自动控制原理例题与习题范文

自动控制原理例题与习题
第一章自动控制的一般概念
【例1】试述开环控制系统的主要优缺点。

【答】
开环控制系统的优点有：
1. 1.构造简单，维护容易。

2. 2.成本比相应的死循环系统低。

3. 3.不存在稳定性问题。

4. 4.当输出量难以测量，或者要测量输出量在经济上不允许时，采用开环系统比较合适（例如在洗衣
机系统中，要提供一个测量洗衣机输出品质，即衣服的清洁程度的装置，必须花费很大）。

开环控制系统的缺点有：
1. 1.扰动和标定尺度的变化将引起误差，从而使系统的输出量偏离希望的数值。

2. 2.为了保持必要的输出品质，需要对标定尺度随时修正。

【例2】图1.1为液位自动控制系统示意图。

在任何情况下，希望液面高度c维持不变，试说明系统工作原理，并画出系统原理方框图。

图1.1 液位自动控制系统示意图
【解】系统的控制任务是保持液面高度不变。

水箱是被控对象，水箱液位是被控量，电位器设定电压u r(表征液位的希望值c r)是给定量。

当电位器电刷位于中点位置(对应u r)时，电动机不动，控制阀门有一定的开度、使水箱中流入水量与流出水量相等。

从而液面保持在希望高度c r上。

一旦流入水量或流出水量发生变化，例如当液面升高时，浮子位置也相应升高，通过杠杆作用使电位器电刷从中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动初通过减速器减小阀门开度，使进入水箱的液体流量减少。

这时，水箱液面下降，浮子位置相应下降，直到电位器电刷回到中点位置，系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度。

反之，若水箱液位下降，则系统会自动增大阀门开度，加大流入水量，使液位升到给定高度c r。

系统原理方框图如图1.2所示。

图1.2 系统原理方框图
习题
1．题图1-1是一晶体管稳压电源。

试将其画成方块图并说明在该电源里哪些起着测量、放大、执行的作用以及系统里的干扰量和给定量是什么？
题图1-1
2．如题图1-2（a）、（b）所示两水位控制系统，要求
(1)画出方块图（包括给定输入量和扰动输入量）；
(2)分析工作原理，讨论误差和扰动的关系。

3．如题图1-3所示炉温控制系统，要求
(1)指出系统输出量、给定输入量、扰动输入量、被控对象和自动控制器的各组成部分并画出方块图；
(2)说明该系统是怎样得到消除或减少偏差的。

4. 图1-4是液位自动控制系统原理示意图。

在任意情况下，希望液面高度c维持不变，试说明系统工作原理并画出系统方块图。

图1-4 液位自动控制系统
5. 图1-5是仓库大门自动控制系统原理示意图。

试说明系统自动控制大门开闭的工作原理并画出系统方块图。

图1-5 仓库大门自动开闭控制系统
第二章 拉普拉斯变换
【例2.1】求以下F(s)的极点：
s e s F --=
11)(
【解】：其极点可由下式求得：
e -s =1
即
1)sin (cos )(=-=-+-ωωσωσj e e j
由上式得到σ＝0，ω＝πn 2±（n=0,1,2,…）。

因此，极点位于
s=πn j 2±, n=0,1,2,…
【例2.2】求函数f(t)的拉普拉斯变换：
f(t)=0, t<0 =te -3t t>=0
【解】：因为
21
)(][s s G t L =
=
由拉普拉斯变换性质可得：
3)3(1)3(][)(+=
+==-s s G te L s F t
【例2.3】求下列函数的拉普拉斯变换：
f(t)=0, t<0 =)sin(
θω+t t>=0 其中，θ为常数。

【解】：因为
θ
ωθωθωsin cos cos sin )sin(t t t +=+
所以
【例2.4】已知
2)1(32)(+++=
s s s s F ，用部分分式展开法求其反变换。

