c2，其中a ≠4，b ≠3，c ≠2，则( )A.c <b <a B ．c <a <b C ．a <b <c D ．a <c <b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某公司的班车分别在7：30，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是________．14．已知双曲线C ：x 2a 2 －y2b2 ＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆M ：(x －2)2＋y 2＝3相切，该双曲线的离心率e 为__________．15．若sin (π6 －α)＝55 ，则cos (2π3＋2α)＝________．16．钻石是以矿物金刚石为材料的宝石，“钻石恒久远，一颗永流传”也早已深入人心，这么多年来，钻石依然是很多美好场合的见证者．天然钻石原矿，最基本的单晶结晶形态之一是等轴晶系里的八面体．为了研究结构特点，我校某兴趣小组研制了一个教具，由六个黑点代表顶点，十二条黄棍代表棱，制作成了正八面体模型，若该正八面体的棱长为2，则该正八面体的外接球体积是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)已知数列{a n }，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：{a n ＋1}是等比数列；(2)设b n ＝2n a n ，求{b n }的前n 项和． 18．(12分)《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”．下表是某(1)请利用所给数据求违章驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程y ＝b ^ x ＋a ^，并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；(2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员“礼让斑马能否有附：b ^ ＝∑5i ＝1x i y i －n x － y －∑5i ＝1x 2i－n x －2 ，a ^ ＝y －－b ^ x －，K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d .19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋x －ln x (a ≥0). (1)若a ＝0，证明：f (x )≥1； (2)讨论f (x )的单调性．20．(12分)如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面P AB 为直角三角形，C 是底面圆周上异于A ，B 的任一点，D 是线段AC 的中点，E 为母线P A 上的一点，且PE ＝2EA .(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ；(2)若AC ＝23 ，BC ＝2，求三棱锥P ODE 的体积．21．(12分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸 (如图)步骤 1: 设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤 2: 把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤 3: 把纸片展开，并留下一道折痕；步骤 4: 不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为2，按上述方法折纸．(1)以点F 、E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程； (2)直线l 过椭圆C 的右焦点F 2，交该椭圆于A ，B 两点，AB 中点为Q ，射线 OQ (O 为坐标原点)交椭圆于P ，若QP → ＝3OQ →，求直线l 的方程．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2－t ，y ＝2t－2－t (t 为参数)，直线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋55m ，y ＝255m(m 为参数).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程和直线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与直线C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(3，0)，求|P A ||PB |的值．23．(10分)[选修4—5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|. (1)求不等式f (x )<6的解集；(2)记f (x )最小值为M ，若a ，b 均为正数，a ＋2b ＝M ，求证：a 2＋4b 2≥8.。

高考数学二轮复习仿真模拟训练4理

仿真模拟训练(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(i ＋1)z ＝－2，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |x 2－16≤0}，B ＝{x |lg|x －2|>0}，则A ∩B ＝( )A ．[－4,1)∪(3,4]B ．[－4，－3)∪(－1,4]C ．(－4,1)∪(3,4)D ．(－4，－3)∪(－1,4)3．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x | 4．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )附：若X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954 5. A ．3 413件 B ．4 772件 C ．6 826件 D ．8 186件5．已知△ABC 与△BCD 均为正三角形，且AB ＝4.若平面ABC ⊥平面BCD ，且异面直线AB 和CD 所成的角为θ，则cos θ＝( )A ．－154 B.154 C ．－14 D.146．如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →，则实数m 的值为( ) A ．1 B.13 C.911 D.5117．已知不等式ax －2by ≤2在平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}上恒成立，若a ＋b 的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－28．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值21，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.32π C．3π D．4π 9．已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92D ．6 10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过F 的直线交C 于A ，B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D .若|BE |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|BD |＝( )A ．1B ．3C ．3或9D ．1或912．若关于x 的方程(ln x －ax )ln x ＝x 2存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e －eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－1e ，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2－1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e ，0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45的展开式中，x 3的系数是________． 