广西百色市2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题

百色市2020年秋季学期期末教学质量调研测试
高二文科数学
注意事项：
1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效．
3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．
第I 卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.抛物线2
14
x y =
的焦点坐标为（ ） A. (1,0)- B. (1,0) C. (0,1)- D. (0,1)
2.设,x y R ∈，则“0,0x y >>”是“0xy >”的（ ）
A.充分不必要条件
B.要不充分分条件
C.充要条件
D.既不充分，也不必要条件 3.()f x 的导函数()f x '的图象如下图所示，则函数()f x 的图象最有可能是图中的（ ）
A. B.
C. D.
4.从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5例的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A.14
B.07
C.32
D.43
5.圆心在y 轴上，且过点（3，1）的圆与x 轴相切，则该圆的方程是（ ） A.22100x y y ++= B. 22100x y y +-= C. 22100x y x ++= D. 22100x y x +-=
6.双曲线和椭圆2
215x y +=0y -=，则此双曲线方程是（ ）
A.22
13x y -= B. 2
213
y x -=
C. 22
13y x -= D. 2
213
x y -=
7.若a 是从1，2，5三个数中任取一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则33a b >的概率是（ ） A.
59 B.34 C. 23 D.49
8.下列说法正确的是（ ） ①(2)(8)1011126>；
②用辗转相除法求得459和357的最大公约数是61； ③能使y 的值为3的赋值语句是25y +=；
④用秦九韶算法求多项式5
3
2
()21f x x x x =-+-在2x =的值时，3v 的值是5； A.①② B.②③ C.①④ D.②④
9.交通部门利用测速仪测得广昆高速公路田阳段2020年国庆期间某时段的车速（单位：/km h ）的数据，从中随机抽取2000个样本，作出如图所示的频率分布直方图，则田阳段车速的中位数的估计值为（ ）
A.92
B.93
C.94
D.95
10.某汽车的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如表：
根据上表可得y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.69y
bx =-，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（不足1年按1年计算）（ ） A.8年 B.9年 C.10年 D.11年
11.20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为20，则输出的n 的值是（ ）
A.8
B.9
C.10
D.11
12.已知奇函数()f x 在R 上的导数为()f x '，当0x <时，有2
()()f x f x x
'
<-
，则使得不等式2(1)()0x f x -<成立的x 的取值范围为（ ）
A.(1,0)(0,1)-
B. (,1)(0,1)-∞-
C. (1,0)(1,)-+∞
D. (,1)(1,)-∞-+∞
第II 卷
二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）
13.若命题p ；“2
,210x R x mx ∀∈-+≥”，则p ⌝的是 ．
14.某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有 个网箱产量不低于50kg ．
15.已知点P 在曲线4
1
x
y e =
+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 ．
16.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的
一个交点M 满足21122F M F F M F =∠∠，则该椭圆的离心率等于 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本大题10分）给定命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>成立；q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根，如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 18.（本大题12分）已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间．
19.（本大题12分）已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点(1,)A m 在抛物线C 上，且3
||2
AF =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）已知过点(2,1)Q 的直线l 与抛物线交于,M N 两点，且点Q 是线段MN 的中点，求直线l 的方程． 20.（本大题12分）某校对学生过红绿灯路口进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示．
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法取n 人，已知“跟从别人闯红灯”的人中抽取了45人，求
n 的值；
（2）在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为1，2，…，200；将女生的300人编号为201，202 ，…，500，用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为100，请指出抽取的另外三个号码；
（3）在（2）的前提下，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选2人，求这2人均是女生的概率． 21.（本大题12分）已知函数()ln f x x kx =+． （1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点；
（2）当0k =时，若()0(,)b
f x a a b R x
+
-≥∈恒成立，求11a e b --+的最大值．
22.（本大题12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为4，焦距为P 为椭圆C 上一动
点，且直线,AP BP 的斜率之积为1
4
-． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设,A B 分别是椭圆C 的左右顶点，若点,M N 是C 上不同于,A B 的两点，且满//,//AP OM BP ON ，求证：MON 的面积为定值．
百色市2020年秋季学期期末教学质量调研测试参考答案
高二数学（文科）
一、选择题
1.B
2.A
3.A
4.D
5.B
6.C
7.C
8.C
9.B 10.D 11.B 12.C 1.解：
由题意得抛物线2
4y x =，∴焦点在x 正半轴上，2p =，
∴焦点坐标为(1,0)，故选B ．
2.解：由0,0x y >>，能推出0,xy >充分性成立，
而0,xy >则0,0x y >>，或0,0x y <<，推不出0,0x y >>，必要性不成立，故选A ． 3.A 【解析】
(,2)(0,)x ∈-∞-+∞时，()0f x '<，
∴在(,2)-∞-和(0,)+∞内()f x 是减函数，排除 B 、C 、D ．故选A ．
4.解析 由题意知从65第1行的第5列和第6列开始选取，按由左到右选取两位数大于50的跳过、重复的不选取，前5个个体编号为 08，12，14，07，43. 故选出来的第5个个体的编号为43.