【解】：s=-1是F(s)的三重极点，此时F(s)的部分分式展开应包括三项：
有三个待定系数，其中
再确定和2阶项对应的b 2值： 同理可求得系数b 1：
结果：
其拉氏反变换为：
【例2.5】用MATLAB 求下列函数的部分分式展开：
3
3221)1()1(1)()
()(++
+++==
s b s b s b s A s B s F 2]32[])
()
()1[(1213
3=++=+=-=-=s s s s s A s B s b 0]22[]
32[])()()1[(])1(2[])
()()1[()1()1()
()
()1(1213221211332213
=+=++=+=∴=++=+++++=+-=-=-=-=s s s s s s s ds d
s A s B s ds d b b b s b s A s B s ds d b s b s b s A s B s 1
)32(!21])()()1[(!211
2
221
322
1=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++=⎪⎭
⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=s s s s ds d s A s B s ds d b 3
)1(2
11)(++
+=
s s s F )
0()1(])1(211[
)(223
1≥+=+=+++=----t e t e t e s s L t f t t t 2
222sin cos ωθ
ωωθ
+++=s s
s ]
[cos sin ][sin cos )][sin(t L t L t L ωθωθθω+=+2
2sin cos ωθθω++=
s s
【解】： 输入如下指令：
>> num = [2 5 3 6] num =
2 5
3 6
>> den = [1 6 11 6] den =
1 6 11 6
>> [r ,p,k] = residue(num,den) r =
-6.0000 -4.0000 3.0000 p =
-3.0000 -2.0000
-1.0000 k =
2
故其拉氏反变换为：
【例2.6】已知某控制系统的微分方程为： 【解】：对微分方程取拉氏变换：
整理后得：
习题
F(s) =
2S 3+5S 2+3S+6S 3+6S 2+11S+6
21
3
2436)(++++-++-=
s s s S F )
(2346)(23t e e e t f t t t δ++--=---0
)(2)]0()([3)]0()0()([2=+-+'--s X x s sX x sx s X s )
0()()2()(2
12)
2)(1(3233)(22≥+-+=∴++-
++=++++=
++++=--t e b a e b a t x s b a s b a s s a
b as s s a
b as s X t t 。

求系统响应)(,)0(,)0(0
23t x b x a x x x x ='==+'+''
1、 1、 求下列函数的拉氏变换：
f(t)=0 t<0 =e -0.4t cos12t t>=0
2、 2、 求下列函数的拉氏变换：
f(t)=0 t<0 =3sin(5t+θ) t>=0
3、 3、 求下列函数的拉氏变换：
f(t)=0 t<0 =te -t sin5t t>=0
4、 4、 求下列函数的拉氏变换：
f(t)=0 t<0
=cos ωt ∙sin ωt t>=0
5、 5、 求下列函数的拉氏反变换：
15
)(36)()1(1)(32+=
+=
+++=-s e s F s s s F s s s s s F s
6、 6、 用MA TLAB 求下列函数的部分分式展开：
304621630
965)()5)(3)(1()4)(2(10)(234
2342
++++++++=+++++=
s s s s s s s s s F s s s s s s F
7、 7、 解下列微分方程：
0)0(3)0(0372='==+'+''x x x x x
8、 8、 解下列微分方程：
b
x t A ax x ==+')0(sin ω
第三章 控制系统的数学模型
【例3.1】RC 网络如图3.1所示，其中u 1，u 2分别为网络的输入量和输出量。

现要求：
（1） （1） 画出网络相应的结构图；
（2） （2） 求传递函数U 2(s)/U 1(s)，化为标准形式；
（3） （3） 讨论组件R1，R2，C1，C2参数的选择是否影响网络的绝对稳定性。

图3.1 RC 网络
【解】(1)根据图3.1所示列方程： 输入回路
U 1＝R 1I 1+（I 1+I 2）/(C 2s) (3.1) 输出回路
U 2＝R 2I 2+（I 1+I 2）/(C 2s) (3.2) 中间回路
I 1R 1＝（R 2+1/(C 1s)）I 2 (3.3)
由式（3.1）s C R s
C I s C 1U I 2122
211=- （3.4）
由式（3.3）1s C R s C R I I 12111
2+=
（3.5） 由式（3.2）
222122I )s C 1R (I s C 1U ++=
(3.6)
由式 (3.4)、式(3.5)、式(3.6)可画出系统结构图如图3.2所示。

