农大08-09(2)高数A试题

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2007-2008春季高数A试题(A卷)解答

（2）证明
∑
n =1
∞
n = 1. ( n + 1)!
解：（1）设 s ( x ) =
d ⎛ ex −1 ⎞ ⎜ ⎟ ，由于 dx ⎝ x ⎠
xn ∑ − 1 ∞ x n−1 e x − 1 n=0 n ! = =∑ x x n =1 n !
∞
( − ∞ < x < +∞ )
因此，
d ⎛ e x − 1 ⎞ d ⎡ ∞ x n −1 ⎤ s ( x) = ⎜ ⎟ = ⎢∑ ⎥ dx ⎝ x ⎠ dx ⎣ n =1 n ! ⎦
=∑ n − 1 n−2 ∞ n x =∑ x n −1 n=2 n ! n =1 ( n + 1) !
∞
（2）
又
s ( x) =
d ⎛ ex −1 ⎞ x ex − ex + 1 ⎜ ⎟= dx ⎝ x ⎠ x2
所以，当 x = 1 时，
x ex − ex + 1 ∞ n =∑ x n −1 2 x n =1 ( n + 1) !
要使切平面与三个坐标面所围体积最小，只需最小，其中 x0 , y0 , z0 满足 z0 = 4 − x0 2 − y0 2 . 构造拉格朗日函数 F ( x, y, z , λ ) =
1 3 (8 − z ) + λ ( x2 + y 2 + z − 4) xy
求解方程组
1 3 ⎧ ′ ⎪ Fx = − x 2 y ( 8 − z ) + 2λ x = 0 ⎪ 1 3 ⎪ ′ F = − 8 − z ) + 2λ y = 0 y 2 ( ⎪ xy ⎨ ⎪ 3 2 ⎪ Fz′ = − ( 8 − z ) + λ = 0 xy ⎪ ⎪ 2 2 ⎩ Fλ ′ = x + y + z − 4 = 0

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(北京.理)含详解

绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试卷上。

一、本题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1(D)|x | -1≤x ≤3|(2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin 52 ,则 (A ）a >b >c(B)b >a >c(C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的(A)充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件（D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线 x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0,(A)0(B)1(C)3 (D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于（A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为（A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。

华南农业大学09年高等代数(下)(A)卷参考答案

2009—2010学年第二学期高等代数II 参考答案一、选择题1. (D)2. (D)3. (A)4. (C) 5 (C)二、填空题1. 5;2. (2,0)x y +;3. 0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 4. 2; 5. (2,2,2) 三、判断题1. √2. ×3. √4. × 5 √四、解答题1. 解：因为()()12341234100 0110 0,,,,,,11 1 01 1 1 1ααααεεεε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2分所以，()()112341234100 0110 0,,,,,,11 1 01 1 1 1εεεεαααα-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3分()1234100 0110 0,,,01 1 0 0 0 1 1αααα⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭6分故从基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵为100 0110 001 1 0 0 0 1 1A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭7分设ζ在基1234,,,αααα下的坐标为1234(,,,)x x x x ，则有()123412,,,34ζεεεε⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8分()123412,,,34A αααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭9分故12341100 0112110 021301 1 0314 0 0 1 141x x A x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 10分故ζ在基1234,,,αααα下的坐标为(1,1,1,1)。

11分2. 解：由于123123 1 2 2(,,)(,,) 2 1 22 2 1σεεεεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基123,,εεε下的矩阵为1 2 22 1 22 2 1A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1分设1(0)ασ-∈，其中112233x x x αεεε=++，则 2分1123230()(,,)x x x σασεεε⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭3分 1123231 2 2(,,) 2 1 22 2 1x xx εεε⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4分故 1231 2 202 1 202 2 10x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5分又因为 1 2 22 1 2502 2 1=≠， 6分故 11231 2 2002 1 2002 2 100x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 7分由于 123(,,)V L σσεσεσε= 8分由于||50A =≠，故dim()()3V R A σ==。

中国人民大学2008至2009高等数学上册A试题

中国人民大学2008至2009高等数学上册A试题
2009，1，12上午8:30-10:10
学院：班级：学号：姓名
题号一二三四五六七八总分得分
一、填空题（每小题3分，共15分）
1.设则为的第类间断点.
2. .
3.设向量则与的内积 .
4. .
5.设则 .
二、选择题（每小题3分，共15分）
1. 下列结论中，正确的是【】.( )。

