(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测题(含答案解析)(3)

一、选择题
1．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为
（ ）．
A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3 2．关于x 的一元二次方程()2541
0a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠
B ．1a ≥且5a ≠
C ．1a ≥
D ．1a <且5a ≠ 3．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4
B ．－1或－4
C ．－1或4
D ．1或－4 4．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
（ ）
A ．1k >-
B ．1k ≥-
C ．0k ≠
D ．1k >-且0k ≠ 5．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16 6．方程22x x =的解是（ ） A ．0x =
B ．2x =
C ．10x =，22x =
D ．10x =，22x =7．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．210x x +=
B ．ax 2+bx +c ＝0
C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0
D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2 8．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ）
A ．6人
B ．7人
C ．8人
D ．9人 9．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x =
B ．11x =，21x =-
C ．10x =，21x =-
D ．121x x == 10．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．0 11．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A ．290x +=
B ．24410x x -+=
C ．210x x ++=
D ．210x x +-= 12．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ）
A ．2，8
B ．3，4
C ．4，3
D ．4，8 二、填空题
13．对于任意实数a ，b ，定义：22a b a ab b =++◆．若方程()250x -=◆的两根记为m 、n ，则22m n +=______．
14．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n
+的值为_________． 15．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k =______． 16．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____．
17．方程2350x x -=的一次项系数是______．
18．已知关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______．
19．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．
20．已知a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b ，则11a b
+＝_____． 三、解答题
21．解方程：2420x x ++=．
22．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程()222110x
m x m --+-=两个实数根． （1）求m 取值范围；
（2）若()12210x x x -+=，求实数m 的值．
23．解方程：(2)4x x x +=-
24．（12． （2）解一元二次方程：x 2﹣4x ﹣5＝0．
25．解下列方程：
（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．
参考答案
26．阅读下列材料：
对于任意的正实数a ，b ，总有a b +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．
例如：若0x >，求式子1x x
+的最小值．
解：∵0x >，∴112212x x x x
+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．
（1）若0x >，求9x x
+的最小值； （2）已知1x >，求2251
x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到
21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．
【详解】
解：由题意得21112210,
2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一
次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知得：
()
()()250
44510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．
【详解】
解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，
得：()()2
22-23-2-20a a ⨯+⋅=，
化简得：2+340a a -=，
解得：a=1或a=-4．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式． 4．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解不等式即可.
【详解】
是一元二次方程，
0k ∴≠．
有两个不相等的实数根，则Δ0>，
2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>，
解得1k >-．
1k ∴>-且0k ≠．
故选D
本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式：
（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b 2﹣4ac =0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.
5．B
解析：B
【分析】
设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图1得到一个 a 与 b 关系式，再利用图2得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图3阴影面积即可.
【详解】
图1中重叠部分的为正方形且其面积为4，∴重叠部分的边长为2，
设大正方形边长为a ，小正方形的边长为b ，∴a -b +2=b ，
如图2，阴影部分面积=a 2-2b 2+(b -2
a b -)2=44，解得：b =6，∴a =10， 如图3，两个小正方形重叠部分的面积=()2b b a ⨯-=12．
故答案为：B ．
【点睛】
此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：移项，得220x x -=，
因式分解，得()20x x -=，
∴0x =或20x -=，
解得10x =，2
2x =，
故选：C ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 7．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
A 、是分式方程．错误；
B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；
C 、是，一元二次方程，正确；
D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；
故选：C ．
【点睛】
考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8．B
解析：B
【分析】
设参加活动的同学有x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(1)x -张，再根据“共送贺卡42张”建立方程，然后解方程即可得．
【详解】
设参加活动的同学有x 人，
由题意得：(1)42x x -=，
解得7x =或6x =-（不符题意，舍去），
即参加活动的同学有7人，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：∵x 2-x=0，
∴x （x-1）=0，
则x=0或x-1=0，
解得：x 1=0，x 2=1，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．B
解析：B
【分析】
把0x =代入，求出a 的值即可．
【详解】
解：把0x =代入可得210a -=，
解得1a =±，
∵一元二次方程二次项系数不为0，
∴1a ≠，
∴1a =-，
故选：B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．
11．D
解析：D
【分析】
分别求出每个方程的根的判别式即可得到方程的根的情况.
【详解】
A 选项：2049360∆=-⨯=-<，∴该方程没有实数根，故A 错误；
B 选项：()2
44410∆=--⨯⨯=，∴该方程有两个相等的实数根，故B 错误； C 选项：2141130∆=-⨯⨯=-<，∴该方程没有实数根，故C 错误；
D 选项：()2141150∆=-⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故D 正确； 故选：D.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根的情况，正确求根的判别式的值，掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键.
