江苏省七校联盟2018_2019学年高二数学上学期期中联考试卷(含解析)

“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试
高二数学试题（盐城卷）
一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1.命题“，”的否定是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由命题的否定即可得出.
【详解】由非命题的意义可得：命题“，”的否定是“”，正确. 【点睛】命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2.抛物线的焦点坐标为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．
解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）
故答案为：（0，1）
考点：抛物线的简单性质．
3.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差
_______________.
【答案】
【解析】
4.已知 ,则“成立”是“成立”的_________条件．（请在“充分不必要.
必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
分别求解绝对值不等式与分式不等式，再由充分必要条件的判定方法得答案．
【详解】由|x﹣1|＜2，得﹣2＜x﹣1＜2，
∴﹣1＜x＜3，
由，得0＜x＜3．
∴由|x﹣1|＜2，可得，反之，由，不能得到|x﹣1|＜2．
∴“|x﹣1|＜2成立”是“成立”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
【点睛】本题考查充分必要条件的判定方法，考查绝对值不等式与分式不等式的解法，是基础题．
5.下图给出的伪代码运行结果是_________ .
【答案】16
【解析】
【分析】
模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=10时不满足条件，退出循环，输出x的值为16．
【详解】模拟程序的运行，可得
i=1，x=4
满足条件i＜10，执行循环体，x=5，i=4
满足条件i＜10，执行循环体，x=9，i=7
满足条件i＜10，执行循环体，x=16，i=10
此时，不满足条件i＜10，退出循环，输出x的值为16．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的
关键，属于基本知识的考查．
6.椭圆的焦距是2，则m的值是________.
【答案】3或5
【解析】
试题分析：当焦点在x轴时，当焦点在y轴时
5或3
考点：椭圆方程与性质
点评：求解本题要注意分焦点在x轴y轴两种情况，当焦点在x轴时方程为，当焦点在y轴时方程为
7.某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A，B两名老师都被选中的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件总数n==6，A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，由此能求出A，B两名老师都被选中的概率．
【详解】某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，
基本事件总数n==6，
A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，
∴A，B两名老师都被选中的概率是p=．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8.设z＝2x+y，其中x，y满足条件，则z的最大值为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最值即可．
【详解】作出可行域，如图，
作出直线y=﹣2x，并平移，
当直线经过点A时z取最大值，解方程组，
得A（3，0），
此时最大值z=2×3+0=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几
何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
9.若正实数a，b满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得=≥2=2，由不等式的性质变形可得．
【详解】∵正实数a，b满足，
∴=≥2=2，
∴ab≥2
当且仅当=即a=且b=2时取等号．
故答案为：2．
【点睛】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题．
10.记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是
_______________．
【答案】【答案】
【解析】
由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=,答案为.
点睛：本题考查的是几何概型.对于几何概型的计算，首先要确定所法事件的类型为几何概型并确定其几何区域是长度（角度、面积、体积或时间等），其次是计算基本事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等）和事件A区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等），最后计算.
11.经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．
【详解】与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），
∵双曲线过点（2，-2），
∴λ=，
即﹣y2=﹣2，即，
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．比较基础．12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，为左准线，，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设P（x，y），根据PQ⊥l且四边形PQFA为平行四边形，得|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c﹣．利用点P的横坐标满足x∈（﹣a，a），建立关于a、c的不等式组，再化成关于离心率的一元二次不等式，解之即可得到椭圆的离心率e的取值范围．
【详解】设P（x，y），则
∵PQ⊥l，四边形PQFA为平行四边形，
∴|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c﹣
∵椭圆上点P的横坐标满足x∈[﹣a，a]，且P、Q、F、A不在一条直线上
∴﹣a＜a+c﹣＜a，即2a+c﹣＞0且c﹣＜0
化简得2+e﹣＞0，即e2+2e﹣1＞0
解之得e或e＞
∵椭圆的离心率e∈（0，1）
∴椭圆的离心率e的取值范围是（，1）
故答案为：（，1）
【点睛】本题给出椭圆上一点P在左准线上的射影点为
Q，P、Q与左焦点F和右顶点A构成平行四边形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于基础题．
13.若方程有实根，则实数的取值范围是 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用数形结合来求解，方程的解，可看作函数y=与y=x+m的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中，做出函数y=与y=x+m的图象，判断x取何值时，两函数图象有交点即可．
【详解】的解可看作函数y=与y=x+m的图象的交点的横坐标，
∵函数y=的图象为椭圆在x轴上方的部分，
函数y=x+m的图象为斜率是1的直线
∴借助图象可知，直线与椭圆有交点时，如图
m的取值范围是
故答案为.
