线性代数模试题试题库(带答案)

5、A 为n 阶方阵，AA
T
E 且A 0,则A E
1, A 1,
第一套线性代数模拟试题解答
一、填空题(每小题4分，共24分)
1、若玄和82383585j a 44是五阶行列式中带正号的一项，贝U
i 1 , j 2
令 i 1, j 2 ,
(12354) (13524) 1 3 4，取正号。

2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式
D ，则D = ( 1)n D
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D =
( 1)n D
1 1
1 100 3、设A
,则 A
100。

0 1
1
1 1 1 1
1 2 3
1 2 1 1
1 3
A 2
,A 3
,L 可得
0 1 0 1
0 1
0 1 0 1
0 1
4、设A 为 5 阶方 阵， A 5, 则5A 5n 1。

由矩阵的行列式运算法则可知： 5A 5n A 5n 1
2
由已知条件：A A E AA T
A A T
A E 1 A
而：A E A AA
T
A E A T A A E
6、设三阶方阵A 2
0 0
0 x y 可逆，则x, y 应满足条件3x 2y 。

2 3
2 (3x 2y) 0 3x 2y 。

二、单项选择题 (每小题4分，共24分)
a 11 a 12 a
13
2an 2a 12
2a 13
7、设 a 21 a 22 a 23 M 0，则行列式
2a 31
2a
32 2a
33 A
a 31 a 32 a 33 2a
21
2a
22
2a
23
A . 8M
B . 2M
C.
2M
D .
8M
可逆，则行列式不等于零:
&设n 阶行列式D n ，则 A • D n 中有两行（或列）元素对应成比例 B . D n 中有 行（或列）元素全为
C. D n 中各列元素之和为零
D .以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解
A.(AB)
1 " 1 r 1
A
A B B. A
C. (AB)T B T A T
D .AB BA
10、设 A,
B 为同阶可逆矩阵,
0为数，则下列命题中不正确的是
1 1
A.(A ) A
1 1 1 1 1
B.( A) A
C.(AB) B A
“ "T 、1 …1、T
D.(A ) (A )
一 1 1 1 由运算法则，就有（A ） A
1 1、设A 为n 阶方阵，且A a 0，则A
1
A . a B.—
a
因为A A A 1
C. a n 1 f
n
D . a
A |A A 1 A n A 1
|A n
|A 1
A n1。

9、对任意同阶方阵 A,B ，下列说法正确的是 —C —
1 2 1 0
1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2可得：3 1 0 2 : 0 7 3 2
1 a
2 2 0 a 5 0 0
三、计算题（每小题7分，共42分）
2a
11
2a
12 2a
13
a
11
a
i2
a
13
a
11
a
12 a
13 2a
31 2a
32 2a
33
2 3
a 31
a
32 a
33
8 ( 1) a 21
a 22 a
23 2a 21
2a 22
2a
23
a
21
a 22
a
23
a
31
a 32
a
33
由于
0的必要条件是
D n D 。

1
2
1 0
12、矩阵 3 1 0 2 的秩为2,则a = D
1 a
2
2
o
A. 2
B. 3
C.4
4 1 1 1
1 4 1 1 13、计算行列式：
1 1 4 1
1 1 1 4
4 1 1 1 7
解：1 4 1 1 7
1 1 4 1 各列加到第
一列上
7
1 1 1 4 7 4
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 4 1 1
7
0 3 0 0
1 1 4 1 第一行乘-1 加
到各行上
0 0 3 0
1 1 1 4 0 0 0 3
=7
第二=提7
到外面
3 o
3 =189
14、计算行列式: ai 0 0 th 0 a2 b2 0 0 b3 a3 0 b4 0 0 a4
解：先按第一行展开，再按第三行展开，有:
a 0 0 b4
0 0
a2b2
b3 a3
0 0
b
a4
a2
=印b3
b2
a3
a2
b3
b2
a3 佝比bb4)(a2a3 bA)。

15、问取何值时，齐次线性方程组(1 )X1 2X2 4X3 0
2x-i (3 )X2 X3 0有非零解。

x X2 (1 )X3 0
a4
1 2 4 0 3 4 (1 )2
0 = 2 3 1 ===== 0 1 1+2
1 1 1 r1 (1 )r a 1 1 1
齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零:
解:
0, 2, 3 16、设矩阵，计算B2A2(B 1A)
解：因为A2, B 7 ,所以都可逆,
B2 A2(B 1A) 1B2 A2A1B B2AB (B A)B 2
o 19
17、解矩阵方程AX B X，求X，其中
解：AX B X (A E)X 1
B X (A E) B ,
18、设 A
，利用分块矩阵计算
A 1。