14．更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是依据更相减损术写出的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出的a 值为________．15．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥，已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为a ，球的半径为R ，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan(α＋β)＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为2k ，则a n ＝________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B＝b sin B ＋ccos C. (1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．18．(本大题满分12分)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：等级水平一水平二水平三水平四男生/名 4 8 12 6女生/名 6 8 4 2(1)根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？实践操作能力较弱实践操作能力较强合计男生/名女生/名合计(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习能力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考： P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . 19．(本大题满分12分)如图，在正棱锥P －ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC .(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为π4，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角．20．(本大题满分12分)已知直线l 过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (2,2)，过点(－2,4)的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1k 2为定值，并求出此定值．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln(ax )＋bx 在点(1，f (1))处的切线是y ＝0.(1)求函数f (x )的极值；(2)若mx 2e x ≥f (x )＋1－e ex (m <0)恒成立，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数)．请考生在22,23两题中任选一题作答．22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求|AB |的值；(2)若F 为曲线C 的左焦点，求FA →·FB →的值．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋2，g (x )＝|x －a |－|x －1|，a ∈R .(1)若a ＝4，求不等式f (x )＞g (x )的解集；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．。

2021新高考数学(山东专用)二轮复习仿真模拟卷4 Word版含解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试·新高考卷数学仿真模拟卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{}2，4，B ＝{}x ∈N |x －3≤0，则A ∪B ＝( )A ．{}1，2，3，4B ．{}0，1，2，3，4C ．{}2D ．{}x | x ≤4B [由集合B ＝{}x ∈N |x －3≤0，化简可得B ＝{}0，1，2，3，由A ＝{}2，4，∴A ∪B ＝{}0，1，2，3，4.故选B ．]2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对x ，y 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r ，如下表：相关系数甲乙丙丁 r －0.82 0.78 0.69 0.87 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 D [根据线性相关系数的意义可知，在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四位同学中，丁同学求得的相关系数的绝对值最大，表明丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性．故选D ．]3．在平面直角坐标系xOy 中，点P ()3，1，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．()－2，1B ．()－1，2C ．()－3，1D ．()－1，3 D [由P ()3，1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6， ∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32， ∴Q ()－1，3.故选D ．]4．“a <1”是“∀x >0，x 2＋1x ≥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [∀x >0，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．若a <1时，则∀x >0，x 2＋1x ≥2>1>a ，因此“a <1”是“∀x >0，x 2＋1x ≥a ”的充分条件；若∀x >0，x 2＋1x ≥a ，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x min ，即a ≤2，推不出“a <1”，因此“a <1”不是“∀x >0，x 2＋1x ≥a ”的必要条件．故“a <1”是“∀x >0，x 2＋1x ≥a ”的充分不必要条件．故选A ．]5．函数f (x )＝x －sin x e x ＋e －x 在[]－π，π上的图象大致为( )。