【点睛】本题主要考查了利用直线与圆的位置关系判断方
程的解的情况．
14.已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
将a分离出来得a≥﹣2（）2，然后根据x∈[1，2]，y∈[2，3]求出的范围，令t=，则a≥t ﹣2t2在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t﹣2t2的最大值，即可求出a的范围．【详解】由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥﹣2（）2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令t=，根据下图可知则1≤t≤3，
∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，
∵y=﹣2t2+t=﹣2（t﹣）2+，1≤t≤3，
∴y max=﹣1，
∴a≥﹣1
故答案为：．
【点睛】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在
解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤．
15.已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左.右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．
【详解】（1）根据题意：，解得，
∴b2=a2﹣c2=4，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，
设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，
解得：．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．
16.某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），
（1）求分数在[70，80）中的人数；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？
（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．
【答案】（1）30；（2）2；（3）
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图先求出分数在[70，80）内的概率，由此能求出分数在[70，80）中的人数．
（2）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，由此能求出用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的人数．
（3）用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率计算公式能
求出分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．
【详解】（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，
所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为：
1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，
∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人．
（2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人，
分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，
用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，
抽取的5人中分数在[40，50）的人有：
（3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，
用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，
抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为，
分数在[50，60）的有3人，设为，，
5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：
，，，，，，，，，
分别在不同区间上有m=6种可能．，，，，，
所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率P==．
【点睛】本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
17.已知命题：二次函数在区间是增函数；命题：双曲线
的离心率的范围是.
（1）分别求命题“” .命题“”均为真命题时m的取值范围.
（2）若“p且q” 是假命题，“p或q”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）对于p：求出二次函数f（x）=x2﹣7x+6的对称轴为，由题意知，若p真，求
出m的取值范围，对于q：由是双曲线，可得（4﹣m）（m﹣1）＞0，得1＜m＜4，由，得m＞3，若q真，取交集即可求出m的取值范围；
（2）由题意知：p，q一真一假，若p真q假，则m∈[4，+∞）；若p假q真，则，从而可求出实数m的取值范围．
【详解】(1)对于：因为二次函数的对称轴为，由题意知，
若真，则；
对于：∵双曲线，∴（4-m）(m-1)>0,得
∴得，
故，即若真，则
(2)由题意知：，一真一假，
若真假，则；
若假真，则；
综合得实数的取值范围为
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数的单调性以及双曲线的性质，属于中档题．
18.设函数
（1）若不等式的解集为(-1,3),求a,b的值；
（2）若求的最小值．
(3)若,求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据二次不等式与二次方程的关系可求a，b；
（2）由已知可得，a+b=1，然后根据基本不等式的应用条件进行配凑后，进行1的代换即可求解；
（3）把已知条件代入，然后进行分类讨论进行求解．
【详解】（1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程的两根为且
由根与系数的关系可得：
（2）若，则，
，
所以
的最小值为（当且仅当时式中等号成立）
(3) 当，不等式即
即
①，不等式可化为，
原不等式的解集为
② ，原不等式可化为
∴当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
【点睛】本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系，一元二次不等式的解法及分类讨论思想的应用．
19.如图，在C城周边有两条互相垂直的公路，在点O处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC＝4 km，OC与公路夹角为60°.现规划在公路上分别选择A，B两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C城，设OA＝x km，OB＝y km.
(1) 求出y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
(2) 试确定点A，B的位置，使△AOB的面积最小．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
面积相等法，建立的关系式，，根据得；
，分子分母的x的次数不等，要转化为x的次数相等，然后用均值定理。

解：（1）
整理得，
过C作OB平行线与OA交于D，，
故.定义域为.
（2）,
当且仅当即时取等.
所以当时，有最小值为.
答：当OA=4，OB=时，使△的面积最小.
20.已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；
（3）求线段MN的长度的最小值
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用直线x﹣2y+2=0经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，求出A，D的坐标，即可求椭圆C的方程；
（2）设点S的坐标为（x0，y0），可得=，利用点S在椭圆上，即可证明k1•k2为定值；
（3）设直线AS的方程为y=k1（x+2），可得M的坐标，利用，可得直线BS的方程，从而可得N的坐标，求出MN，利用基本不等式，即可求线段MN的长度的最小值．
【详解】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
（2）设
（3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，
故可设直线的方程为，从而
由得0
设则得，从而
即又由得
故又
当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。