,A 2 1
13 13 2 3
13
四
19、 20、 解:
A 1
A 21
0 13 13
0 2 3 1.3
证明题
（每小题
5分, 共10分） 设n 阶方阵A 满足A 证明矩阵 A 可逆, 并写出
A 逆矩阵的表达式。

证明: 若矩阵
矩阵。

证明: 因为A E 3
从而A( A 2
A 3 3A
A T
A ，则称矩阵 3A 2
3E) 3A E
A(A 2 A 2 3A 3E) E ，
3A 3E 。

A 为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩
设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则
A
A T
A
A T ( 1)n A T
|A
所以A 不可逆，即A 不是满秩矩阵。

第二套线性代数模拟试题解答
填空题 （每小题4分，共24分） 1、
A 为3阶方阵，且A
2, A 是A 的伴随矩阵，则4A 1 A =
-4 ___ 。

因为：A A A 1 2A 1
4A 1 A 4A 1 2A 1
2A 1 8A 1
0 2 3 13 3 1 (A E) 1
1 2 3 13 X (A E) 1B 2 0 0
13
13
1 1
o
0 0
2、A 为5 x 3 矩阵，秩(A )=3, B 1 0 2
0 2 0，则秩(AB)=—3 0 0 3
因为B可逆，AB相当于对A作列初等变换，不改变A的秩。

3均为4维列向量，A (3)，B ( 2, 1,
,
4 ，则A B = 40 。

2,2 1,2 2,2
3)2,2 1,2 2,2 3)
2, 1, 2, 3)1? 1 2， 3
8(1 4) 40°
如果n元非齐次线性方程组AX
B有解,
R(A) r，则当
n_时有唯一解;
因为
4，则t = ____ -4
< n_时有无穷多解。

非齐次线性方程组有解的定义。

R(A) 3，所以AX 0的基础解系含4-3=1个解向量；又2
都是AX 0的解，相加也是AX 0的解，从而可得AX 0的一个解为:
2 1 0
6、设四元方程组AX B的3个解是3。

其中3
，如
4 R(A) 3，则方程组AX B的通解是
1 k
2
3
1
1 。

1
1
3 1 1
2 1
3 1 2 3 2 1 2
4 1 2
5 1 3
0 1
1 1
于是AX B的通解为：X k 1 k 。

2 1
3 1
、单项选择题（每小题4分，共24分）
7、对行列式做—D_种变换不改变行列式的值。

A.互换两行
B.非零数乘某一行
C.某行某列互换
D.非零数乘某一行加到另外一行
& n阶方阵A,B,C满足ABC E，其中E为单位矩阵，则必有—D—。

A. ACB E
B.CBA E
C.BAC E
D.BCA E
1 1
矩阵乘法不满足变换律，而D中ABC E A ABCA A EA BCA E。

1 2 1 0
9、矩阵 3 1 0 2 的秩为2,则t = D
1 t 1
2 2
A. 3
B. 4
C.5
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为2可得：3 1 0 2 : 0 7 3 2。

1 t 1
2 2 0 t 6 0 0
10、若方阵An不可逆，则A的列向量中—C—。

A.必有一个向量为零向量
B.必有二个向量对应分量成比例
C.必有一个向量是其余向量的线性组合
D.任一列向量是其余列向量的线性组合
方阵A n n不可逆，则A的列向量线性相关，，由定义可得。

11、若r维向量组1, 2 m线性相关，为任一r维向量，则一A一。

A. 1 , 2 m,线性相关
B. 1 , 2 m,线性无关
、计算题（每小题7分,
共42分）
解:
14、设A
解：Y1CB 15、已知三阶方阵A ab b
ab ad cd 0
ab 1 ad
cd
(1 ab)(1
，且A2
cd)
AB
ad abcd
ab cd ad
,AYB
C，求矩阵Y。

计算矩阵B 。

| A| 1,A可逆，AB A2
解: B
1 A A10
C. 1, 2 m,线性相关性不定
D. 1, 2 m中一定有零向量
由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。

12、若矩阵A t 5有一个3阶子式为0，则—C_。

A.秩（A）w 2
B.秩（A）w 3
C.秩（A）< 4
D.秩（A）w 5
由矩阵秩的性质可知：R A4 5 min{4, 5}，而有一个3阶子式为0,不排除4阶子式不为0。

