(优辅资源)山东省烟台市高考数学一模试卷(文科) Word版含解析

2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．复数的实部与虚部分别为（）
A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i
2．设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|2x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6
3．设a＜0，b∈R，则“a＜b”是“|a|＜b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填入（）
A．k≤2？B．k≤3？C．k≤4？D．k≤5？
5．某十字路口的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为60秒，小明放学回家途经该路口遇到红灯，则小明至少要等15秒才能出现绿灯的概率为（）
A．B．C．D．
6．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（f
（﹣8））=（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7．若直线ax+y=0截圆x2+y2﹣2x﹣6y+6=0所得的弦长为，则实数a=（）
A．2 B．C．D．
8．函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于直线对称，则φ的最小值为（）
A．B．C．D．
9．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0 B．a＞0，b＞0，c＜0，d＜0
C．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0
10．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆
的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P．若，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．
11．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第四组抽取的学生编号为．
12．已知向量=（1，3），向量满足||=，若•=﹣5，则与的夹角大小为．
13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为
14．实数x，y满足恒成立，则实数m的取值范围是．
15．若定义域为R的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．给出下列四个关于“λ﹣伴随函数”的命题：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）=x+1是“λ﹣伴随函数”；③f（x）=2x是“λ﹣伴随函数”；④当λ＞0时，“λ﹣伴随函数”f（x）在（0，λ）内至少有一个零点．所有真命题的序号为．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．
16．（12分）已知函数．
（1）求f（x）单调递减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角，A，B，C的对边，
是f（x）在（0，π）上的最大值，求△ABC的面积．
17．（12分）如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD=AB=AE=2
（Ⅰ）求证：平面EFP⊥平面BCE
（Ⅱ）求几何体ADC﹣BCE的体积．
18．（12分）某单位为了解甲、乙两部门对本单位职工的服务情况，随机访问50名职工．已知50名职工对甲、乙两部门的评分都在区间[50，100]内，根据50名职工对甲部门的评分绘制的频率分布直方图，以及根据50名职工对乙部门评分中落在[50，60），[60，70）内的所有数据绘制的茎叶图，如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）若得分在70分及以上为满意，试比较甲、乙两部门服务情况的满意度；（3）在乙部门得分为[50，60），[60，70）的样本数据中，任意抽取两个样本数据，求至少有一个样本数据落在[50，60）内的概率．
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，点是曲线f（x）=x2+2x上的点．数列{a n}是等比数列，且满足b1=a1，b2=a4．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．
20．（13分）已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，椭圆C上的点到F的最大距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于A、B两点，求△OAB（O为坐标原点）面积S的最大值．
21．（14分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．
（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；
（2）求函数f（x）在上的最小值；
（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立．
2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．复数的实部与虚部分别为（）
A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i
【考点】复数的基本概念．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
【解答】解：=，
∴z的实部与虚部分别为7，﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|2x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集体合A和B，由此能求出A∩B的元素的个数．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，
B={x|2x∈N}，所以集合B中x可取0，0.5，1，1.5，2，2.5
∴A∩B={0，0.5，1，1.5，2，2.5}，
∴A∩B的元素的个数为6个．
故选：D．
【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．
3．设a＜0，b∈R，则“a＜b”是“|a|＜b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】a＜0，b∈R，|a|＜b，可得a＜﹣a＜b，即a＜b．反之不成立．即可判断出结论．
【解答】解：∵a＜0，b∈R，|a|＜b，∴a＜﹣a＜b，即a＜b．
反之不成立，例如取a=﹣6，b=2，满足a＜0，b∈R，“a＜b”，但是|a|＞b，
∴a＜0，b∈R，则“a＜b”是“|a|＜b”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填入（）
A．k≤2？B．k≤3？C．k≤4？D．k≤5？
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时，变量k值所要满足的要求，可得答案．
【解答】解：第一次循环的结果：S=1，k=2，不满足输出条件；
第二次循环的结果：S=6，k=3，不满足输出条件；