12．D
解析：D
【分析】
设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得到t +2＝6，2t ＝c ，然后先求出t ，再计算c 的值．
【详解】
解：设方程的另一个根为t ，
根据题意得t +2＝6，2t ＝c ，
解得t ＝4，c ＝8．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a
．
二、填空题
13．6【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2+2x ﹣1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2mn=﹣1将其代入m2+n2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论【详解】解：∵（x ◆2）﹣5=x2+
解析：6
【分析】
根据新定义可得出m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，将其代入m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论．
【详解】
解：∵（x ◆2）﹣5=x 2+2x+4﹣5，
∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn=6．
故答案为6．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a
是解题的关键． 14．；【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1mn=-2将其代入中即可求出结论【详解】解：∵方程x2+x ﹣2＝0的两个根分别为mn ∴m+n ＝﹣1mn ＝﹣2故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系牢 解析：12
； 【分析】
根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入
11n m m n mn
++=中即可求出结论． 【详解】
解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ，
∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2， 111122
n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：
12 ． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a
是解题的关键． 15．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为4【点睛】本题主
要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题 解析：4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，
∴()2
24440b ac k ∆=-=--=， 解得：4k =；
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
16．﹣【分析】由根与系数的关系即可求出答案【详解】解：∵一元二次方程2x2+3x ﹣1＝0的两个根是x1x2∴x1x2＝﹣故答案为：﹣【点睛】本题考查了根与系数的关系解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题
解析：﹣
12 【分析】
由根与系数的关系，即可求出答案．
【详解】
解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，
∴x 1x 2＝﹣12
， 故答案为：﹣
12． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．
17．-5【分析】根据一元二次方程的一般形式解答【详解】解：方程的一次项是其系数是故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程的一般式解题的关键是掌握一次项系数的定义
解析：-5
【分析】
根据一元二次方程的一般形式解答．
【详解】
解：方程2350x x -=的一次项是5x -，其系数是5-．
故答案是：5-．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．
18．且【分析】根据题意一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式据此解一元一次不等式即可解题注意二次项系数不为零【详解】关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根即且故答案为：且【点睛】本题考查一元二 解析：13a >-且0a ≠．
【分析】
根据题意，一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，可知根的判别式2=40b ac ∆->，据此解一元一次不等式即可解题，注意二次项系数不为零．
【详解】
关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，
2=40b ac ∴∆->
即2
24(3)0a -⨯-> 4120a +>
13
a ∴>-且0a ≠ 故答案为：13
a >-且0a ≠． 【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、一元一次不等式、一元二次方程的定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．10【分析】设这个百分率为x 然后根据题意列出一元二次方程最后求解即可【详解】解：设这个百分率为x 由题意得：300（1-x ）2=243解得x=10或x=190（舍）故答案为10【点睛】本题主要考查了一
解析：10%
【分析】
设这个百分率为x%，然后根据题意列出一元二次方程，最后求解即可．
【详解】
解：设这个百分率为x%，
由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．
故答案为10%．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题，弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键．
20．【分析】根据一元二次方程根的定义得到ab 是一元二次方程的两根得到a 和b 的和与积再把两根和与两根积求出代入所求的式子中即可求出结果【详解】解：∵a2+1＝3ab2+1＝3b 且a≠b ∴ab 是一元二次方程
解析：3
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a 、b 是一元二次方程的两根，得到a 和b 的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．
【详解】
解：∵a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b
∴a ，b 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a +b ＝3，ab ＝1， ∴
113a b a b ab
++==． 故答案为：3．
【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．
三、解答题
21．12x =-22x =-
【分析】
方程利用配方法求出解即可．
【详解】
∵2420x x ++=，
∴242x x +=-，
∴24424x x ++=-+，
∴()2
22x +=， ∴
2x =-±
∴12x =-22x =-
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 22．（1）54
m ≤
；（2）0m = 【分析】
（1）利用根的判别式，因为方程有两个实数根，所以0∆≥，列式求出m 取值范围；
（2）利用韦达定理公式得1221x x m +=-，2121x x m ⋅=-，代入原式得到与m 有关的一元二次方程，解出m 的值．
【详解】
（1）∵()222110x m x m --+-=有两个实数根，
∴24b ac ∆=-
()()2
22141m m =----⎡⎤⎣⎦ 2244144m m m =-+-+
45m =-+，
∴450m -+≥
45m -≥-
54
m ≤； （2）∵()222110x m m --+-=， ∴1221b x x m a +=-
=-，2121x x m ⋅=-， ()12210x x x -+=
11220x x x x -⋅+=
()12120x x x x +-⋅=，
()22110m m ---=
22110m m --+=
220m m -+=
()20m m --=，
∴0m =或2m =，
∵由①知，54
m ≤
， ∴0m =．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式和根于系数的关系式，解题的关键是熟练运用这两个知识点去解决问题． 23．1241x x =-=，
【分析】
方程整理后，利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：(2)4x x x +=-，
方程整理得：2340x x +-=，
因式分解得：()()410x x +-=，
则40x +=或10x -=，
∴1241x x =-=，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的
方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
24．（1）2；（2）125, 1.x x ==-
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据因式分解的方法解方程即可．
【详解】
解：（1|2|3+23＝2 （2）x 2﹣4x ﹣5＝0，
（x ﹣5）（x +1）＝0，
∴x ﹣5＝0或x +1＝0，
∴x 1＝5，x 2＝﹣1．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的方法，属于基础题 。

25．（1）14x =24x =2）16x =，24x =．
【分析】
（1）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可；
（2）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可．
【详解】
解：（1）2810x x --= 281x x -=
281617x x -+=
()2417x -=
4x -=
14x =，24x =
（2）2(2)6(2)80x x ---+=
[]2(2)31x --=
51x =±，
16x =，24x =．
【点睛】
本题考查了运用配方法解一元二次方程，正确的对原方程配方成为解答本题的关键． 26．（1）6；（2）4；（3）25．
【分析】
（1）将原式变形为9x x +≥
（2）结合阅读材料将原式变形为()411
x x -+
-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =
△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】
解：（1）∵0x >，
∴9x x +≥又
∵6=， ∴96x x
+
≥ ∴9x x
+的最小值为6； （2）∵1x >
∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-
≥
∵
∴22541
x x x -+≥- ∴2251
x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△， 则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x
=△， ∴四边形ABCD
面积364913x x =+++
≥，
∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的
应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。