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专练(四)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·广东深圳高级中学期末]已知集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}，B ＝{－2，－1,4,8,9}，设C ＝A ∩B ，则集合C 的元素个数为( )A ．9B ．8C ．3D ．2 答案：D解析：A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{－2，－1,4,8,9}，则C ＝A ∩B ＝{－1,4}，集合C 的元素个数为2，故选D.2．[2019·福建晋江四校联考]复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋iD ．i 答案：D解析：根据题意可得z ＝a －i ，所以|z |＝a 2＋1＝1，解得a ＝0，所以复数z ＝i.故选D.3．[2019·重庆一中月考]设a ，b ，c 是平面向量，则a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：由a ·b ＝b ·c 得(a －c )·b ＝0，∴a ＝c 或b ＝0或(a －c )⊥b ，∴a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的必要不充分条件．故选B.4．[2019·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称答案：D解析：∵g (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴g (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称，故选D.5．[2019·湖北武汉武昌调研考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝( )A ．40B ．44C ．45D ．49 答案：B解析：解法一因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n－1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.解法二因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －1，n ≥2，所以{a n }从第二项起是等差数列，a 2＝3，公差d＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋4a 6＝4×(2×6－1)＝44.故选B.6．[2019·黑龙江哈尔滨四校联考]已知函数f (x )＝cos πx3，执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A ．670B ．67012C ．671D ．672 答案：C解析：执行程序框图，y ＝f (1)＝cos π3＝12，S ＝0＋12＝12，n ＝1＋1＝2；y ＝f (2)＝cos2π3＝－12，S ＝12，n ＝2＋1＝3；y ＝f (3)＝cos π＝－1，S ＝12，n ＝3＋1＝4；y ＝f (4)＝cos4π3＝－12，S ＝12，n ＝4＋1＝5；y ＝f (5)＝cos 5π3＝12，S ＝12＋12＝1，n ＝6；y ＝f (6)＝cos2π＝1，S ＝1＋1＝2，n ＝7……直到n ＝2 016时，退出循环．∵函数y ＝cosn π3是以6为周期的周期函数，2 015＝6×335＋5，f (2 016)＝cos 336π＝cos(2π×138)＝1，∴输出的S ＝336×2－1＝671.故选C.7．[2019·湖南衡阳八中模拟]如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则该截面的面积为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 6D ．4 答案：C解析：易知截面是菱形，如图，分别取棱D 1C 1，AB 的中点E ，F ，连接A 1E ，A 1F ，CF ，CE ，则菱形A 1ECF 为符合题意的截面．连接EF ，A 1C ，易知EF ＝22，A 1C ＝23，EF ⊥A 1C ，所以截面的面积S ＝12EF ·A 1C ＝2 6.故选C.8．[2019·河北张家口期中]已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．1B ．2C ．2 3D ．4 答案：D解析：通解 ∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x ＋3y＝lg 2，∴x ＋3y ＝1.又x >0，y >0，∴1x＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝12，y ＝16时等号成立，所以1x ＋13y的最小值是4.故选D. 优解 ∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x ＋3y＝lg 2，∴x ＋3y ＝1.又x >0，y >0，∴1x ＋13y＝x ＋3y 3xy ＝13xy ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22＝4，当且仅当x ＝12，y ＝16时等号成立，所以1x ＋13y的最小值是4，故选D.9．[2019·河北唐山摸底]已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的所有零点之和等于( )A ．5π B．6π C ．7π D．8π 答案：C解析：f (x )＝sin x －sin(2x ＋x )＝sin x －sin 2x cos x －cos 2x sin x ＝sin x －2sin x (1－sin 2x )－(1－2sin 2x )sin x ＝sin x －(3sin x －4sin 3x )＝2sin x (2sin 2x －1)，令f (x )＝0得sin x ＝0或sin x ＝±22. 于是，f (x )在[0,2π]上的所有零点为x ＝0，π4，3π4，π，5π4，7π4，2π.故f (x )的所有零点之和为0＋π4＋3π4＋π＋5π4＋7π4＋2π＝7π，故选C.10．[2019·江西七校联考]图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域(由四条半径与大圆半径相等的四分之一圆弧围成)内的概率是( )A.12B.13C.4π－1 D ．2－4π答案：C解析：设圆的半径为1，则该点取自阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 圆＝2×2－ππ＝4π－1，故选C.11．[2019·四川内江一模]设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－x )－f (x )＝0，且x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )>2x ，若f (a －2)－f (a )≥4－4a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞) 答案：A解析：对任意的x ∈R ，有f (－x )－f (x )＝0，所以f (x )为偶函数．设g (x )＝f (x )－x 2，所以g ′(x )＝f ′(x )－2x ，因为x ∈[0，＋∞)时f ′(x )>2x ，所以x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以g (x )在[0，＋∞)上为增函数．因为f (a －2)－f (a )≥4－4a ，所以f (a －2)－(a －2)2≥f (a )－a 2，所以g (a －2)≥g (a )，易知g (x )为偶函数，所以|a －2|≥|a |，解得a ≤1，故选A. 12．[2019·河北衡水中学五调]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点．若|AB |＝2|CD |，则直线l 的斜率为( )A ．±22 B ．±32C ．±1 D．± 2 答案：C解析：由题设可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，为抛物线C 的焦点，所以|CD |＝2p ，所以|AB |＝4p .设直线l ：x ＝ty ＋p2，代入y 2＝2px (p >0)，得y 2－2pty－p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，则|AB |＝(1＋t 2)(4p 2t 2＋4p 2)＝2p (1＋t 2)＝4p ，所以1＋t 2＝2，解得t ＝±1，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖结果揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲团队获得一等奖．” 小王说：“甲或乙团队获得一等奖．” 小李说：“丁团队获得一等奖．”小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖．”