13、计算行列式
18、已知 R 3中的向量
组
3线性无关，
向量组 b i
因为D,b 2,b 3相关，所以
b 3
3
k 1线性相关，求k 值。

3 2 1 3 1
16、求矩阵 2
1 3
1 3 的秩， 并找出一个最高阶非零子式。

7 0
5
1
8
3
2
1 3
1 1 3 4 4
2 1
3
4 4 2 1 3 4 4
2 解：2
1 3 1 3 :
2 1
3 1
3 0 7 11 9
7 : 0 7 11 9 7 7 0
5 1 8 7 0
5 1 8 0 21 33 27
22 0 0 0 0 1
R(A) 3，
最高阶非零子式是
1,
2,
5 。

2x 1 X 2 X 3 X 4
1
17、写出方程组
X 1 2X 2 X 3 X 4 2的通解。

X 1 X 2 2X 3
X 4
3
2 1 1 1 1
1 1
2 1
3 1 0 3 3
4 1 0 0
32
r
1 解：1
2 1 1 2
0 1 1 2
1 :0 1 1
2 1 : 0 1 0 32 1
1 1
2 1
3
1 5 1 5
0 0 6 3
6
0 0 1
12 1
X
1
=-3/2 X 3
1
3/2
1
X
(c R)
c
1
0 1 0
3 2 1/2 1
X 2 = 3.2X 3 X 3=- 1. 2X 3
k 2 2
2 3 3 3 k
1
3
1
1
k 2 2
2
3
3
0 1 k 3 0
1 0
k
1
1k 2 0 k 1 0 2 0
，
2
3
1 1
3
由1 , 2 , 3线性无关，得
1, 2,
3有非零解，故系数行列式
=0，得 k
四、证明题(每小题5分，共10分)
19、设A, B为n阶方阵，若AB 0,则秩(A)秩(B) n 。

证明：因为线性方程组Ax 0,当秩A r时，基础解系为nr个，由
1、已
AB A(b i,b2, ,b n) (Ab i,Ab2, ,Ab n) 0
则有Ab j 0(j 1,2, ,n),即B的列均为Ax 0的解，这些列的极大线性无关组的向量个数w n r,即秩(B) n r，从而秩(A)秩(B) n。

20、如果1, 2, 3, 4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不
为零的数k11k21k31k4，使得k1 1 k2 2 k3 3 k4 40。

证明：因为1, 2, 3, 4线性相关，所以存在一组“不全为零”的数k1.k2.k3.k4, 使得k1 1 k2 2 k3 3 k4 4 0,如果k1 0,则
k2 2 k3 3 k4 4 0 ,且由于k2,k3, k4不全为零，所以2, 3, 4 线性无关，与题设矛盾，所以k1 0 ；
同理，可证明k20,k30,k40。

第三套线性代数模拟试题解答
、填空题(每小题4分，共24分)
1 2 3
4 5 6 ,州表示它的元素a j的代数余子式，则与
7 8 9
aA21 bA22叭3对应的三阶行列式为
由行列式按行按列展开定理可得。

2、A,B 均为n
1 1
A B 3，则2AB 1=(2)n。

由沙(丁姑(扪A B「
由于R(A)
5，所以Ax 0的基础解系只含一个向量:
，故有上通解。

6、已知x 1 为A 1
Ax x
2
1 2
5
a 3 的
量
1 b 2
2 1
1 5
a
1 1
b
1
1 1
2 a a 3。

1 b
b 0
A . AP-] P 2
B . AP 2 P | B
C. P 2 P-(A B
D . RP 2A
B
3 0 0
1 0 0
3、A
1
4 0，则(A 2E) 1 = 1 2 1 2 0。

0 0 3
0 0 1
由于
3 0 0 1 0 1
1 0 1
0 1 0 0
1 4 0
2 0 1 0 1
2 0
1 2 1 2 0
0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Ax b 的通解为X k
、单项选择题(每小题4分，共24分)
a 11 a 12
a 13
a 21 a 22 a 23
0 1 0
7、A
a 21 a 22
a 23
,B
a 11 a 12
厲3
, P
1 0 0
a 31
a 32
a 33
a 31
a 11 a 32
a 12
a 33
a 13
0 0 1
1 0 0
P 2
0 1 0
则 D_ 。

4、向量组
1
(1,2,3), 2
( 1, 2,1), 3
(2,0,5) 线性 无关。

1 1
2
1
1 2
1
1
2
因为： 2 2
0 0
4
4 1 0。

3 1
5
0 4 1
4
5、设6阶方阵A 的秩为5,
是非齐次线性方程组 Ax b 的两个不相等的解，则
1 0 1
对A作行变换，先作P2，将第一行加到第三行上，再作R，交换一二行。