A.有界数列必收敛；
B.单调数列必收敛；
C.收敛数列必有界；
D.收敛数列必单调
2. 当时，下列四个无穷小中，【】是比其它三个更高阶的无穷小量.
A. B. C. D.
3.函数在处有导数的充要条件是【】.
A. 在处连续
B. 在处可微
C.存在
D. 存在
4.设函数在内可导，且则在内【】.
A. 单调增加
B. 单调减少
C. 是常数
D. 依条件不能确定单调性
5.反常积分的值为【】.
A. 1
B.-1
C.
D.
三、计算下列各题（每小题5分，共25分）
1. 2. 3.
4. 5.设求.
四、（10分）求过点且通过直线的平面方程.
五、（10分）求曲线在内的一条切线，使该切线与直线和所围图
形的面积最小。

六、（10分）设在[0,1]上连续且令.
(1)求
(2)证明：在内至少存在一点，使
七、（10分）讨论曲线与的交点个数，其中，
八、（5分）设在上连续且单调增加，证明。

河南农业大学高数08-09-A

河南农业大学2008-2009学年第二学期《高等数学》（工科）期末考试试卷(A)一、判断题（每题2分，共20分，正确的打√，错误的打×）（）1、()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅．（）2、方程z =表示一个开口向上的锥面．（）3、曲面(,)z f x y =在点000(,,)x y z 处的法向量为{}0000(,),(,),1x y f x y f x y ．（）4、极限3(,)(0,0)lim x y x y x y→+不存在．（）5、若二元函数在某点可微，则函数在该点的偏导数连续．（）6、若在区域D 上(,)0f x y ≤，则(,)0Df x y d σ≤⎰⎰．（）7、设C 为x 轴上从(1,0)A 到(1,0)B -的有向直线段，则d d 0Cy x x y +=⎰．（）8、设C 为圆周221x y +=，定向为正向，记C 所围平面区域为D ，则2222222222220()()C Dxdy ydx y x y x d x y x y x y σ⎛⎫---=-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰．（）9、若正项级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 无界，则该级数发散．（）10、级数11)2n n ∞=-∑收敛．二、填空题（每空2分，共计20分）1、设{}1,1,2=a，{}4,1,b λ=-，且a b ⊥，则=λ _________.院、系班级姓名学号座号密封线2、通过z 轴和点(1,1,2)--的平面方程为_______ .3、200tan()lim x y xy y →→= _________．4、2(,)f x y x y =+在点0(1,1)P 沿向量{}2,2-方向的方向导数为___________．5、若22:4D x y +≤，则二重积分2Dx ydxdy =⎰⎰___________． 6、交换积分次序0(,)a a dy f x y dx -=⎰⎰______ ．7、设C 为圆周222x y R +=，则222()Cx y ds +=⎰________________.8、设S为上半球面z =，则曲面积分SdS =⎰⎰________________.9、级数1(1)(23)nn n x n ∞=--∑的收敛区间为． 10、设函数()f x 以2π为周期，在[,)ππ-上定义10()10x x f x x x ππ--≤<⎧=⎨+≤<⎩，则其傅里叶级数在x π=收敛于________________.三、计算题（每题10分，共计60分）1、设22w x y =+，x st =，cos y s t =，求10s t w s==∂∂，10s t w t==∂∂.2、计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y =2y x =所围成的闭区域.3、计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由2221(0)xy z z ++=≥与z =的空间区域．4、确定λ的值，使曲线积分212(4)d (62)d Cx xy x x y y y λλ-++-⎰在xoy 平面上与路径无关．当起点为(0,0)，终点为(3,1)时，求此曲线积分的值．院、系班级姓名学号座号密封线5、计算曲面积分d d d d d d SI x y z y z x z x y =--+⎰⎰，其中S 是曲面221z x y =++被平面5z =所截下的部分，取下侧.6、将函数21()43f x x x =++展开成x 的幂级数.。

中国农业大学-高等数学期末考试试卷(附参考答案)