若这四位同学中只有两位的预测结果是对的，则获得一等奖的团队是________．答案：丁解析：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵的预测结果是对的，小李的预测结果是错的，与题设矛盾；②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王的预测结果是对的，小张、小李、小赵的预测结果是错的，与题设矛盾；③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人的预测结果都是错的，与题设矛盾； ④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵的预测结果是对的，小张、小王的预测结果是错的，与题设相符．故获得一等奖的团队是丁．14．[2019·江苏无锡模考]以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．答案：y 2＝12x解析：双曲线中，c ＝5＋4＝3，所以右焦点坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，所以p2＝3，p ＝6，抛物线的标准方程为y 2＝12x .15．[2019·云南第一次统一检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x <3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，若f (m )＝－6，则f (m －61)＝________.答案：－4解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x <3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，f (m )＝－6，∴当m <3时，f (m )＝3m －2－5＝－6，无解；当m ≥3时，f (m )＝－log 2(m ＋1)＝－6，解得m ＝63，∴f (m －61)＝f (2)＝32－2－5＝－4.16．[2019·安徽定远中学月考]已知等差数列{a n }满足a 3＝6，a 4＝7，b n ＝(a n －3)·3n，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.答案：(2n －1)×3n ＋1＋34解析：因为a 3＝6，a 4＝7，所以d ＝1，所以a 1＝4，a n ＝n ＋3，b n ＝(a n －3)·3n ＝n ·3n，所以T n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n①， 3T n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋32＋33＋ (3)－n ×3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ×3n ＋1，所以T n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·华大新高考联盟教学质量测评]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，b ＝4，ac cos B ＝233S .(1)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状； (2)求a ＋c 的取值范围．解析：(1)由已知得ac cos B ＝33ac sin B ，得tan B ＝3，因为0<B <π，所以B ＝π3.因为a ，b ，c 成等差数列，b ＝4，所以a ＋c ＝2b ＝8，由余弦定理，得16＝a 2＋c 2－2ac cos π3，所以16＝(a ＋c )2－3ac ，得ac ＝16，所以a ＝c ＝b ＝4，所以△ABC 是等边三角形．(2)解法一由(1)得(a ＋c )2－3ac ＝16≥(a ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22(当且仅当a ＝c 时取等号)，解得0<a ＋c ≤8.又a ＋c >b ＝4，所以4<a ＋c ≤8，所以a ＋c 的取值范围是(4,8]．解法二根据正弦定理，得asin A ＝c sin C ＝b sin B ＝432＝833，所以a ＝833sin A ，c ＝833sin C ，所以a ＋c ＝833(sin A ＋sin C )．因为A ＋B ＋C ＝π，B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以a ＋c ＝833⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝833⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋32cos A ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为0<A <2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1则a ＋c ∈(4,8]．所以a ＋c 的取值范围是(4,8]．18．(12分)[2019·江西南昌模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝23，且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，AC 与BD 交于点F .(1)求证：GF ∥平面PDC ；(2)求三棱锥G －PCD 的体积．解析：(1)连接AG 并延长，交PD 于点H ，连接CH .在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD 且AB ＝2DC ，∴AF FC ＝21.又E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，∴AG GH ＝21. 在△AHC 中，AG GH ＝AF FC ＝21，故GF ∥HC .∵HC ⊂平面PCD ，GF ⊄平面PCD ， ∴GF ∥平面PDC .(2)连接BE ，由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知PE ⊥AD ，BE ⊥AD .∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3. 由(1)知GF ∥平面PDC ，连接FP ，V 三棱锥G －PCD ＝V 三棱锥F －PCD ＝V 三棱锥P －CDF ＝13×PE ×S △CDF .∵△ABD 为正三角形，∴BD ＝AB ＝23，则DF ＝13BD ＝233.又∠CDF ＝∠ABD ＝60°，∴S △CDF ＝12×CD ×DF ×sin∠FDC ＝32，则V 三棱锥P －CDF ＝13×PE ×S △CDF ＝32，∴三棱锥G －PCD 的体积为32. 19．(12分)[2019·湖南省长沙市检测卷]某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(每个样本点的残差等于其实际值减去该模型的估计值)x y∑i＝16x i y i∑i＝16x2i 730 1 464.24364(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：①剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；②当广告投入量x＝18时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归直线y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝∑i＝1n(x i－x－)(y i－y－)∑i＝1n(x i－x－)2＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x－2，a^＝y－－b^x－.解析：(1)应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)①剔除异常数据，即月份为3的数据后，得x－＝15×(7×6－6)＝7.2；y－＝15×(30×6－31.8)＝29.64.