2022秋沪科八年级数学上册 点拨 第15章 习题课件

感悟新知
解：(1)∵点A，B关于x轴对称，
∴
2a b 5 a a
2b -1， 解得 b 0，
a 3， b 5.
(2)∵点A，B关于y轴对称，
∴
2a b 2b 1 5 a a b，
0， 解得
a
7 4
，
b
3， 2
∴(4a+4b)2 023=(－7+6)2 023=(－1)2 023=－1.
证明：∵直线AE 是线段BC 的垂直平分线，
知3－练
∴ BE=CE，AE ⊥ BC. ∴∠ AEB= ∠ AEC=90° .
在Rt △ ABE 和Rt △ ACE 中， AE=AE，
∠ AEB= ∠ AEC，
BE=CE，
∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ ACE.(SAS)
∴∠ ABE= ∠ ACE. 同理可证∠ DBE= ∠ DCE，
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
第1课时 轴对称
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
轴对称图形 轴对称 线段的垂直平分线 轴对称的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业提 升
感悟新知
知识点 1 轴对称图形
知1－讲
1. 定义 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的
部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直
一是对应图形的全等性，根据全等的性质可得到对 应的边、角相等；
二是对称轴的垂直平分性. 揭示对称轴与对应点所连 线段之间的位置关系.
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解：∵点A 与点E 关于直线CD 对称， ∴ AD=DE，AC=CE ＝ 9. ∵ AB=7，AC=9，BC=12， ∴△ DBE 的周长=BD+DE+BE
=BD+AD+BC－AC =AB+BC－AC
意义不同
两个图形的特殊位置关 系
对称点位置 对称点分别在两个图形
区 不同
上
别
对称轴位置 不同
两个图形成轴对称，其 对称轴可能在两个图形 的外部，也可能经过两 个图形的内部或它们的 公共边(点)
知2－讲
轴对称图形 一个图形
一个具有特殊形状 的图形 轴对称图形的对称 轴一定经过这个图 形的内部
轴对称图形的对称 轴一定经过这个图 形的内部
中是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
解题秘方：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断．
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解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； 知1－练 B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 答案：D 方法点拨：识别轴对称图形的关键是寻找到对称轴，若
∴∠ ABE － ∠ DBE= ∠ ACE－ ∠ DCE，即∠ ABD= ∠ ACD.
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知识点 4 轴对称的性质
知4－讲
1. 轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线，如图15.1－4.
特别地：成轴对称的两个图形的对应 线段所在直线平行或者重合或者相交于某 一点，且该点一定在对称轴上. 2. 反之 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
分别在边AB，BC 上， 点A 与点E 关于直线CD 对
称． 若AB=7，AC=9，BC=12，则△ DBE 的周长为
()
A.9
B.10
C.11 D.12
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知4－练
解题秘方：根据轴对称的性质得到：AD=DE，AC=CE，
结合已知条件和三角形周长公式解答. 解法提醒 轴对称的性质中关键有两点：
先根据成轴对称的特征确定两个图形的对应边、对 应角，再运用轴对称的性质(对应边相等，对应角相等)， 把要求的边或角与已知的对应边或对应角建立联系， 从而求出待求的线段的长度或角的度数.
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知3－练
解：∵四边形BEFD 是以DE 为对称轴的轴对称图形，四 边形CFDE 是以FE 为对称轴的轴对称图形， ∴∠ BED= ∠ DEF= ∠ CEF= 180。 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b).
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例 1 已知点A(2a+b，5+a)，B(2b－1，－ a+b). (1)若点A，B 关于x 轴对称，求a，b 的值；
知1－练
(2)若点A，B 关于y 轴对称，求(4a+4b)2 023 的值.
解题秘方：根据关于坐标轴对称的点的坐标规律列出方 程组求解即可.
知1－练
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知1－练
例2 △ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图15.1－7，已知 点A，B，C 三点在格点上，请分别画出与△ ABC 关于x 轴和y 轴对称的图形，并写出对称图形顶点的坐标.
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知1－练
解题秘方：利用关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，作 出△ ABC 三个顶点关于x 轴、y 轴的对称点，然后连 接各对称点即可.
2. 反面观察法：从纸的反面观察图形，若观察到的和
正面一样，就是轴对称.
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知2－练
解：由轴对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并 且被镜面平分，即可得出只有②与原图形成镜面对称． 答案：B
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知识点 3 线段的垂直平分线
知3－讲
1. 定义 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫
做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线. 特别解读 1. 线段的垂直平分线必须满足两个条件： (1) 经过线段的中点； (2) 垂直于这条线段. 两者缺一不可. 2. 线段的垂直平分线的定义反过来也成立.
过两条对边中点的直线或
3
过相对顶点的直线
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温馨提示
知1－讲
1. 轴对称图形是一个图形自身的特性，它被对称轴
分 成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上.
2. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段.
3. 一个轴对称图形的对称轴可以有1 条，也可以有
多条，还可以有无数条.
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知1－练
例 1 下面是组成北京2022 年冬奥会会徽的四个图案，其
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2. 几何语言 如图15.1－2， ∵ DC ⊥ AB，AC=BC， ∴ DC 是AB 的垂直平分线. 反过来也成立： ∵ DC 是AB 的垂直平分线， ∴ DC ⊥ AB，AC=BC.