& n元齐次线性方程组AX 0有非零解的充分必要条件是_B —。

A. R(A) n
B. R(A) n c. R(A) n D. R(A) n
齐次线性方程组AX 0有非零解的定理。

9、已知m n矩阵A的秩为n 1 , 1, 2是齐次线性方程组AX 0的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组AX 0的通解为_ D_ 。

A. k 1
B. k 2
C. k( 1 2)
D. k( 1 2)
基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D可保证不等于零。

10、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是_B_。

A.秩(人)=秩(B)
B. A=B
C. A B
D. A与B有相同的特征值
相似不是相等。

11、若n阶方阵A的两个不同的特征值1, 2所对应的特征向量分别是x1和x2，则_B_。

A. X1和X2线性相关
B. X1和X2线性无关
C. x-i和x2正交
D. x-i和x2的内积等于零
特征值，特征向量的定理保证。

12、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的—C—条件。

A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要
矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证。

三、计算题(每小题7分，共42分)
2 0 1
13、设A与B均为3阶方阵，E为3阶单位矩阵，AB E A B，且A 0 2 0 ；
1 0 1
求B。

解：因为AB+E=A?+B (A E)B (A E)(A E)
2 10 1 0 2 10 1 0 1 1
1 0 1
0 1 0 ， A E
1 , A E 可逆
1 0
3 0
1 所以B
A E
0 3 0
1
2
x X 2
14、k 满足什么条件时, 方程组
x 2X 2
2x 1 X 2
1 1
2 k 1 1 2 解：1 2 k
k 2 〜0 1 k :2
2 1 k 2
1 k
2
4
2X 3
k
kX 3 k 2 有唯一解，无解，
有无穷多解 k 2X 3
k
1 1
2 k k 2 k
0 1 k 2 k 2 k
2k
0 0
(k 2)(k 3)
k(k 3)
:。

当 k 2时方程组无解。

15、向量组 1 (1,3,2,0) T ,
(7,0,14,3) T ,
(2, 1,0,1)T
, (5,1,6,2)T ,
5
(2, 1,4,1)T ，( 1)
(2)写出一个极大无关组，并将其余向
1 1 2
0 1 1 2 0 当k(k 3)
0时方程组r(A) r(B),当k 0时1
2 0
0〜 -0
1 2 0
2 1 0 0 0
0 2 0
这时方程组只有零解。

1 1
2 3 1 1 2 3 1 1
2 3
当k 3时，1 2
3 9〜 0 1
5 6 〜0 1
5 6这时方程组有无 2 1
9 0 0
1
5
6
0 0
穷多解。

量 畫用该极大无关组线性表示。

解: R( 1 ,
2,
3,
4,
5)
3
，
1,
2,
3为个极大无关组，
2 1 1 1 0 4
3 1
3 2
3
，
5
3
1
3
2 0
3
计算该向量组的秩,
当k 2且k
3时，方程组有惟
0 1 0 0
16、设矩阵A 10 0 0
的一个特征值
为3,求y。

0 0 y 1
0 0 1 2
3 1 0 0
解：|A 3E|
1 3 0 0
8 (2 y）0，y 2.
0 0 y 3 1
0 0 1 1
1 1 0
17、计算矩阵 4 3 0 的特征值与特征向量。

1 0 2
1 1 0
解：|A E | 4 3 0 (2 ) (1 )(3 )4 (2 )(1 )2，
1 0 2
所以得：特征值 1 2 1，解方程组 A E X 0，
只得一个对应特征向量为:
T 1, 2,1
18、当t为何值时， f (X1 ，
X2
X3)xj 4〉
1 t 1
解：f t 4 2
1 2
4
1 t 1 1 t 1
t 4 2 0 4 t2 2 t
1 2 4 0 2 t 3
解不等式： 4 t20 (2 t)
四、证明题（每小题5分
,
共10 分）
19、设向量b能由1, 2
3
这
文
三
个向量线
性
3 2, 解方程组A 2E 性无关。

X 0，可得特征向量为0,0,1 T。

2 4x f 2tx1x22x1x3
4X2X3为正定
二
:次
型
1
C
1 t
）；t 4 4 t 20；
12 3t2(2 t)22(2 t)(1 t) 0 1 t) 0 2 t 1。

;
证明：向量组1，2，3线
3 3，结合（1 ）式得
(2)
20、设
从而:
但1 2a 2 3a 3= (1),由已知设 b 1 1
2
b 0 b ( 1
1 )a 1 (
2 2 )a 2 (
3 3
)a
3
样b 已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。

