第二章 随机变量及其分布(B)

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第二章 随机变量及其分布(B)
一、选择题
1、假设每一架飞机的引擎在飞机中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是相互独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )
A ．(23，1)
B ．(13
，1) C ．(0，23) D ．(0，13
)
2、盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( )
A ．310
B ．35
C ．12
D ．25
3、若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( )
A ．(1－a )(1－b )
B ．1－a (1－b )
C ．1－(a ＋b )
D ．1－b (1－a )
4、函数φμ，σ(x)＝
1
2πσ
e－
(x－u)2
2σ
2
，x∈R，其中μ<0时，其图象大致是图中的( )
A B
C D
5、若随机变量X只可取1,2,3，且已知P(X＝1)＝0.3，P(X＝2)＝0.4，那么P(X＝3)的值为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
6、在一段时间内，甲去某地的概率是
1
4
，乙去此地的概率是
1
5
，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )
A．
3
20
B．
1
5
C．
2
5
D．
9
20
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7、袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是( )
A．甲多B．乙多
C．一样多D．不确定
8、在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是2
3
，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜
的概率是( )
A．40
243B．
80
243
C．
110
243
D．
20
243
9、某校14岁女生的平均身高为154.4 cm，标准差是5.1 cm，如果身高服从正态分布，那么在该校200个14岁的女生中，身高在164.6 cm以上的约有( )
A．5人B．6人C．7人D．8人
10、从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有( )
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A ．17个
B ．18个
C ．19个
D ．20个
11、节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束
1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：
若进这种鲜花500
A ．706元
B ．690元
C ．754元
D ．720元
12、任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为( )
A ．2412 401
B ．1 1052 401
C ．12
D ．4
7
二、填空题
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13、事件A ，B ，C 相互独立，若P (A ·B )＝16，P (B ·C )＝18，P (A ·B ·C )＝18
，则P (B )＝________.
14、某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
15、某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果．
16、设X ～N (－2，14
)，则X 落在(－∞，－3.5]∪[－0.5，＋∞)内的概率是________．
三、解答题
17、有10张卡片，其号码分别为1,2,3，…，10.从中任意抽取3张，记号码为3的倍数的卡片
张数为X，求X的数学期望、方差及标准差．
18、甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%.
问：(1)乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？
(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？
19、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过
的通道，直至走
．．．
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出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望．
20、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14
，求 (1)恰有1人译出密码的概率；
(2)若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人．
21、张华同学上学途中必须经过A ，B ，C ，D 4个交通岗，其中在A ，B 岗遇到红灯的概率均为12，在C ，D 岗遇到红灯的概率均为13
.假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．
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(1)若X ≥3，就会迟到，求张华不迟到的概率；
(2)求E (X )．
22、在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
以下是答案
一、选择题
1、B [4引擎飞机成功飞行的概率为C 34
p 3(1－p )＋p 4，2引擎飞机成功飞行的概率为p 2.若要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，则必有13<p <1.]
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2、D [令第二次取得一等品为事件A ，第一次取得二等品为事件B .则P (AB )＝C 12·C 14C 16·C 15＝415
， P (A )＝C 14·C 13＋C 12·C 14C 16·C 15
＝23， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝415×32＝25.]
3、C [P (m ≤ξ≤n )＝1－P (ξ>n )－P (ξ<m )＝1－[1－(1－a )]－[1－(1－b )]＝1－(a ＋b )．]
4、A
5、B [1－0.3－0.4＝0.3.]
6、C [先求无人去此地的概率为34×45＝35，所以至少有1人去此地的概率是1－35＝25
.]
7、C
8、B [所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243.]
9、A [设某校14岁女生的身高为X (cm)，则X ～N (154.4,5.12)．由于P (154.4－2×5.1<X ≤154.4
＋2×5.1)＝0.954 4，所以P (X >164.6)＝12
×(1－0.954 4)＝0.022 8.因为200×0.022 8＝4.56，所以
实用文档 身高在164.6 cm 以上的约有5人．]
10、A [X 的可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．]
11、A
12、A [记“取到的日期为星期天”为事件A ，
则P (A )＝17
，A i 表示取到的四个日期中有i (i ＝0,1,2,3,4)个星期天， 则P (A 0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫170⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－174＝1 2962 401， P (A 1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫171⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－173＝8642 401， 故至少有两个星期天的概率为
1－[P (A 0)＋P (A 1)]＝2412 401.]
二、填空题
13、12
14、0.128
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解析 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1
＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；
(2)第1、2个错误，第3、4个正确，
此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.
由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.
15、4 760
16、0.002 6
解析 ∵μ＝－2，σ2＝
1
4，σ＝12
∴X 在(－3.5，－0.5)内的概率为99.74%，故X 落在(－∞，－3.5]∪[－0.5，＋∞)内的概率为0.002
6.
三、解答题
17、解 X 的可能值为0,1,2,3，所以
P (X ＝0)＝C 03C 37
C 310＝724
；
P (X ＝1)＝C 13C 27
C 310＝2140
；
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P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740；P (X ＝3)＝C 33C 07
C 310＝1120
，
故X 的数学期望为
E (X )＝0×7
24＋1×2140＋2×740＋3×1120＝9
10
，
D (X )＝(0－
9
10
)2×
724＋(1－
9
10
)2×
2140
＋(2－
9
10
)2×
740＋(3－9
10
)2×
1120＝49
100
；
DX ＝
49100
＝
7
10
.
18、解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则根据题意有：P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，
P (AB )＝0.12.
(1)P (A |B )＝
P (AB )P (B )
＝0.120.18
≈0.67，
∴乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率约为0.67.
(2)P (B |A )＝
P (AB )P (A )
＝0.120.20
＝0.60， ∴甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.60.
19、解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.
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P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝3)＝16，P (ξ＝4)＝16，P (ξ＝6)＝1
3
，ξ的分布列为
(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×3＝2
(小时)．
20、解 设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ，
则P (A )＝13，P (B )＝1
4
，
(1)P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝13×34＋23×14＝5
12
.
(2)n 个乙这样的人都译不出密码的概率为(1－1
4
)n .
∴1－(1－14)n ≥99100
.解得n ≥17. ∴达到译出密码的概率为99
100
，至少需要17人．
21、解 (1)P (X ＝3)＝C 12×(
12
)2×(
1
3
)2＋C 12×
13×23×(12)2＝1
6
；
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P (X ＝4)＝(12)2×(13)2＝136
. 故张华不迟到的概率为P (X ≤2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝29
36
.
(2)X 的分布列为
∴E (X )＝0×19＋1×13＋2×36＋3×6＋4×36＝3
.
22、解 分别记这段时间内开关S A ，S B ，S C 能够闭合为事件A ，B ，C .
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公
式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是：
P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)
＝0.027，所以这段时间内线路正常工作的概率是：
1－P (A ·B ·C )＝1－0.027＝0.973.。