中国农业大学2015~2016学年秋季学期高等数学B （上）课程考试试题(A 卷)一、填空题（每小题3分，满分15分，请将答案填写在每题的横线上） 1. 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭1-. 2.设()arctan f x =则(1)f '=14. 3. 若()()F x f x '=，则()d f x dx dx=⎰()f x . 4.x -=2π. 5．1lim 1n n nn →∞++=()213.二、选择题（每小题3分，满分15分，请将答案填写在每题的括号中） 1. 下列命题不正确的是【 A 】A. 若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(x f 在点0x 处必可导B. 若函数)(x f 在点0x 处不连续,则)(x f 在点0x 处必不可导C. 若函数)(x f 在点0x 处可导,则)(x f 在点0x 处必连续D. 若函数)(x f 在点0x 处可导,则)(x f 在点0x 处必可微2.设111()1x x e f x e -=+，则0x =是()f x 的【 B 】．（A ）可去间断点；（B ）跳跃间断点；（C ）第二类间断点；（D ）连续点.3. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin nx x 是比()21x e -高阶的无穷小，则正整数n 等于【 B 】．（A ） 1 ；（B ）2；（C ）3；（D ）4.4. 设322,1,()3,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的【 C 】．（A ）左、右导数都存在；（B ）左、右导数都不存在；（C ）左导数存在，但右导数不存在；（D ）左导数不存在，但右导数存在.5.广义积分1dx +∞⎰【 D 】．（A ）发散；（B ）收敛于2π；（C ）收敛于2π；（D ）收敛于π. 三、求下列极限（本题共2小题，每小题6分，满分12分）1．122lim 6x x x x -→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 解 1641246224lim lim 166x x x x x x x x x -+-⎛⎫-⋅-⋅ ⎪+⎝⎭→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭因为 644lim 1641lim 262x x x e x x x +-→∞→∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭-⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭ 所以1222lim 6x x x e x -→∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭2．()220201lim .x t x e dt x →-⎰解()()22220020011lim lim (2)x x t t x x d e dt e dt dx d x x dx →→--=⎰⎰ ()224400211lim lim 2x x x x e e xx→→--==2408lim 1x x e x →⋅= 0.= 四、计算下列导数（本题共2小题，每小题6分，满分12分） 1.设21cos x t y t⎧=+⎨=⎩, 求22dx y d . 解2,dx t dt =sin ,dy t dt=- sin ;2dy t dx t-=222321cos sin 1sin cos .2241d dy d y t t t t t t dt dx dx t dx t tdt t ⎛⎫ ⎪--⎝⎭==-⋅=+2.设1(0)x y x x =>，求dy dx . 解先在等式两边取对数，=⋅1 ln ln y x x ()'⋅=-+=-2221111ln 1ln y x x y x x x所以()-'=-121ln x y x x五、计算下列积分（本题共2小题，每小题6分，满分12分） 1. 11xdx e +⎰ 解1111111x xx x x xx x e e dx dxe e e e dx dx d e e +-=++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰1(1)1x x dx d e e =-++⎰⎰ ln(1).x x e C =-++ 2、设()220,x t t f x e dt -+=⎰求120(1)().x f x dx -⎰ 解：11123300011(1)()(1)()(1)()d 33x f x dx x f x x f x x '-=---⎰⎰213201(1)d 3x x x e x -+=--⎰ 212(1)12201(1)d(1)((1))6x x e x u x --+=---=-⎰令11001d (1)(2)666u ue e u e u u e e --==-+=-⎰ 六、（本题满分10分）证明当0x >时，有不等式1arctan .2x x π+> 证明设函数1()arctan ,0.2f x x x x π=+-> 则2211()0,1f x x x'=-<+因此()f x 在单调减少. 又lim ()0,x f x →+∞= 于是()1()arctan 00,2f x x x x π=+->>即1arctan (0).2x x x π+>>. 七、（本题满分10分）求曲线y =的一条切线l ，使得曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成图形的面积最小.解由y '=得曲线在点0(x 处的切线l 方程为：0),y x x =-即y x =所围面积为203S x dx ⎛=+-=+-⎭⎰13220012S x x --⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，532200134S x x --⎛⎫''=- ⎪⎝⎭.令0S '=，得01x =，又()1102S ''=>.故当01x =时，面积取极小值，由于驻点唯一，因此01x =是最小值点，此时切线l 的方程为11.22y x =+ 八、（本题满分8分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =，证明至少存在一点()ξ0,1∈，使得ξξξ2()().f f '=-. 证明只要证明ξξξ()2()0.f f '+=设ϕ2()().x x f x = 则ϕ()x 在[]0,1上满足罗尔定理条件，故至少存在一点()ξ0,1∈，使得ϕξξξξξ2()2()()0f f ''=+=，即ξξξ2()().f f '=- 九、（本题满分6分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()f x 的函数值都是有理数.已知(0)2f =，证明在[0,1]上()2f x ≡.证：由最值定理可知()f x 在[0,1]上有最大值M 和最小值m . 于是().M f x m ≥≥如果,M m >此时()f x 的值域为闭区间[,],m M 则存在无理数r ，满足,M r m >>，从而存在ξ[0,1]∈使得ξ()f r =. 这与函数的值都是有理数矛盾. 因此必有.M m =故在[0,1]上()2f x ≡。

