2021_2022学年高中数学课时分层作业4二项式定理(含解析)苏教版选修2_3

课时分层作业(四) 二项式定理
(建议用时：60分钟)
[根底达标练]
一、选择题
1．设S ＝(x －1)3
＋3(x －1)2
＋3(x －1)＋1，那么S 等于( ) A ．(x －1)3
B ．(x －2)3
C ．x 3
D ．(x ＋1)3
C [S ＝[(x －1)＋1]3
＝x 3
.]
2．⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x 7
的展开式的第4项等于5，那么x 等于( ) A ．17 B ．－1
7
C ．7
D ．－7
B [T 4＝
C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，那么x ＝－17.]
3．(1－x )3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1x 3展开式中常数项是( )
A ．－20
B ．18
C ．20
D ．0
C [(1－x )3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1x 3＝－(1－x )6
x 3，要求原式的常数项，即求－(1－x )6中x 3的系数，T r ＋1
＝
－C r
6(－x )r
，所以r ＝3，所以C 3
6＝20.]
4．使⎝
⎛
⎭
⎪⎫3x ＋1x x n
(n ∈N *
)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
B [T r ＋1＝
C r n
(3x )n －r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r
x
，当T r ＋1是常数项时，n －5
2
r ＝0，当r ＝2，n ＝
5时成立．]
5．假设二项式(x ＋2)n
的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，那么x 的值为
( )
A.12
B.14
C.28
D.18
B [由二项式(x ＋2)n
的展开式的第4项为23C 3n x n －3
，第3项的二项式系数是C 2
n ，可知C 2
n ＝
15,23C 3n x
n －3
＝52，可得n ＝6，x ＝1
4
，选B.] 二、填空题
6．在(1＋x )6
·(1－x )4
的展开式中，x 3
的系数是________．
－8 [(1＋x )6
·(1－x )4
＝(1＋x )2
·(1＋x )4
·(1－x )4
＝(1＋2x ＋x 2
)(1－x 2)4
. ∴x 3
的系数为2·C 1
4·(－1)＝－8.]
7．假设⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x n
的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，那么该展开式中1x
2的系数
为________．
56 [因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数一样，即C 2
n ＝C 6
n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r
⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝－2，解得r ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2，所以1x 2的系数为C 5
8＝56.]
8．设二项式⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －a x 6
(a >0)的展开式中x 3
的系数为A ，常数项为B .假设B ＝4A ，那么a 的值是________．
2 [对于T r ＋1＝C r 6x
6－r
(－ax )r ＝C r 6(－a )r
·x
，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2
.∵B ＝4A ，
a >0，∴a ＝2.]
三、解答题
9．在⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －
1x 6
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2
的项．
[解] (1)第3项的二项式系数为C 2
6＝15， 又T 3＝C 2
6(2x )4
⎝
⎛⎭
⎪⎫－
1x 2
＝24·C 2
6x ， 所以第3项的系数为24C 2
6＝240.
(2)T k ＋1＝C k
6(2x )6－k
⎝
⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k
，
令3－k ＝2，得k ＝1.
所以含x 2
的项为第2项，且T 2＝－192x 2
.
10．f (x )＝(1＋2x )m
＋(1＋4x )n
(m ，n ∈N *
)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含
x 2项的系数的最小值．
[解] (1＋2x )m
＋(1＋4x )n
展开式中含x 的项为C 1
m ·2x ＋C 1
n ·4x ＝(2C 1
m ＋4C 1
n )x ，
∴2C 1
m ＋4C 1
n ＝36，即m ＋2n ＝18，
(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2
的项的系数为
t ＝C 2m 22＋C 2n 42＝2m 2－2m ＋8n 2
－8n .
∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，
∴t ＝2(18－2n )2
－2(18－2n )＋8n 2
－8n ＝16n 2
－148n ＋612
＝16⎝
⎛⎭⎪⎫n 2－374n ＋1534，
∴当n ＝378
时，t 取最小值，但n ∈N *
，
∴n ＝5时，t 即x 2
项的系数最小，最小值为272.
[能力提升练]
1．假设C 1
n x ＋C 2n x 2
＋…＋C n n x n
能被7整除，那么x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4
D ．x ＝6，n ＝5
C [C 1
n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n
＝(1＋x )n
－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅C 适合．]
2．二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，那么1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )
A ．－19
B ．19
C ．20
D ．－20
C [⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
13x r ＝C r
n x ，由题意知n 2－5×3
6
＝0，
得n ＝5，那么所求式子中的x 2
项的系数为C 2
2＋C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＝1＋3＋6＋10＝20.应选C.]
3.⎝
⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23
展开式中的常数项是________．
－20 [⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23＝(1－|x |)6
|x |3
，在(1－|x |)6中，|x |3的系数A ＝C 36(－1)3＝－20.即
所求展开式中常数项是－20.]
4．假设⎝
⎛⎭
⎪⎫ax 2
＋b x
6
的展开式中x 3项的系数为20，那么a 2＋b 2
的最小值为________． 2 [T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫b x
r ＝C r 6a 6－r
·b r x
12－3r
，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以
C 36a
6－3b 3
＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，
等号成立．故a 2
＋b 2
的最小值是2.]
5．⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋23x n 的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．
[解] ∵T r ＋1＝C r
n ·x
·2r
·x
＝C r n ·2r
·x
，
据题意，C 0
n ＋C 1
n ·2＋C 2
n ·22
＝129，解得n ＝8，
∴T r ＋1＝C r
8·2r
·x
，且0≤r ≤8.
由于24－5r
6＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．
又
24－5r 6＝4－5r 6，∴当r ＝0或r ＝6时，24－5r
6
∈Z ， 即展开式中存在有理项，它们是：
T 1＝x 4，T 7＝26·C 68·x －1
＝
1 792
x
.。