3是
n 阶方阵A 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记
证明不是A 的特征向量。

证明：假设A
又: 0，由于特征值各不相等，所以
k 1
1 k 2
2 k 3
3
k 4 4|k 1,k 2,k 3, k 4 R ，则 V
是
维向量空间。

4、已知阶3方阵A 的3个特征值分别为1，
2，3，贝U A
1 1
5、若x 是方阵A 的特征向量，那么
P
x 是方阵p 1 AP 的特征向量。

由于
3不完全为零，则
1
1 ,
2
2 ,
3必与
3不同,
3线性无关, 所以的
1
2
3，矛盾。

一、填空题。

（每小题5分，共30分）
a 12 a 13 a 14
1
a 31 a 22 a 23 a 24
1、在四阶行列式中，包含因子
a 31的项是 a 42 a 43
a 44
2x 3
1
2
x x 0
1
4
2、设 f X
，则x 项的系数为
8
2 1x4
x 2
1 4x
1
2
3
O
已知
1， 2， 4是线性无关的
4维向量,
1 ?
2 >
3 ?
D
A 的列向量组线性相关。

6、线性方程组X i X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 0的基础解系含有 5个解向量。

二、选择题。

（每小题5分，共30分） 1、 设A ，B 为n 阶方阵，满足AB 0，则 C。

A A
B 0， B A B 0 ，
C A 0 或 B 0，
D ABO 。

2 1
2、 已知A 为n 阶方阵，且满足关系式 A 3A 4E 0，贝U A E ___________o
1
c
L 1 A 1
A A E ,
B E A ,
C E A ,
D A 4
E 。

2 2
3、 A 为3阶可逆方阵，且各列元素之和均为 2，则 A o
A
A 必有特征值2 ,
B A 1必有特征值2 , C
A 必有特征值 2 ,
1
D A 必有特征值 2 o
1、设 可由1 , 2 ,
s 线性表出，但不能由向量组
：1 , 2 , s 1线性
表出，记向量组
：1 , 2 , s 1 ,
，贝U s B o
A 不能由 ，也不能由 线性表出，
B 不能由，但能由 线性表出, C
能由
，也能由
线性表出，
D
能由，但不能
线性表出。

6、 设A 为m n 的非零矩阵，方程 A X 0存在非零解的充分必要条件是
____ D____
A
A 的行向量组线性无关,
B A 的行向量组线性相关,
5 0 0
三、 已知 A
0 1 2 1
，求 A o （10 分）
3 1
解:
A 11 O
A
---3
O
A 22
1
1
5
1
5
C
A 的列向量组线性无关,
A 221
A 22 A 22 1 7 3 7 2 7 1 7
四、a 为何值时, A 11
O
A 22
1 7 3 7
2 7 1 7
10
线性方程组
ax
a 1有解，并求其解。

（10 分）
az
解：对增广矩阵作初等行变换如下
B Ab
1 求
2 4
2
判断向量 ，
—F —¥■
， 是线性相关还是线性无关。

—*
----- !»■
―F-
解：（1）2
4 13
13 0 ----------- 3
1
2
3 1
2
3 保留方程组为： x y z
1
1
1 1
原方程组通解为：
X C 1
1 C 2
0 ----------- 10
1 0
- b-
- b -
五、已知向量
1,0, 1
2,2,0 ，
3, 5,2，
（10 分）
—»!■ -- ► >_b-
易见当a 1时，R A R B 1，方程组有解,
----------- 7
（2 ）由0 2 5 r0 2 5
1 0
2 0 0 0
10
k 1 0
当1 0时，解方程组Ax 0得： 1 2 3
1 0 1 r
A 2
1 3 0 1 1
3 3 6
0 0 0
1
得基础解系
p i 1
1
六、求矩阵 A
2 3 1 3 3 6
的特征值和特征向量。

（10 分）
1
2 3
解： A
E
2 1 3
1
9 __ ——2
3
3
6
特征值为：
1
0, 2 1,
3
9
-----3
是线性相关的。

1 2 3
当2 1 时， 解方程组 A E x 0得：
2 2
3 1 1 0
A E
2 2
3 r 0 0 1
3 3 7
0 0 0
1
得基础解系
P 2
1
1
对应于； 2
1的全部特征值为
k 2
P 2
k 2 1 k 2
0—— ——8
对应于1
0的全部特征值为k 1P 1 k 1 1
1
当 3 9 时，解方程组A 9E x 0 得：
8 2 3 1 1 0
A 9 E 2 8 3r 0 2 1
3 3 3 0 0 0
1
得基础解系
p3 1
2
1
对应于 3 9 的全部特征值为k3p3 k3 1 k3 0 ---------- ---- 10。