2008-2009(1)高等数学试题(A卷)(90)答案

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案课程：高等数学（A 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=1,1,1)(2x x x x f ，则=-))2((f f 1 .2. 若函数 ⎩⎨⎧>≤-+=0,)arctan(0,2)(2xax x b x x x f 在0=x 处可导，则=a 2 ，=b 0 .3．曲线x x x y 1sin 22-=有水平渐近线=y __1_ 和铅直渐近线=x __2____.4．已知1)(0-='x f ，则=+--→h h x f h x f h )2()(lim 000 3 .5．设C x dt t f x++=⎰501)()(，则常数=C -1 ，=)(x f 415)(+x .二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当0→x 时, )ln(21x +是x 的( A )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价学院专业班级姓名2. 函数12+=x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( B ). (A) 252--=x y (B) 2521+-=x y (C) 252-=x y ; (D) 2521--=x y 3．2x x f =)(在闭区间],[10上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( B ). (A) 31(B) 21(C) 22 (D) 21-4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极值, 且)(0x f '存在，则必有 ( A) . (A) 0)(0='x f (B) 00>')(x f(C) 0)(0>''x f (D) )(0x f '的值不确定5. x x f ln )(=在),(+∞0内是 ( C ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数（D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．212x xy -=arctan ，求dy . 解：22212112⎪⎭⎫⎝⎛-+'⎪⎭⎫⎝⎛-='x x x x y2222212112212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----=x x x x x x )()(）（……………………………………………3分212x += ………… ………………………………………………..4分dx xdy 212+=∴……………………………………………………6分 2．=y )sin(12+x ，求n （N n ∈）阶导数)()(x y n . 解： )sin()cos(π211221221++=+='x x y ，……………….1分 )sin()sin(π2212212222++=+-=''x x y ，……………2分 )sin()cos(π2312212233++=+-='''x x y ，……………3分所以有N n n x x y n n ∈++=),sin()()(π2122……………….……………6分3．设曲线参数方程为⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ，求dx dy . 解：dtdxdt dydx dy = ……………….…………………………….........3分 tt 2312--= ………….…………………………….................6分4．求x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim . 解： =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 2lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→221lim ………….………….........2分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222221x x x x x lim ………….………….......................4分2-=e ……………….……………………………...................6分5．求⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x sin lim 110. 解： =⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x sin lim 110x x x x x sin sin lim -→0………….……..............2分 20xx x x -=→sin lim xx x 210-=→cos lim ………………….…………............................4分 020==→x x sin lim .………….………… ………………………6分四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分） 1．⎜⎠⎛++dx x x x )(132222. 解：⎜⎠⎛+-+=⎜⎠⎛++dx x x x x dx x x x )()(1331322222222 ⎜⎠⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dx x x11322………….………………………………….3分 C x x+--=arctan 3…………………… ……………………….6分 2．⎜⎠⎛+901dx xx . 解：令x t =，则tdt dx t x 22==,……..……….…….................1分 ⎜⎠⎛+=⎜⎠⎛+3090211tdt t t dx xx ……………………….…………..........2分 ⎜⎠⎛++-=301112dt tt )( ()302122)ln(t t t ++-=…………………………….………… …….5分 243ln +=………………………………………….……....................6分3．⎰∞+-02dx e x x .解：⎰⎰∞+-∞+--=0202x x de x dx e x ⎰∞+-+∞-+-=0022dx xe e x x x ……………………...……....................2分 ⎰∞+-+∞---=0022x x xde e x x d e xe e x x x x ⎰∞+-+∞-+∞-+--=000222……………...………..........4分 220=-=+∞-xe .………………………...………….……....................6分五．（本题满分7分）.)(所围平面图形的面积求椭圆012222>>=+b a by a x 解：根据对称性⎰=a ydx S 04令20π≤≤⎩⎨⎧==t t b y t a x sin cos………………...…….......................2分则 ⎰⎰==02044π)cos (sin t a td b ydx S a⎰=2024πtdt ab sin …………...……………………………….5分 ⎰-=202214πdt t ab cos .ab π= ...………………………………………………………..7分六．（本题满分7分）1．设0>>a b ，()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。