第三次循环的结果：S=12+9=21，k=4，输出21，满足输出条件；
分析四个答案后，只有B满足上述要求；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用
的方法，但要注意过程中对变量值的管理，以免产生混乱．
5．某十字路口的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为60秒，小明放学回家途经该路口遇到红灯，则小明至少要等15秒才能出现绿灯的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【考点】几何概型．
【分析】求出一名行人前30秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待20秒才出现绿灯的概率．
【解答】解：∵红灯持续时间为60秒，至少需要等待15秒才出现绿灯， ∴一名行人前45秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．
故选：C
【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，考查学生的计算能力，比较基础．
6．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）=，则g （f
（﹣8））=（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2
【考点】函数的值．
【分析】由已知得g （x ）=﹣log 3（1﹣x ），f （﹣8）=g （﹣8）=﹣log 39=﹣2，从而g （f （﹣8））=g （﹣2），由此能求出结果． 【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，
且f （x ）=
，
∴g （x ）=﹣log 3（1﹣x ）， f （﹣8）=g （﹣8）=﹣log 39=﹣2， g （f （﹣8））=g （﹣2）=﹣log 33=﹣1． 故选：A ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
7．若直线ax+y=0截圆x2+y2﹣2x﹣6y+6=0所得的弦长为，则实数a=（）
A
．2 B．C．D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由圆心到直线的距离
d==1，求得a的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣6y+6=0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2=4，
故弦心距d==1．
∴圆心到直线的距离d==1，∴a=﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
8．函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于直线对称，则φ的最小值为（）
A．B．C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件根据诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位，可得sin2（x+φ）=sin（2x+2φ），
图象此时关于直线对称，
由2x+2φ=，k∈Z，即2φ=，
可得：φ=，（k∈Z）．
∵φ＞0，
当k=1时，可得φ最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，比较基础．9．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0 B．a＞0，b＞0，c＜0，d＜0
C．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．
【分析】利用函数的图象经过的特殊点，判断a，b，c，d的范围即可．
【解答】解：由函数的图象可知f（0）=d＞0，
排除选项A，B；
函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的导函数为：y′=3ax2+2bx+c，x∈（﹣∞，x1），（x2，+∞）函数是减函数，
可知a＜0，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象的判断，图象经过的特殊点，以及函数的导数的应用，是解题的关键．
10．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆
的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P．若，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利
用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，
c的关系，再由c2=a2+b2，求出=，问题得以解决．
【解答】解：∵，
∴=（+）
∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，
则PF′=2OE=a，
∵E为切点，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF﹣PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2
即9a2+a2=4c2=4（a2+b2），
∴3a2=2b2，
∴=，
∴渐近线方程为y=±x，即x±2y=0，
故选：C
【点评】本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就
是求三参数a，b，c的关系，属于中档题．
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．
11．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第四组抽取的学生编号为68．
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据已知计算出组距，可得答案．
【解答】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本，
∴组距是20，
∵第一组抽取的学生的编号为8，
∴第四组抽取的学生编号为8+60=68．
故答案为：68．
【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念．
12．已知向量=（1，3），向量满足||=，若•=﹣5，则与的夹角大小为120°．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量数量积的定义，写出数量积公式，即可求出与的夹角大小．
【解答】解：向量=（1，3），向量满足||=，
∴||==，
∴•=﹣5，
∴||×||×cos＜，＞=××cos＜，＞=﹣5，
∴cos＜，＞=﹣，
∴与的夹角大小为120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题目．
13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为33π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由几何体的三视图得出该几何体是半球体与圆锥体的组合体，
结合图中数据求出组合体的表面积即可．
【解答】解：由几何体的三视图可得：
该几何体是半球体与圆锥体的组合体，
且圆锥底面与半球圆面重合，
该组合体的表面积为：
S=S半球面+S圆锥侧面=2π×32+π×3×5=33π．
故答案为：33π．