知3－讲
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知3－练
例 3 如图15.1－3，直线AE 是线段BC 的垂直平分线，垂足 为E，D 是直线AE 上任意一点， 求证：∠ ABD= ∠ ACD.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
第2课时 平面直角坐标 系中的轴对称
学习目标
1 课时讲解 平面直角坐标系中的轴对称
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业提 升
感悟新知
知识点 1 平面直角坐标系中的轴对称
1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)， 其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数. (2)点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)， 其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
B.70°
C.75°
D.80°
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知4－练
解题秘方：根据轴对称的性质可得∠ BED= ∠ DEF= ∠ CEF，据此可得∠ DEF=60°，∠ EDF= ∠C=40°， 再根据三角形的内角和定理可得 ∠ DFE 的度数．
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知4－练
解法提醒 利用轴对称的性质求线段的长度或角的度数的方法：
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知1－练
教你一招 在坐标系中作成轴对称的图形的思路：
思路一：先求出特殊点的对称点的坐标，描出各对 称点，再连接各对称点，所得到的图形即为符合条件 的图形；
思路二：先作出特殊点的对称点，再连接对称点， 所得图形即为所求图形.
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知1－练
解：△ ABC 关于x 轴和y轴对称的图形分别为△ A′B′C′和△ A″B″C″，如图15.1－7. ∵△ ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，0)， C(－2，－1)， ∴根据关于坐标轴对称的点的坐标特征可得A′(－3，－1)， B ′(－1，0)，C ′(－2，1)，A ″(3，1)，B ″(1，0)，C ″(2， －1).
图形两部分折叠后可重合，即可确定这个图形是轴对 称图形，否则就不是轴对称图形．
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知识点 2 轴对称
知2－讲
1. 定义 平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线
折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称， 这条直线就是对称轴. 折叠后重合的两点叫做对应点(也叫 对称点).
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线叫做对称轴. 我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
特别解读 轴对称图形的三个条件： 1. 一个整体图形；2. 一条直线：对称轴； 3. 直线两旁的部分完全重合.
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2. 几种常见的轴对称图形及对称轴
名称 线段 角
图形
对称轴
线段本身所在直线和 过线段中点的垂线 角平分线所在的直线
对称轴 条数
=7+12－9=10． 答案：B
知4－练
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知4－练
例 5 如图15.1－6， △ ABC 中，D，E，F 三点分别在
AB，BC，AC 上，且四边形BEFD 是以DE 为对称轴
的轴对称图形，四边形CFDE 是以FE 为对称轴的轴 对称图形．若∠ C=40°，则∠ DFE 的度数为( )
A.65°
3
∠ EDF= ∠ C=40°， ∴∠ DFE=180° － ∠ DEF－ ∠ EDF=80° . 答案：D
课堂小结
轴对称图形
轴对称和轴对称图形的区别： (1)定义不同； (2)轴对称图形指的是一个图形，而两个图形成轴
对称指的是两个图形； (3)一个轴对称图形的对称轴可能有多条，而两个
图形成轴对称的对称轴一般只有一条．
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特别解读
知4－讲
1. 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对 应角相等；
2. 轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两 部分关于对称轴成轴对称. 成轴对称的两个图形也全 等，但全等的两个图形不一定成轴对称.
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知4－练
例4 ［模拟·深圳］如图15.1－5，在△ ABC 中，点D，E
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
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知2－练
解题秘方：镜面对称的实质就是把平面镜看成对称轴， 若平面镜两旁的图形能对称，则根据定义就可得出 答案．
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方法点拨
知2－练
镜面对称的本质就是以平面镜为对称轴的轴对称，而
识别轴对称的方法：
1. 定义法：紧扣定义中的“两个图形，一条直线，完
全重合”.
2
1
等腰三 角形
等边三 角形
底边上的高所在直线 1
各条边上的高所在直 3 线
知1－讲
感悟新知
名称 图形
长方形 正方形
对称轴
经过对边中点的直线 (1)经过对边中点的直线
(2)对角线所在的直线
对称轴 条数 2
1
知1－讲
圆
正n 边 形
经过圆心的任意一条直线
1
n 为奇数：过顶点与对边
中点的直线；n 为偶数：
知1－讲
感悟新知
特别解读
知1－讲
关于坐标轴对称的点的坐标规律可简记为：横对称，
横不变，纵相反；纵对称，纵不变，横相反.
关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对
值相同.
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2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律
知1－讲
(1)点(a，b)关于直线x=m 对称的点为(2m－a，b)；
(2)点(a，b)关于直线y=n 对称的点为(a，2n－b)；
特别解读
知2－讲
轴对称的三个条件：
1. 有两个图形；
2. 存在一条直线；
3. 一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合．
轴对称的两个特性：
1. 成轴对称的两个图形全等. 但全等的两个图形不一
定成轴对称.
2. 轴对称是图形的一种全等变换.
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2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系
名称 对象不同
轴对称 两个图形
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教你一招
知1－练
利用方程思想解关于坐标系中对称点的思路：
运用方程思想，根据题意列出方程(组)是关键.若点 P 1( a 1，b 1) ， P 2( a 2， b 2)关于x 轴对称， 则a1=a2， b1+b2=0；若点P 1( a 1，b 1)，P 2( a 2， b 2)关于y 轴对 称， 则a1+a2=0，b1=b2.
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名称
区 对称轴数 别 量不同
轴对称 只有一条对称轴
知2－讲
轴对称图形 有一条或多条
联 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 系 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个
轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形， 这两个图形关于这条轴对称
感悟新知
知2－练
例2 ［期末·北京朝阳区］如图15.1－1 下面镜子里哪个 是他的像？( )
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的定义进行解答. 解法提醒 1.由直线AE 是线段BC 的垂直平分线得出BE=CE，AE ⊥ BC. 这两个结论有时根据证题需要可只写出其中一 个结论. 2.若要证AE 是线段BC 的垂直平分线，则必须同时具 备BE=CE，AE⊥ BC 这两个条件.
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