08-09-2高数a(2)试卷b

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 508-09-2高数a(2)试卷b中国计量学院 2008 ~ 2009 学年第 2 学期《高等数学（ A ）（ 2）》课程考试试卷（ B ）一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、下列级数条件收敛的是（）（A ）nnn 1)（B ）（C ）（D ）、设322( , )x y(0,0)( , )f xy0( , )x y(0,0)y，则（）（A ）不存在（B ） 0 （C ） 1 （D ） 3 3、幂级数的收敛半径为（）（A ） 3 （B ）13 （C ）3 （D ）13 4、变换二次积分的积分次序后可化为（）（A ）（B ）（C ）（D ）、微分方程的通解为：（）（A ）（B ）12y c sinx c（C ）（D ）二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、一动点 ( , , )x y z 与两定点和 (4,0,1) 等距离，则该动点的轨迹方程为2、极限、设 D 是由所围成的闭区域，记，，则1I 与2I 的大小关系是 1I2I 4、已知级数，则级数5、函数的全微分三、计算与解答题（8、 9 小题各 7 分，其它小题各 6 分，共 56 分） 1、设，求，、计算，其中 D 是由，，所围成的闭区域 3、设(,)zf xy ，且 f 具有二阶连续偏导数，求、求微分方程的通解 5、计算，其中 L 是抛物线上从点到点 (1,1)B的一段弧 6、求过点(0,2,4) 且与两平面和平行的直线方程7、计算，其中是由曲面及平面所围成的闭区域 8、求幂级数的收敛域，并求和函数 9、计算对面积的曲面积分，其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面四、应用题（8 分）要制造一个容积为常数) 的长方体带盖的容器，问怎样取长方体的长、宽、高时，容器表面积的材料最省五、证明题（6 分）设 L 是椭圆：的正方向的边界光滑闭曲线，证明：答案一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分） 1、 A 2、 C 3、 C 4、 D 5、 B 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1、（由两点距离相等或经化简可得该平面方程的答案都算正确） 2、 3 3、12II、、---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------3 / 5三、计算与解答题（8、 9 小题各 7 分，其它小题各 6 分，共 56 分） 1. 解：因，，（+3 分）（+3 分） 2．解：（+3 分） .(+3 分) 3.解：记，则（+3 分）（+3分） 4. 解：方程的特征方程为：，其特征根为，（+3 分）故方程的通解为：分) 5．解：分)分) 6．解：解：因为所求直线与两平面都平行，因而平行于他们的交线，而交线的方向向量为（+3 分）故所求直线方程为分) 7．解：因的柱坐标方程是，.(+3 分) 因此有分) 8．因，故收敛半径为。

08年全国二卷及答案详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（） A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1(1的展开式中x 的系数是（） A ．4-B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1BCD ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（）A．B．C ．(25)，D．(210．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）A ．13B ．3C ．3D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．2C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 22．（本小题满分12分）设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．AB CD EA 1B 1C 1D 12008年参考答案和评分参考一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C部分题解析：2. 设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =，解：33223()33()()a bi a a bi a bi bi +=+++ （←考查和的立方公式，或二项式定理）3223(3)(3)a a b a b b i =-+- （←考查虚数单位i 的运算性质）R ∈ （←题设条件） ∵a b ∈R ，且0b ≠∴ 2330a b b -=（←考查复数与实数的概念） ∴ 223b a =. 故选A.6. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．2029思路1：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：211220102010330()C C C C P A C += （←考查组合应用及概率计算公式） 201910910202121302928321⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ （←考查组合数公式） 10191010109102914⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.思路2：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，事件A 的对立事件为A ：“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：()1()P A P A =- （←考查对立事件概率计算公式）3320103301C C C +=- （←考查组合应用及概率计算公式）2019810983213211302928321⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯（←考查组合数公式） 2019181098302928⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.12.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．2C ．3D ．2分析：如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离3，问题解决起来就很容易了. 二、填空题13．2 14．2 5．3+16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··············································· 5分（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ················································································································ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ····························································································· 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ················································································································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ······················································································································· 5分（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 1000010000500E a E ηξ=--，······················································ 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ········································································ 12分19．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥．···························································································· 3分在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== AB CD E A 1 B 1 C 1 D 1FH G故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1AC ⊥平面BED ． ······································································································· 6分（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ······································································ 8分EF =CE CF CG EF ⨯==3EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==11AG AC CG =-=．11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ······························································· 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB == ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······················································································· 3分（Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =，故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥．又DB DE D = ，所以1AC ⊥平面DBE ． ········································································································ 6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥ n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··································································· 9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，111cos 42AC AC AC ==，n n n ．所以二面角1A DE B --的大小为arccos 42． ······························································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ·························································································· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ·············································································· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ········································································· 12分 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··············································· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+ 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ············································································································ 6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==····································································· 9分又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 12===≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······························· 12分解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······························································································································ 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为·················································· 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ····································· 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ···································· 6分（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则第11页（共11页） 22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++ 211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ······························ 9分当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+．当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭≥．因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ····················································································· 12分。