【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，是基础题目．
14．实数x，y满足恒成立，则实数m的取值范围是（﹣
∞，﹣4] ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，令z=x﹣2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最小值，则答案可求．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，3），
令z=x﹣2y，化为y=，
由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣4．∴满足x﹣2y≥m的实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣4]．
故答案为：（﹣∞，﹣4]．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．若定义域为R的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．给出下列四个关于“λ﹣伴随函数”的命题：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）=x+1是“λ﹣伴随函数”；③f（x）=2x是“λ﹣伴随函数”；④当λ＞0时，“λ﹣伴随函数”f（x）在（0，λ）内至少有一个零点．所有真命题的序号为③．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】假设函数为λ﹣伴随函数，根据定义得出f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，从而得出λ的方程，根据方程是否有解得出假设是否成立．
【解答】解：对于①，假设常数函数f（x）=k为λ﹣伴随函数”，则k+λk=0，∴（1+λ）k=0，
∴当λ=﹣1或k=0．
∴任意一个常数函数都是''λ﹣伴随函数''，其中λ=﹣1．
故①错误；
对于②，假设f（x）=x+1是“λ﹣伴随函数”，则x+λ+1+λ（x+1）=0恒成立，
即（1+λ）x+2λ+1=0恒成立，
∴，无解，故f（x）=x+1不是“λ﹣伴随函数”，
故②错误；
对于③，假设f（x）=2x是“λ﹣伴随函数”，则2x+λ+λ•2x=0恒成立，
即（2λ+λ）•2x=0恒成立，
∴2λ+λ=0，
做出y=2x和y=﹣x的函数图象如图：
由图象可知方程2λ+λ=0有解，即f（x）=x+1是“λ﹣伴随函数”，
故③正确；
对于④，∵f（x）是“λ﹣伴随函数”，∴f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，
∴f（λ）+λf（0）=0，
∴f（0）f（λ）+λf2（0）=0，即f（0）•f（λ）=﹣λ2f（0）≤0．
若f（0）≠0，则f（0）•f（λ）＜0，∴f（x）在（0，λ）上至少存在一个零点，若f（0）=0，则f（0）•f（λ）=0，则f（x）在（0，λ）上可能存在零点，也可能不存在零点．
故④错误．
故答案为③．
【点评】本题考查了新定义的理解，函数恒成立问题的研究，方程根的存在性判断，属于中档题．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．
16．（12分）（2017•烟台一模）已知函数．
（1）求f （x ）单调递减区间；
（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角，A ，B ，C 的对边，是f （x ）在（0，π）上的最大值，求△ABC 的面积．
【考点】三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣），解不等式2kπ+
≤2x ﹣
≤2kπ+
可可得单调减区间；
（2）由题意可得A=，由余弦定理可得b=2，代值计算可．
【解答】解：（1）化简可得f （x ）=sin 2x +sinxcosx ﹣．
=（1﹣cos2x ）+sin2x ﹣=
sin2x ﹣cos2x
=sin （2x ﹣），
由2kπ+
≤2x ﹣≤2kπ+
可得kπ+≤x ≤kπ+，
∴f （x ）的单调减区间为[kπ+
，kπ+
]（k ∈Z ）；
（2）由（1）知f （x ）=sin （2x ﹣），
当x ∈（0，π）时，﹣
＜2x ﹣
＜，
结合正弦函数的图象，当2x ﹣
=
，即x=
时，f （x ）取得最大值，
∵f （A ）是f （x ）在（0，π）上的最大值，
∴A=
，
在△ABC 中，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，
即12=b 2+16﹣2×4b ×， 解得b=2，
∴△ABC 的面积S=bcsinA=×2×4sin
=2
．
【点评】本题考查解三角形，涉及两角和与差的三角函数公式余弦定理以及三角形的面积，属中档题．
17．（12分）（2017•烟台一模）如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD=AB=AE=2
（Ⅰ）求证：平面EFP⊥平面BCE
（Ⅱ）求几何体ADC﹣BCE的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由点E在平面ABCD内的射影恰为A，可得AE⊥平面ABCD，进一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，可得BCD为正方形，再由线面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，从而得到EF
⊥BC，结合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=，从而得到∠AEF+∠AEB=，有EF⊥BE．再由线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；（Ⅱ）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，则AE⊥AD，又AB⊥AD，则AB⊥平面ADE，得到GE⊥平面ADE．然后利用等积法求几何体ADC﹣BCE 的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵点E在平面ABCD内的射影恰为A，
∴AE⊥平面ABCD，
又AE⊂平面ABEG，∴平面ABCD⊥平面ABEG，
又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，∴ABCD为正方形，
又平面ABCD∩平面ABEG=AB，∴BC⊥平面ABEG，
∵EF⊂平面ABEG，∴EF⊥BC，
又AB=AE=GE，∴∠ABE=∠AEB=，
又AG的中点为F，∴∠AEF=．
∵∠AEF+∠AEB=，∴EF⊥BE．
又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE，
又EF⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，
∴AE⊥AD，又AB⊥AD，AE∩AD=A，
∴AB⊥平面ADE，又AB∥GE，∴GE⊥平面ADE．
=
∴V ADC
﹣BCE
=．
∴几何体ADC﹣BCE的体积为4．
【点评】本题主要考查点、线、面的位置关系以及体积的求法，考查运算求解能力及空间想象能力，是中档题．
18．（12分）（2017•烟台一模）某单位为了解甲、乙两部门对本单位职工的服务情况，随机访问50名职工．已知50名职工对甲、乙两部门的评分都在区间[50，100]内，根据50名职工对甲部门的评分绘制的频率分布直方图，以及根据50名职工对乙部门评分中落在[50，60），[60，70）内的所有数据绘制的茎叶图，如图所示．