5.解：圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，设圆的圆心为(0,)r ，半径为r ．
r =，解得5r =．故所求圆的方程为：22
100x y y +-=．故选B ．
6.解：椭圆方程为：22
15
x y +=，其焦点坐标为(2,0)±，设双曲线的方程为22221x y a b -=
椭圆与双曲线共同的焦点224a b +=①
0,b
y a
-=∴
=解①②组成的方
程组得1,a b ==2
2
13
y x -=．故选C ．
7. C 解析 由题意知本题是一个古典概型，取得的数组(,)a b 的基本事件共 9 个：(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),
(2,1),(5,2,2),(5,0),(5,2),满足33a b >的有 6 个，所以33a b >的概率为62
93
P =
=． 8. C 【解析】①(2)(10)(8)(10)6;101111241623262822=+++==⨯+=，正确． ②用辗转相除法求得 459 和 357 的最大公约数是 51，故错误． ③能使y 的值为3的赋值语句是52y =-，故错误．
④用秦九韶算法求多项式5
3
2
()21f x x x x =-+-在2x =的值时，3v 的值5，正确． 9. B 【解析】 由图知，中位数在[90,100)内，设中位数为90x +，
则0.010100.030100.0350.5x ⨯+⨯+=，解得3x ≈，所以绵阳段车速的中位数的估计值为93.
10.D 解：由y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.69y bx
=-过样本点的中心(3,2.34)，得ˆ 1.01b =，即线性回归 方程ˆ 1.010.69y
x =-，由ˆ 1.010.6910y x =-=，得10.6x ≈，所以预测该汽车最多可使用 11 年． 11.B 【解析】根据框图可知：20,2m n ==，不满足1m =，
继续循环；
20
10,32m n =
==，不满足1m =，继续循环； 105,42
m n ===，不满足1m =，继续循环；
35116,5m n =⨯+==，不满足1m =，继续循环；
16
8,62m n =
==，不满足1m =，继续循环； 8
4,72m n ===，不满足1m =，继续循环；
4
2,82m n ===，不满足1m =，继续循环；
2
1,92
m n =
==，此时满足1m =，退出循环， 故选：B ．
12. C 【解析】因为当0x <时，2
()()f x f x x
'
<-
， 即2()()0f x xf x '
+>，令2()()g x x f x =，则()g x 定义域为R ，是奇函数， 且当0x <时，2
()2()()(2()())0g x xf x x f x x f x xf x '
'
'
=+=+<，
则当0x <时，()g x 单调递减，所以()g x 在R 上是减函数，易知当0x <时，()0,()0g x f x >>， 当0x >时，()0,()0g x f x <<，
所以当0x <时，2(1)()0x f x -<等价于210x -<，解得10x -<<， 当0x >时，2
(1)()0x f x -<等价于210x ->，解得1x >， 综上，x 的取值范围是(1,0)(1,)-+∞，故选：C ．
二、填空题：
13.2,210x R x mx ∃∈-+< 14.答案：82 解析略
15. 3[,)4ππ 【解析】根据题意得24()21
x x x e f x e e '
=-++，
44
11222x x k e e
=-
≥-=-+++且0k <，则曲线()y f x =上切点处的切线的斜率01k >≥-， 又tan k α=，结合正切函数的图象，由图可得3[,)4παπ∈．故答案为3[,)4π
π．
1
解：设直线)y x c =-的倾斜角为α
，则tan α=
000180α≤<
0120α∴=．0212112121260
23090F MF F MF F M MF F F F MF ︒
︒∴=∠=∠∴∠=∴∠=∠
在直角三角12F MF 形中，令1c =
，则211,MF MF ===
由椭圆定义得122||||1
a MF MF =+=∴
椭圆的离心率212c e a ===
1．
三、解答题
17.解：当p 为真命题时，“对任意实数x 都有210ax ax ++>成立” 0a ⇔=或0,
0,
a >⎧⎨
∆<⎩
04a ∴≤<．……2分
当q 为真命题时，“关于x 的方程20x x a -+=有实数根” 140a ⇔∆=-≥
1
4
a ∴≤
．……4分 p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，
,p q ∴一真一假．……5分 ∴若p 真q 假，则04a ≤<，且11
,444
a a >