《高等数学(上)》A卷及答案

扬州大学2008级高等数学Ⅰ（1）统考试卷A 班级学号姓名得分一、选择题（每小题３分，共30分）1．设函数1(1)0()xx xf xa x⎧⎪->=⎨⎪≤⎩在点0x=处连续，则a=【】(A)1 (B)1- (C)e (D)1e-2．若当0x→时，tan x x-与nax是等价无穷小，则a=【】（A）3-（B）13-（C）3（D）133．若()2f x'=，则00()()limhf x h f x hh→+--=【】(A)0 (B)1(C)4 (D)4-4．函数43()4f x x x=-在闭区间[1,2]-上的最小值为【】（A）5（B）0（C）16-（D）27-5．设32()1f x x x x=--+，则在区间11[,]33-上【】（A）函数()f x单调减少且其图形是凹的（B）函数()f x单调减少且其图形是凸的（C）函数()f x单调增加且其图形是凹的（D）函数()f x单调增加且其图形是凸的6．若函数()f x()f x'=【】（A (B)（C（D7．设()f x 是以T 为周期的连续函数，k 为正整数，则(1)()d a k T a kTf x x +++⎰【】（A ）仅与k 及T 有关（B ）仅与k 及a 有关（C ）仅与a 及T 有关（D ）仅与T 有关8．设210()00x e x f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩, 则(0)f '=【】（A ）∞ (B)2 （C ）1 （D ）0 9．若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则常数a =【】 (A)12e (B)2e (C)1e(D)e 10．微分方程76sin y y y x '''-+=的特解y *应具有形式【】 (A)sin cos A x B x + (B)sin A x(C)cos A x (D)()sin ()cos Ax B x Cx D x +++二、填空题（每小题3分，共18分）11．设 0x y xy e e -+=，则d d x y x== ．12．131(1x x -+=⎰．13．曲线2y x =与y x = 围成的平面图形的面积为．14．曲线xx y 12+=的所有渐近线的方程为 . 15．若10[()()]d 1x f x f x e x '+=⎰，且(0)4f =，则(1)f = .16．若xy xe =是某二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解，则该微分方程为．三、计算题（每小题6分，共42分）17．求222tan d limsinxxt tx x→⎰．18．求e x ⎰.19．求1ln dx x x ⎰．20．求内接于半径为R的球的正圆锥体的最大体积．21．求由曲线y=y x=所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22．求微分方程 cos xy y x '+= 满足初始条件1x y π==的特解．23．求微分方程265x y y y e ''' +-=的通解．四、证明题（每小题5分，共10分）24．设()f x 在[0,1]上可微，对于[0,1]上的每一个,0()1x f x <<，且()1f x '<，试证在(0,1)内有且仅有一个ξ，使()f ξξ=．25．证明：42(4)(4)0d 2d x x x x ex e x --=⎰⎰．2008级高等数学试题A 参考答案一、1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.C 9.A 10.A 二、11．1 12．2π 13.13 14．0,1x y ==± 15.5e 16.20y y y '''-+=三、17．解2022tan d limsin x x t tx x→⎰204tan d limx x t t x→=⎰ ………………………………………………2分2232002tan tan lim lim 42x x x x x x x →→== ………………………………4分 2201lim 22x x x →==. ……………………………………………6分 18．解ex⎰t22d t e t t ⎰ ……………………………………………………2分222d d t t t t e te e t ==-⎰⎰ ………………………………………4分2212t t te e C =-+ ………………………………………………5分12e C =-+. ………………………………………6分19．解 1ln d x x x ⎰=1201ln d()2x x ⎰ …………………………………………………1分 1120011ln d 22x x x x ⎡⎤=-⎣⎦⎰………………………………3分 1220011lim ln 24x x x x +→⎡⎤=--⎣⎦ ……………………………5分 14=-. ……………………………………………………6分20．解设圆锥底半径为r ，高为h ，则2222()2r R h R Rh h =--=-．．．．．．．．1分于是，圆锥体积 2223111(2)(2)333V r h Rh h h Rh h πππ==-=-．．．．．．．．．．．．3分求导得，2()(43)3V h Rh h π'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分令()0V h '=，得43h R =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分故 34max 33281h R V V R π===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分21．解（1）222d ]d ()d x V x x x x x ππ=-=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分120()d x V x x x π=-⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 6π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分(2)322d 2)d 2()d y V x x x x x x ππ==-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分31222()d y V x x x π=-⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分215π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分22．解原方程可改写为 1cos x y y x x '+=．这是一阶线性方程，1()P x x =，cos ()x Q x x=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分原方程的通解为()d ()d ()d P x x P x xy e Q x e x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分11d d cos d xx xxx ee x C x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰1(sin )x C x =+. ．．．．．．．．．．．5分由1x y π==得，C π=．故所求特解为 1(sin )y x xπ==+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分23．解特征方程为 260r r +-=，解之得12r =，23r =-，．．．．．．．．．．．．．．．1分故相应的齐次方程的通解为 2312x x Y C e C e -=+．．．．．．．．．．．．．．．．2分自由项2()5x f x e =属于()xm P x e λ型（0m =，2λ=）．由于2λ=是特征方程的单根，故可设原方程的一个特解为2x y Axe *=，．．．．．．．．4分求导得：2(2)x y A Ax e *'=+，2(44)x y A Ax e *''=+．将,,y y y ***'''代入原方程得，1A =．于是，2xy xe *=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分因此，原方程的通解为 23212xx x y C eC e xe -=++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分四、24．证令()()F x f x x =-，[0,1]x ∈ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分则由(0)(1)0F F <和零点定理知()F x 在(0,1)内至少有一个零点．．．．．．．．．．．．．3分又由()0F x '<知()F x 在[0,1]上单调，()F x 在(0,1)内最多只有一个零点．综上所述，()F x 在(0,1)内有且仅有一个零点，即(0,1)内有且仅有一个ξ，使()f ξξ=．．．．．．．．．．．．．．．．5分25．证242(4)(2)(2)02d d x tx x t t ex e t =+-+--=⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分2(2)(2)02d t t e t +-=⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 20(4)22(1)d t uu u e u =--=-⎰2(4)02du u u e -=⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 2(4)02d x x e x -=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分。

