人教A版高中数学选修2-3作业：第2章 随机变量及其分布2.3.2

第二章 2.3 2.3.2
(建议用时：40分钟)
1．已知随机变量X 的分布列为
则X 的方差为( ) A ．3.56 B ． 3.56 C ．3.2
D ． 3.2 A 解析 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋x ＝1，所以x ＝0.5，所以
E (X )＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D (X )＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.故选A 项．
2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量X ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
1，A 发生，0，A 不发生，则
X 的方差D (X )＝( )
A ．m
B ．2m (1－m )
C ．m (m －1)
D ．m (1－m )
D 解析 显然X 服从两点分布，D (X )＝m (1－m )．故选D 项．
3．设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是( )
A ．E (ξ)＝0.001
B ．D (ξ)＝0.099
C ．P (ξ＝k )＝0.01k ·0.9910－
k D ．P (ξ＝k )＝C k 10·
0.99k ·0.0110－
k B 解析 由于ξ～B (10,0.01)，则P (ξ＝k )＝C k 10×0.01k ×0.99
10－
k ，E (ξ)＝10×0.01＝0.1，D (ξ)＝10×0.01×0.99＝0.099，所以A ，C ，D 项均错误．故选B 项．
4. 由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况如表所示.
A ．甲
B ．乙
C ．甲、乙均可
D ．无法确定
A 解析 E (X 1)＝E (X 2)＝1.1, D (X 1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (X 2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
所以D (X 1)<D (X 2)，即甲比乙得分稳定，派甲运动员参加较好．
5．若随机变量X 1～B ⎝⎛⎭⎫n ，15，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝3
2，则D (X 3)的值是( )
A ．1
2
B ．
62
C ．
102
D ．72
C 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝0.2n ，6p (1－p )＝3
2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＝10，p ＝12. 所以X 3～B ⎝⎛⎭⎫10，12，所以D (X 3)＝10×1
2×⎝⎛⎭⎫1－12＝52. 所以D (X 3)＝
52＝10
2
. 6．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)甲和乙，系统甲和系统乙在
任意时刻发生故障的概率分别为15和p ，若在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为49
50.
设系统乙在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，方差D (ξ)＝( )
A ．27
100
B ．2710
C ．275
D ．110
A 解析 记“系统甲发生故障”“系统乙发生故障”分别为事件A ，
B ，“任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件
C ，则P (C )＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－15p ＝49
50，所以
p ＝110.依题意得ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，910，则D (ξ)＝3×910×110＝27
100
. 二、填空题
7．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1
5，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.
解析 设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝45，
x ＋2y ＝1，解得⎩⎨⎧
x ＝3
5，y ＝15，
所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.
答案 2
5
8．设X ～B (10,0.8)，则D (2X ＋1)＝________. 解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×10×0.8×0.2＝6.4. 答案 6.4
9．若随机事件A 在一次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1
E (ξ)
的最大值为________.
解析 随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，
D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2， 所以2D (ξ)－1
E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－⎝⎛⎭⎫2p ＋1
p ≤2－22， 当且仅当2p ＝1p ，即p ＝2
2时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.
答案 2－2 2 三、解答题
10．甲从装有编号为1,2,3,4,5的卡片的箱子中任意取一张，乙从装有编号为2,4的卡片的箱子中任意取一张，用ξ1，ξ2分别表示甲、乙取得的卡片上的数字．
(1)求概率P (ξ1>ξ2)；
(2)记η＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ξ1，ξ1≥ξ2，
ξ2，ξ1<ξ2，求η的数学期望与方差．
解析 (1)记“ξ1>ξ2”为事件A ，(ξ1，ξ2)的取值共有10种情况，满足ξ1>ξ2的(ξ1，ξ2)的取值有4种情况，分别为(3,2)，(4,2)，(5,2)，(5,4)，所以P (A )＝2
5
.
(2)随机变量η的取值为2,3,4,5，则η的分布列是
所以E (η)＝2×15＋3×110＋4×12＋5×15＝37
10
，
D (η)＝15×⎝
⎛⎭⎫2－37102＋110×⎝⎛⎭⎫3－37102＋12×⎝⎛⎭⎫4－37102＋1
5×⎝⎛⎭⎫5－37102＝1.010. 11．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如表所示.
0.3,0.7,0.9，求工期延误天数Y 的方差．
解析 由已知条件和概率的加法公式知P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y 的分布列为
故E (Y )＝0×0.3＋2×D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的方差为9.8.
12．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)．
解析(1)设事件A1表示“日销售量不低于100个”，事件A2表示“日销售量低于50个”，事件B表示“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．
因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率分别为P(X＝0)＝C03×(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C13×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C33×0.63＝0.216.
X的分布列为
X 012 3
P 0.0640.2880.4320.216
因为X～B(3,0.6)×0.6×(1－0.6)＝0.72.
四、选做题
13．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X15%10%
P 0.80.2
X22%8%12%
P 0.20.50.3
(1)在A，B12A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．
解析 (1)Y 1，Y 2的分布列分别为
所以E (Y 1)＝5×0.8＋10×1－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)由题意及方差的性质可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎫100－x 1002·D (Y 2)＝161002(x 2－150x ＋7 500)＝
16
1002
(x －75)2＋3，所以当x ＝75时，f (x )取得最小值3.
由Ruize收集整理。

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