2015-2016(一)(本部)复变函数与积分变换C试卷一

长沙理工大学考试试卷
试卷编号 １ 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名
课程名称（含档次） 复变函数与积分变换 (C) 课程代号 0701000135
专 业 各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷
一、选择题：（本题总分15分，每小题3分）
１．方程4Re 2=z 所表示的曲线是（ ）．
A ．双曲线
B ．圆
C ．直线
D ．椭圆
２．关于指数函数z e ，以下哪个说法是错误的（ ）
A ．以i k π2为周期（k 为整数）
B ．=')(z e z e
C ．C ∈∀z ，0>z e
D ．处处解析
３．设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，则下列等式中错误的是（ ）．
A ．x
v i x u z f ∂∂+∂∂=')( B ．y v i y u z f ∂∂+∂∂=')( C ．x v i y v z f ∂∂+∂∂=')( D ．y
u i x u z f ∂∂-∂∂=')( ４．0=z 为函数4
22sin )1()(z z e z f z -=的（ ） A.本性奇点； B. 可去奇点； C.连续点； D.一级极点．
５．下列级数中，条件收敛的是（ ）
A ．∑∞
=1n n n i B ．∑∞=+1!)43(n n n i C ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1231n n
i D ．∑∞=++-11)1(n n n i
二、 填空题（本题总分15分，每小题3分）
1．若z z f =+)1(2，则=)0(f 。

2.
=++⎰=dz z z z e z z 2)cos sin ( 。

3. 复数i 2
222+-的模为 ，辐角主值为 。

4. 22(1)1lim 2z i z iz i z i
→+---=-_______________。

5. 幂级数n n n z n n ∑
∞
=0!的收敛半径为 。

三、计算下列各式的值（本题总分20分，每小题5分）
1. 1exp[]4
i π+; 2. (1)i i +; 3. )(ie Ln ， 4. 31i -
四、解下列各题 (本题总分21分，每小题7分)
1．将函数)
2)(1()(++=z z z z f 在∞<<z 2内展开成罗朗（Laurent ）级数； 2．己知,),(22y x y x u -=求共轭调和函数),(y x v , 使iv u f +=为解析函数
3．求级数n n z n ∑∞
=1的收敛半径与和函数。

五．计算下列积分(本题总分29分)
1．dz z c
⎰+)1(，其中c 为从原点到1+i 的线段。

(7分)
2．⎰=-2
22)1(z z dz z e ．(7分) 3．dz z z z C ⎰-+3
22，C ：2||=z (7分) 4．dx x xSinx ⎰+∞+0
29 (8分) （注：本卷所有的闭路积分中积分曲线均为正向！）
长沙理工大学试卷标准答案
课程名称：复变函数与积分变换（C ） 试卷编号：1
一、选择题：（本题总分15分，每小题3分）
1.A
2.C
3.B
4.D
5.A
二．填空题（本题总分15分，每小题3分）
1. 1 ；
2. 0；
3. 1, 43π;
4. 4
3i -; 5. R=e ; 三．计算下列复数的值（本题总分20分，每小题5分） 1. 11exp()exp()444
i i ππ+=+14(cos sin )44e i ππ=
+14)22e i =+ (5分) 2．....)1,0(,)1()24(2(ln )1(±===++++k e e i k i i i iLn i ππ (5分) 3. ).2,1,0(,)2
12(221ln )(K ±±=+=++=k i k i k i ie Ln πππ (5分) 4．)2,1,0(),342342(2163=-+-=-k k iSin k Cos i πππ
π (5分)
四、解下列各题 (本题总分２１分，每小题７分) 1.z z z z z z f 211111)2)(1()(+-+=++=∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0021n n
n n z z ()n n n n z 2110--=∑∞= (7分) 2．)(2,2x g xy v x y v x u +==∂∂=∂∂,0).(),(22''=--=-=∂∂-=∂∂x g x g y y x
v y u (4分) ⇒ic z z f +=2)( （7分）
3．级数 n n z
n ∑∞=1
的收敛半径为Ｒ＝１，（２分）和函数=)(x S ∑∑∞=-∞=⋅=111n n n n nz z z n ， 由于z
z z dz nz dz nz n n n z n z n n -===∑∑⎰⎰∑∞=∞=-∞
=-11101011 （1<z ） （５分） 所以'
1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=z z z x S ＝2)1(z z - （1<z ） （７分）
五．计算下列积分(本题总分29分)
１．线段方程： )10....()1(≤≤+=t t i z (3分)
i dt i t i I 21)1()1)1((1
0+=+++=⎰ （7分） 2．函数22)
1()(-=z e z f z 在1=z 处不解析， z e 2在圆周2=z 内处处解析（4分） 由柯西积分导数公式有 i e e i dz z e z z z z
ππ2122224)'(2)
1(==-==⎰（7分） 3．在正向积分曲线C 内，函数3
22-+z z z 有一个不解析的点, 1=z ， (3分) 作两个正向圆周： 1|1:|<=-r z C ，则由复合闭路定理可得
dz z z z C ⎰-+322 1|)
3(2=+=z z z i π （5分） 2/i π= （7分）
4． dx x xe dx x xSinx I ix
⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=+=9
Im 2192122 (3分) 设9
)(2+=z ze z f iz
，)(z f 在上半平面仅有一个一级极点i 3， （5分） 321)3),((Re -=
e i z
f s （7分） 32
-=e I π （9分）。