∑i ＝15x i y i ＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44；∑i ＝15x 2i ＝364－62＝328. b ^＝∑i ＝15x i y i －5x－y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝1 273.44－5×7.2×29.64328－5×7.2×7.2＝206.468.8＝3；a ^＝y －－b ^x －＝29.64－3×7.2＝8.04，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝3x ＋8.04. ②把x ＝18代入回归方程得y ^＝3×18＋8.04＝ 62.04. 故预报值约为62.04万元．20．(12分)[2019·广东广州调研]已知动圆C 过定点F (1,0)，且与定直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点M (－2,0)的任一直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)方法一依题意知，动圆圆心C 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等．结合抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹E 是以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，易知p ＝2.所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .方法二设动圆圆心C (x ，y )，依题意得 (x －1)2＋y 2＝|x ＋1|，化简得y 2＝4x ，此即动圆圆心C 的轨迹E 的方程． (2)假设存在点N (x 0,0)满足题设条件．由∠QNM ＋∠PNM ＝π可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即k PN ＋k QN ＝0. (*)依题意易知直线PQ 的斜率必存在且不为0，设直线PQ ：x ＝my －2(m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －2，得y 2－4my ＋8＝0.由Δ＝(－4m )2－4×8>0，求得m >2或m <－ 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.由(*)得k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝0，所以y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0) ＝0，即y 1x 2＋y 2x 1－x 0 (y 1＋y 2)＝0. 消去x 1，x 2，得14y 1y 22＋14y 2y 21－x 0(y 1＋y 2)＝0，即14y 1y 2(y 1＋y 2)－x 0(y 1＋y 2)＝0. 因为y 1＋y 2≠0，所以x 0＝14y 1y 2＝2，于是存在点N (2,0)，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π.21．(12分)[2019·陕西西安中学期中]已知函数f (x )＝12x 2＋(1－x )e x，g (x )＝x －ln x－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ，a <1.(1)求函数g (x )的单调区间；(2)若对任意x 1∈[－1,0]，总存在x 2∈[e,3]，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)因为g ′(x )＝1－1x－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2＝x 2－(a ＋1)x ＋a x 2＝(x －a )(x －1)x2，a <1，又注意到函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以讨论如下．当0<a <1时，令g ′(x )>0，解得0<x <a 或x >1，令g ′(x )<0，解得a <x <1，所以函数g (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ≤0时，令g ′(x )>0，解得x >1，令g ′(x )<0，解得0<x <1，所以函数g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．综上，当0<a <1时，函数g (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)对任意x 1∈[－1,0]，总存在x 2∈[e,3]，使得f (x 1)>g (x 2)成立，等价于函数f (x )在[－1,0]上的最小值大于函数g (x )在[e,3]上的最小值．当x ∈[－1,0]时，因为f ′(x )＝x (1－e x)≤0，当且仅当x ＝0时不等式取等号，所以f (x )在[－1,0]上单调递减，所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (0)＝1.由(1)可知，函数g (x )在[e,3]上单调递增，所以g (x )在[e,3]上的最小值为g (e)＝e －(a ＋1)－ae.所以1>e －(a ＋1)－ae ，即a >e 2－2ee ＋1.又a <1，故所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·山东济南质量评估][选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ，y ＝a ＋12t(t为参数)，其中a >0，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1|PN |＝4，求a 的值．解析：(1)由已知可知ρ2cos 2θ＝ρsin θ，由{ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ，y ＝a ＋12t(t 为参数)代入y ＝x 2，得34t 2－12t －a＝0，且Δ＝14＋3a >0.设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－43a ，所以t 1、t 2异号．所以1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝49－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43a ＝4，化简得64a 2－12a －1＝0，解得a ＝14或a ＝－116(舍)．所以a 的值为14.23．(10分)[2019·河南省郑州市检测卷][选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x －2a |＋|2x －2|(a ∈R )． (1)当a ＝12时，解不等式f (x )>6；(2)若对任意x 0∈R ，不等式f (x 0)＋3x 0>4＋|2x 0－2|都成立，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，不等式f (x )>6可化为|3x －1|＋|2x －2|>6，当x <13时，不等式即为1－3x ＋2－2x >6，∴x <－35；当13≤x ≤1时，不等式即为3x －1＋2－2x >6，无解；当x >1时，不等式即为3x －1＋2x －2>6，∴x >95.综上所述，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－35或x >95. (2)不等式f (x 0)＋3x 0>4＋|2x 0－2|恒成立可化为|3x 0－2a |＋3x 0>4恒成立，令g (x )＝|3x －2a |＋3x ＝⎩⎨⎧6x －2a ，x ≥2a3，2a ，x <2a3，∴函数g (x )的最小值为2a ，根据题意可得2a >4，即a >2，所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。