（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）若得分在70分及以上为满意，试比较甲、乙两部门服务情况的满意度；（3）在乙部门得分为[50，60），[60，70）的样本数据中，任意抽取两个样本数据，求至少有一个样本数据落在[50，60）内的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）根据概率之和是1，求出x的值即可；
（2）分别求出甲、乙两部门服务情况的满意度，比较即可；
（3）求出随机抽取两个样本数据的所有基本事件，再求出至少有1个样本数据罗在[50，60）内的基本事件，求出满足条件的概率即可．
【解答】解：（1）由题意得：可知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，
解得：x=0.004；
（2）甲部门服务情况的满意度为：
0.056×10+0.018×10+0.010×10=0.84，
乙部门服务情况的满意度为：1﹣=0.88，
∴乙部门服务情况的满意度较高；
（3）由题意，设乙部门得分为[50，60），[60，70）的6个样本数据从小到大依次为：
A1，A2，B1，B2，B3，B4，
则随机抽取两个样本数据的所有基本事件有：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，
{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，{B1，B2}，
{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，
共15个；
其中“至少有1个样本数据落在[50，60）内”包含：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，
{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}共9个基本事件，
∴至少有1个样本数据罗在[50，60）内的概率为p==．
【点评】本题考查了频率分别直方图，考查求概率问题，是一道中档题．
19．（12分）（2017•烟台一模）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点
是曲线f （x ）=x 2+2x 上的点．数列{a n }是等比数列，且满足
b 1=a 1，b 2=a 4．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）记
，求数列{c n }的前n 项和T n ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由已知得到数列{a n }的前n 项和，再由n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1求得数列通项公式，验证首项后得答案；再由b 1=a 1，b 2=a 4求出数列{b n }的首项和公比，进一步得到数列{b n }的通项公式；
（2）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入，利用数列的分组求和
求得数列{c n }的前n 项和T n ．
【解答】解：（1）由已知，．
当n ≥2时，
=2n +1．
当n=1时，a 1=3适合上式． ∴a n =2n +1；
由于b 1=a 1=3，b 2=a 4=9， ∴等比数列{b n }的公比为3，
∴；
（2）
，
当n 为偶数时，T n =[（﹣3+5）+（﹣7+9）+…﹣（2n ﹣1）+（2n +1）]+（3+32+…+3n ）
；
当n 为奇数时，n ﹣1为偶数，
．
综上所述，
【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和，属中档题．
20．（13分）（2017•烟台一模）已知椭圆的右焦点F
与抛物线y2=4x的焦点重合，椭圆C上的点到F的最大距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于A、B两点，求△OAB（O为坐标原点）面积S的最大值．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由抛物线的焦点坐标，求得c，由a+c=3，则a=2，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性即可求得△OAB面积S的最大值．
【解答】解：（1）由抛物线线上，y2=4x焦点坐标为（1，0），则c=1，
由椭圆C上的点到F的最大距离为a+c=3，则a=2，
b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ky+1，
，消x，整理得：（3k2+4）y2+6ky﹣9=0，
∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
=×1×|y1﹣y2|=．
∴S
△OAB
令k2+1=t（t≥1），
S△OAB===．
则f（t）=t+，（t≥1），f′（t）=1﹣=，
∴f（t）在[1，+∞）单调递增，当t=1时，f（t）取最小值，最小值为．
S△OAB=（t≥1），的最大值为，
的最大值为．
∴S
△OAB
【点评】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，函数的单调性在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．
21．（14分）（2017•烟台一模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；
（2）求函数f（x）在上的最小值；
（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可；
（3）设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），求出m（x）的导数，求出m（x）
的最大值，得到f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，从而证明结论即可．
【解答】解：（1）f′（x）=lnx+x•=lnx+1，
x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，
故f（x）在x=1处的切线方程是：y=x﹣1，
联立，
消去y得：x2+（1﹣a）x+1=0，
由题意得：△=（1﹣a）2﹣4=0，
解得：a=3或﹣1；
（2）由（1）得：f′（x）=lnx+1，
x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣时，
f（x）min=f（t+）=（t+）ln（t+），
②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜时，
f（x）min=f（）=﹣；
③≤t＜t+，即t≥时，f（x）在[t，t+]递增，
f（x）min=f（t）=tlnt；
综上，f（x）min=；
（3）证明：设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）递增，
x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）递减，
可得m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到，
由（2）得f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，
当且仅当x=时取到，
因此x∈（0，+∞）时，f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，
又两次最值不能同时取到，
故对任意x∈（0，+∞），都有成立．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．。