图3.2 系统结构图
（2）用梅逊公式求出：
1
s )C R C R C R (s C C R R 1s C )R R (s C C R R s
C 11s C R s C R 1s C R s C 1s
C 1
1s C R s C )s C 1R (1s C R s C R 1s C R s C )
s (U )s (U 111221221211212212121212212221222121121212+++++++=
∙+∙++∙
++++∙+=
（3）元件R l ，R 2，C 1，C 2参数均为大于零的常数，且系统特征多项式是二阶，无论R 1，R 2，C 1，C 2怎样取值，系统特征多项式系数总大于零，故不影响系统的绝对稳定性。

【例3.2】某系统结构图如图3.3所示，R(s)为输入，P(s)为扰动，C(s)为输出。

试： （1） （1） 画出系统的信号流图；
（2） （2） 用梅逊公式求其传递函数C(s)/R(s)；
（3） （3） 说明在什么条件下，输出C(s)不受扰动P(s)的影响。

图3.3 系统结构图
【解】(1)将图3.3中各端口信号标注出来(图3.4（a ）)，然后依之画出相应的信号流图(图3.4（b ）)。

图3.4 信号流图
（2）该系统有4条回路，2条前向通道。

3
5134321232213513432123221H G G H G G G G H G G H G G 1)H G G H G G G G H G G H G G (1++++=-----=∆
43211G G G G P = 11=∆ 512G G P = 12=∆
3513432123221514321H G G H G G G G H G G H G G 1G G G G G G )s (R )
s (C +++++=
（3）扰动P(s)到输出C(s)有2条前向通道。

431G G P = H G G 1211+=∆
5232G H G P -= 12=∆
35134321232215232143H G G H G G G G H G G H G G 1G H G )H G G 1(G G )s (P )
s (C ++++-+=
令)s (P )
s (C ＝0得P （s ）不影响C （s ）的条件
52214G H )H G G 1(G =+
【例3.3】已知单位反馈系统的开环传递函数
)3s (s 2G(s)+=
且初始条件为c(0)=-1,c(0)=0。

试求：
（1）系统在r(t)=1(t)作用下的输出响应c(t)； （2）系统在r(t)=2(t)+2t 作用下的稳态误差e ss 。

【解】 依题意可画出系统结构图，如图2.4所示。

（1） （1） 系统闭环传递函数：
2s 3s 2
)s (R )s (C )s (2
++==
Φ
对应系统微分方程： )t (r 2)t (c 2)t (c 3)t (c
=++ 进行拉氏变换得：
)s (R 2)s (C 2)]0(c )s (sC [3)]0(c
)0(sc )s (C s [2=+-+-- )0(c 3)0(sc )0(c
)s (R 2)s (C )2s 3s (2+++=++ 故
)2s )(1s (s 2
s 3s )s (C 2+++--=
分解部分分式得
2s 21s 4s 1)s (C +-
+-=
故
t 2t e 2e 41)t (c --+-=
（2）由于系统稳定，零输入响应最终要趋于零，所以初始条件不影响系统稳态误差。

可以利用终值定理解题。

系统误差传递函数：
2s 3s )
3s (s )s (G 11)s (2
e +++=+=
Φ
3]s 2
s 2[2s 3s )3s (s s lim )s (R )s (s lim )s (E s lim e 22
s e 0
s 0
s ss =+∙+++∙
=∙Φ∙=∙=→→→
习题
1．对题图3-1所示的控制系统，计算，。

3-1 系统框图
2．试求题图3-2所示运算放大器电路的传递函数。

3-2 电路图
3．试列写题图3-3所示双输入-双输出机械位移系统的微分方程并画出系统结构图。

3-3 机械位移系统
4．试用梅逊增益公式求图3-4中各系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)。

