山东省烟台市福山区第一中学2020年高三数学理模拟试题含解析

山东省烟台市福山区第一中学2020年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列的前项和为，若，, 则等于（ ） A ．152 B ．154 C ．156 D ．158
参考答案： C 略
2. 某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下
列联表：
偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计
A ．90%
B ．95%
C ．99%
D ．99.9% 附：参考公式和临界值表：
参考答案：
C
3. 已知集合（i 是虚数单位），B ={1,－1}，则A ∩B = A ．{－1}
B ．{1}
C ．{1,－1}
D ．?
参考答案：
C
4. 函数f （x ）=e x
﹣3x ﹣1（e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
D
【考点】3O ：函数的图象．
【分析】利用导数判断f （x ）的单调性和单调区间，根据单调性和单调区间得出答案．
【解答】解：f′（x ）=e x
﹣3，令f′（x ）=0得x=ln3． ∴当x ＜ln3时，f′（x ）＜0，当x ＞ln3时，f′（x ）＞0， ∴f（x ）在（﹣∞，ln3）上单调递减，在（ln3，+∞）上单调递增． 故选D ．
【点评】本题考查了函数单调性与单调区间的判断，属于中档题． 5. 在△ABC 中，，AB =5，AC =6，D 是AB 上一点，且
，则
等于
（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D.4
参考答案：
C 在
中，
，
，是
是上一点，且
，
如图所示，
设
，所以
，
所以
，
解得，所以，故选C ．
6. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序
框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入，，，则输出的（）
(A)(B)(C)(D)
参考答案：
A
经验证必须返回，时通过，选A.
7. 已知集合，，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
试题分析：,所以，故选C.
考点：1.特殊三角函数值；2.集合的运算.8. 若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）
A．0 B．C．D．
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【分析】设z=，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=，则y=﹣x+z
平移直线y=﹣x+z，则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，
由得，即A（1，），
此时z=×1+=2，
故选：C
9. 已知角终边上一点的坐标为(sin120°,cos120°)，则（）
A.330°
B. 300°
C. 210°
D.120°
参考答案：
A
10. 若函数的图像关于点对称，且当时，
，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某射击运动员再一次测试中设计10次，其测试成绩如下表：
则该运动员测试成绩的中位数为 .
参考答案：
8.5
【知识点】众数、中位数、平均数．
解析：根据题意得：该运动员射击10次命中环数从小到大的顺序如下，7、7、7、8、8、9、9、10、
10、10；∴则该运动员测试成绩的中位数为．
故答案为8.5．
【思路点拨】根据中位数的定义，结合表中数据，求出答案．
12. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空, 样本数据落在范围[10,14]内的频数为________．
参考答案：
36
13. 若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：
①、；
②对于的任意子集、，当且时，有；
③对于的任意子集、，当且时，有；
则称是集合的一个“—集合类”.
例如：是集合的一个“—集合类”。

已知集合，则所有含的“
—集合类”的个数为
.
参考答案：
10
14. 如图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象．已知n取±2，±
四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为____________．
参考答案：
2，，－，－2．
略
15. 从1,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率= ．
参考答案：
16. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
参考答案：
答案：①③④⑤
解析：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC 1A 1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A －A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA 1DC ，所以填①③④⑤。

17. 在
中,
则
的形状为
．
参考答案：
等腰三角形
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1
C 1
中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AC=AB 1． （1）证明：AB ⊥B 1C ；
（2）若∠CAB 1=90°，∠CBB 1=60°，AB=BC=2，求三棱锥B 1﹣ACB 的体积．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，由题意可得B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 和BC 1 的中点．结合AC=AB 1，可得AO ⊥B 1C ，再由线面垂直的判定定理可得B 1C ⊥平面ABO ，进一步得到AB ⊥B 1C ；
（2）由侧面BB 1C 1C 为菱形，且∠CBB 1=60°，可得△BCB 1为等边三角形，求解直角三角形得到BO ，再证得AO ⊥OB ，可得AO ⊥平面BCB 1，然后利用等积法求得三棱锥B 1﹣ACB 的体积． 【解答】（1）证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ， ∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 和BC 1 的中点． ∵AC=AB 1，∴AO ⊥B 1C ，又AO∩BC 1=O ， ∴B 1C ⊥平面ABO ，
由于AB?平面ABO ，故AB ⊥B 1C ；
（2）解：∵侧面BB 1C 1C 为菱形，且∠CBB 1=60°，
∴△BCB 1为等边三角形，即BC=BB 1=B 1C=2． 在Rt △BOC 中，BO=
．
∵∠CAB 1=90°，∴△ACB 1为等腰直角三角形，又O 为B 1C 的中点， ∴AO=OC=1，
在△BOA 中，AB=2，OA=1，OB=，∴OB 2+OA 2=AB 2成立，则AO ⊥OB ，
又AO ⊥CB 1，∴AO ⊥平面BCB 1， ∴
=
．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
19. （本小题满分14分）已知函数，曲线
在点
处的切线为
:
，且时,
有极值.
（1）求的值；
（2）求函数
在区间
上的最大值和最小值. 参考答案：
切线的斜率
，
，将
代入切线方程可得切点坐标
，根据题意可联
立得方程
解得
（2）由（1）可得
，
令
，得
或
.
极值点
不属于区间
,舍去.
分别将
代入函数
得
.
20. （本题满分12分） 复数，
（其中
，为虚数单位）. 在复平面上，复数
、
能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．
参考答案：
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.
【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切. 【参考答案】设复数
，
能表示同一个点，则
, ……………………3分
解得或. ………………………………7分 当
时，得
，此时
. ……………9分
当时，得，此时. ……………11分
综上，复平面上该点表示的复数为或． ……………12分
21. 某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）；
（Ⅱ）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级
班选出的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；
（Ⅲ）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是8，9，10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记
为
，试判断
与
的大小．（结论不要求证明）
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．
【分析】（Ⅰ）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，能求出高三年级的教师共有多少人．
（Ⅱ）从高一、高二年级分别抽取一人，共有35种基本结果，利用列举法求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果种数，由此能求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率．
（Ⅲ）利用平均数定义能判断
与
的大小．
【解答】解：（Ⅰ）抽出的
20
位教师中，来自高三年级的有
8
名，
根据分层抽样方法，高三年级的教师共有300×
=120（人）．
（Ⅱ）从高一、高二年级分别抽取一人，共有35种基本结果， 其中甲该周备课时间比乙长的结果有：
（7.5，7），（8，7），（8.5，7），（8.5，8），（9，7），（9，8），共6种， 故该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果有35﹣6=29种， ∴该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率p=．
（Ⅲ）
．
22. 设常数λ＞0，a ＞0，函数f （x ）=
﹣alnx ．
（1）当a=λ时，若f （x ）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a ，证明：存在实数x 0，当x ＞x 0时，f （x ）＞0．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用．
【分析】（1）当a=λ时，函数f（x）=﹣（x＞0）．f′（x）
=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．
（2）函数f（x）=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．
f′（x）=﹣=，
∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．
∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，
∴f（（λ）==0，解得λ=．
（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．
u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，
∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。