08高数A(2)A卷答案-5页文档资料

s(x) = ( x ) 1 x
=
1 (1 x)2
， (1
x
1) ．
……10 分
第2页
线
4八．、设（10f
分(x)）是设区可域导D函数{(，x, y且) | 满x2 足 y条2 件1}：，计lim算 x0
f((1x)2
D

fy
(21)dxdxy)
2x4
。
1
，则曲线

f11

xf12

f2
yf 21

xyf 22
f11 x y f12 xyf22 f2
……4 ……6 ……8
专业：
订
学院：
装
第1页
五、（8 分）求曲面 x2 yz 3y2 2xz2 8z 上点 (1, 2, 1) 处的切平面和法线方程．
cos 2
d

1D.2
1f
(c3osesc2x)3dsec
x
)
ln1
3dx
0
2
40
2
4
……6 分 ……8 分
三、计算题（(1共 1)491分 5） .
4 4 16
……10 分
1九．、（解求8：分由lxi）m1z求函23x数xzx02，x211z
y2x在区。域 x2

设 s(x) nxn1 ， x (1,1) ．上式两边从 0 到 x 积分，得 n1
x s(x)dx
x
(
nxn1)dx

x nxn1dx xn
x
， (1 x 1) ，……7 分
0
0
n1

中传08-09高数期末试题

中国传媒大学2008-2009 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）考试科目：高等数学A （上）考试班级： 2008级工科各班考试方式：闭卷命题教师：大题一二三四五六七总分得分得分评卷人一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分）ce e D c e C c e B c e e A I e e dxI x x x x x x x x +++++−=+=−−−−∫ 则、设)( arctan )(arctan )( )(,1答( )) (112110ln )(tan sec 2110ln )(sec 2110ln )(sec 2110ln )(tan log 22222222102 答，则、设　x x x e D xx xx e C xx x e B xx x e A y x x x e y +−+⋅⋅−+−+−+=′−+=)( 21 )(12 )(12 )(21 )(,1)( 1 ,1 )(32　答，，，，则系数处可导在为使，　，　，、设　=−=−===−=−===⎩⎨⎧>+≤=b a D b a C b a B b a A x x f x b ax x x x f )( )( )( )()( )()( )(,)(4　答很小的量是指处的微分则它在点处可导在点、设函数x x f D C x f B x f A dy x x x f y Δ′Δ′=答（　）的原函数的一般表达式　的一个原函数的原函数一般表达式　的一个原函数是连续，则、设 )()()()()()()()(d )()(5 x f D x f C x f B x f A t t f x f xa′′∫得分评卷人二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题 6 分）1、，,)(的某个原函数为常数若x f =)( x f 则_____________________________________11arcsin 2212122=−+∫－、dx xx x得分评卷人三. 解答下列各题（本大题共 10 小题，总计 52 分）1、本小题4分．求极限xx x 1)31(lim 40−+→2、本小题6分的极值求　x x y arctan 2−=.d 124x xx ∫+求4、本小题5分∫+.d 2sin 2cos 2cos 2x x求5、本小题8分∫−−21)1(d xx x 求∫.d ln 3x xx求7、本小题4分．计算积分∫−−5 322x x dx8、本小题6分．，求，，若已知∫′′=′==10)2(5)2(3)2(1)0(dx x f x f f f．计算∫++3 121arctan dx x xx10、本小题4分．求1)(arctan lim22+∫+∞→x dt t xx四. 解答下列各题（本大题 9 分）均为非零常数。

河南农大农科高数题库 (2)