图3-4 信号流图
5． 图3-5是两个相互有关联的控制系统，试确定传递函数C1(s)/R1(s)，C1(s)/R2(s)，
C2(s)/R1(s)，C2(s)/R2(s)。

图3-5 关联系统结构图 6．设机械系统如图3-6所示，其中i x 是输入位移，0x 是输出位移。

试分别列写各系统的微
分方程式。

图3-6
机械系统
7． 试证明图3-7(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

图3-7 电网络与机械系统
8． 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出 响应t
t e e t c --+-=21)(，试
求系统的传递函数和脉冲响应。

9． 设系统传递函数为
232
)()(2
++=s s s R s C
且初始条件c(0)=-1,c
(0)＝０。

试求阶跃输入r(t)=1(t)时，系统的输出响应c(t)。

第四章 线性系统的时域分析方法
【例4.1】设控制系统的方框图如图4.1所示，当有单位阶跃信号作用于系统时，试求系统
的暂态性能指标t r 、t p 、t s 和σ%。

【解】：求出系统的闭环传递函数为：
25625
)(2
++=Φs s s
因此有：
)
(93.01.531)(41,6.0),(52
1
121rad tg
s s n d n ==-==-===--- ζ
ζβζωωζω
上升时间t r ： )(55.0493
.014.3s t d r =-=-=ωβπ 峰值时间t p ：
)(785.0414.3s t d p ===
ωπ
超调量σ%： %5.9%100095.0%100e %2
-1-
=⨯=⨯=ζζπ
σ
调节时间t s ：
%)2)((33.15
6.04
4
=∆=⨯=
≈
s t n
s ζω
【例4.2】如图4.2
（1）特征参数ζ和n ω； （2）计算σ%和t s ;
（3）若要求σ%=16%，当T 不变时K 应当取何值？ 【解】：（1）求出系统的闭环传递函数为：
T
K s T s T
K K
s Ts K s /1
/)(22++=
++=
Φ
因此有：
25.021
2/1),(825.0161======
-KT T s T
K
n n ωζω
（2） %44%100e %2
-1-
=⨯=ζζπ
σ
%)
2)((2825.04
4
=∆=⨯=
≈
s t n
s ζω
（3）为了使σ%=16%，由式%16%100e
%2
-1-
=⨯=ζζπ
σ可得5.0=ζ，当T 不变时，有：
)
(425.04)(425
.05.021212/11221--=⨯===⨯⨯===
s T K s T T n n ωζζω
【例4.3】一个二阶系统，要求5.0,707.0==s t ζ,求系统极点位置。

【解】：根据二阶系统参变量定义可得：
习题
1、已知单位反馈系统的单位阶跃响应为
，求
（1）开环传递函数
；
（2）
；
2、设单位反馈控制系统的开环传递函数为
，已知系统在单位阶跃作用
下的误差响应为。

试求系统的阻尼比
，自然频率
和在单位斜坡输入作用下的稳态误差。

3、设题图4-1（a ）所示系统的单位阶跃响应曲线如图4-2（b ）所示，试确定参数K 1、K 2和a 的数值。

题图4-1（a ） 题图4-1（b ）
4
、设系统的微分方程式如下：
)()()(24.0)(04.0t r t c t c t c
=++ 试求系统的单位脉冲响应k(t)和单位阶跃响应h(t)。

5、已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ（ｓ）。

ω
j σ
n
ζω-450θ1ζ
2
1ζ-θn
2
1ζ
ω-n n
ω2
88
88
50445707022
210=±-====n ,
n n
s j s .t .ωζωζωθζ＝＝＝
)1(1.0)(3/t e t k --=
6、已知二阶系统的单位阶跃响应为
)1.536.1sin(5.1210)(2.1o
t t e
t h +-=- 试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。

7、已知控制系统的单位阶跃响应为
t
t
e e
t h 10602.12.01)(---+=
试确定系统的阻尼比ζ和自然频率ωｎ。