∴<<；……7分 若p 假q 真，则04,1
,4a a a <≥⎧⎪
⎨≤⎪⎩
或即0a <．……9分 故实数a 的取值范围为1
(,0)
(,4)4
-∞……10分 18. 解：（1）由3()f x x x =-，得2
()31f x x '=-，……2分
所以(1)2f '
=，又(1)0f =，……4分
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：02(1)y x -=-， 即220x y --=．……6分
（2）令()0f x
'
=，得x =，……8分 ,(),()x f x f x '在R 上的情况如下：
……10分
所以函数()f x
的单调增区间为(,-∞
，)+∞
，单调减区间为(．……12分 19. 解：（1）根据抛物线的定义得
3
||1222
A p p AF x =+
=+= 解得1p =……3分
∴抛物线C 的方程为22y x =……4分
（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，
(2,1)Q 是线段MN 的中点
222y y ∴+=……6分
1122(,),(,)M x y N x y 在抛物线C 上
211
22
222y x y x ⎧=∴⎨=⎩，于是得212221()()2()y y y y x x -+=-，……8分
即，
21212122
12
y y x x y y -===-+……10分 得直线l 的斜率为1，
则直线l 方程为10x y --=……12分 20.（1）解：由题意得45800100800450200100150300
n
=++++++，解得100n =……3分
（2）解：
500
1254
=，所以系统抽样抽取4人需分成4组每组125人， 所以由系统抽样得到的号码分别为100225350475，，，．……6分
（3）解：其中100号为男生设为A 而225350475，，都为女生分别设为123,,B B B ．从这4人中任选2人所有的基本事件为123121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A B A B B B B B B B 共有6个．……8分
这2人均是女生的基本事件为121323(,),(,),(,),B B B B B B 共有3个，故从这4人中任选2人．……10分 这两人均是女生的概率31
62
P =
=．……12分 21.解：（1）()f x '
定义域为(0,)+∞，……1分
当1k =-时，1
()ln ,()1f x x x f x x
'
=-=-，……2分 令()0f x '
=得1x =，……3分
所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，……4分 所以()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点．……5分
（2）当0k =时，()ln b b
f x a x a x x
+-=+-． 若()0,(,)b f x a a b R x +-≥∈恒成立，则ln 0(,)b
x a a b R x
+-≥∈恒成立，
所以ln b
a x x ≤+恒成立，……7分
令ln ,b y x x =+则2,x b y x
'
-=由题意0b >，函数在(0,)b 上单调递减，在(,)b +∞上单调递增，……9分
所以ln 1a b ≤+，所以1ln a b -≤ 所以1
,a e b -≤
所以1
11,a e
b --+≤……11分
故11a e b --+的最大值为1．……12分 22.解：（1）由题意可得
22224
2a c a b c =⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
……1分 解得1b =……3分
∴椭圆C 的标准方程为22141
x y +=……4分 证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，直线MN 的方程为： 由1//,//,,4AP BP AP OM BP ON k k ⋅=-得1
4
OM ON k k ⋅=- 即
12121
4
y y x x ⋅=-……5分 联立直线MN 和椭圆方程：22
14
x my t
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
整理得：222
(4)240m y mty t +++-= 由韦达定理可得：212122224,44mt t y y y y m m
-+=-=++……7分 又22
1212244()()4t m x x my t my t m
-=++=+ 代入121214
y y x x ⋅=-，可得2224t m =+，……9分 MON ∴
的面积122212||2||||||1242t t S t y y m t
=-===+， MON ∴的面积为定值1．……12分。