4.若ln mx t y t =⎧⎨=⎩，则1n n t d ydx ==_________． 5. 若(0)(0)f g >，且当0x >时，()()f x g x ''>，则当0x >时，()f x ____()g x （大小关系）． 6.4sin x xdx ππ-=⎰_________．7. 1xxe dx e+⎰= ． 8. 已知()xf x e =，则(ln )f x dx x'=⎰_____ __． 9. 当k _____ 时，广义积分21(ln )kdx x x +∞⎰收敛．10. 交换累次积分的次序12201(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰______________．三、计算题（每题7分，共42分）１. 求极限sin x x tdt→. 2. 求定积分1|ln |e e x dx-⎰.3. 求由方程arctan yx=所确定的隐函数y 的二阶导数y ''.4. 求函数233()2f x x x =-的极值及单调区间．5. 已知方程0xe xyz -=确定函数(,)z z x y =，求2zx y∂∂∂．6. 计算二重积分2y De dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的区域.1. 求由22,2y x x ==与x 轴围成的平面的面积，及该图绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.2. 设函数()f x 在[0,]a 上有二阶导数且(0)0f =及()0f x ''<，证明()()f x F x x=在0,a ()内单调递减．四、综合题（每题9分，共18分）。

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（满分 6 分）设 f (t ) 在 [1 , + ∞ ) 内有连续二阶导数， f (1) = 0, f ′(1) = 1 ，且二元函数九、
z = ( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 ) 满足
∂2 z ∂2 z + = 0 ，求 f (t ) ． ∂x 2 ∂y 2
4
(B)
3x 2 dx + e y dy ；
3x 2 dx − e y dy ；
】．
(D)
e y dx − 3x 2 dy ．
2．球面 x + y + z = 1 在点 P (
2 2 , , 0) 处的切平面方程是【 2 2
(C)
(A)
x− y− 2 =0；
(B) x + y + 2 = 0 ；
2
3 3
．
．．
1
（满分 10 分）设 z = f xy , x y + ln 2 ，求三、
2 2
(
)
∂2 z ∂z 和（其中 f 具有二阶连续偏导数）． ∂x ∂x∂y
四、（满分 10 分）计算曲线积分
v ∫
L
xy 2 dy − x 2 ydx ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 的正向．
2．设 L 是圆周 x + y = R ，曲线积分
2 2 2
∫ (x v
L
2
+ y 2 ) ds =
．
π ⎧ ⎪1 0 ≤ x ≤ 2 π 3．设 f ( x ) = ⎨ 可以展开为正弦级数，此正弦级数在 x = 处收敛于 π 4 ⎪0 < x ≤π 2 ⎩
4．微分方程 y′′ − 2 y′ + y = 0 的通解为 5．函数 f ( x, y, z ) = z − 3xyz + y 在点 (1, 2,3) 处的梯度为
2008~2009 学年春季学期（2009.6）高等数学A(下) 课程考试试题
一、单项选择题(满分 15 分，每小题 3 分，共 5 道小题), 请将合适选项填在括号内．
1．函数 z = x − e 的全微分 dz = 【
3 y
】． (C)
(A)
2 x 2 dx − e y dy ；
2 2 2
(A) 条件收敛； (B)
1 ． 2
绝对收敛；
(C)
发散；
(D)
其它选项都不对．
1 2 ⎧ 2 ⎪ z = (x + y ) 5．曲线 ⎨ 在点 (2,4,5) 处的切线对于 x 轴的倾角为【 4 ⎪ ⎩y = 4
(A)
】．
π
3
；
(B)
−
π
3
；
(C)
π
4
；
(D) −
π
4
．
二、填空题 ( 满分 15 分，每小题 3 分，共 5 道小题 )，请将答案填在横线上． 5 5 1 dx = 1． I = ∫ dy ∫ ． 1 y y ln x
其中 Σ 是上半球面 z = 1 − x 2 − y 2 的上侧．
七、（满分 12 分）设 y ( x) 是一个连续函数，且满足 y ( x ) = cos 2 x +
∫
x 0
y (t ) sin tdt ，求 y ( x) ．
3
八、（满分 10 分）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入
x− y+ 2 = 0；
(D) x + y − 2 = 0 ．】．
3．设区域 D = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1. ，二重积分 (A)
{
}
∫∫ x ( x
D
2
+ cos xy )dxdy = 【
−1 ；
∞
(B)
0；
】．
(C)
1；
(D)
(−1)n 的敛散性为【 4．级数 ∑ n n =1
R (万元)与电台广告费用 x (万元) 及报纸广告费用 y (万元) 有如下关系：
R ( x, y ) = 15 + 14 x +在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；（2）如果提供的广告费用为 1. 5 万元，求相应的广告策略．
（满分 10 分）试将函数 f ( x ) = 五、
∫
x 0
（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）． et dt 展成 x 的幂级数，
2
2
六、（满分 12 分）计算曲面积分 I =
∫∫
Σ
( x 3 + z 2 )dydz + ( y 3 + x 2 )dzdx + ( z 3 + y 2 )dxdy ， x2 + y 2 + z 2