高三数学综合练习文科卷 试题

山东省外国语学校2009届高三年级综合练习数学文科卷
第Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．集合{}
R x x y x A ∈+-==),11lg(，集合
⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧∈>=R x x B x ,4)21(，则B A ⋃等于 （ ）
A ．),0(+∞
B ． )2,(--∞⋃[),1+∞
C ．)2,(--∞⋃[),0+∞
D ． ),1[+∞
2．直线01=-+ny mx 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是 （ ）
A ．0mn <
B ．1,1m n ><且
C ．0,0m n ><且
D ．0,0m n <<且
3．已知ααcos sin -=22
，则sin 2α等于
（ ）
A ．21-
B ． 21
C ．±23
D ．±21
4．已知回归直线的斜率的估计值是2.5，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（ ）
A ．y ˆ
=4x ＋5
B ．y ˆ=2.5x+5
C ．y ˆ
=4x-5
D ． y ˆ=2.5x-5
5．某学校有教师160人，其中高中教师有104人，初中教师32人，小学教师24人，现从 中抽取一容量为20的样本，用分层抽样方法抽取的初中教师人数为 （ ）
A ．3人
B ．4人
C ．7人
D ．12人
6．如右图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的表 面积为
（ ）
A ．222+
B ． 22
2+
C ．22+
D ．21+
7．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①双曲线1
162522=-y x 的离心率为53；
②抛物线
x y 62
-=的焦点坐标是)0,3(-； ③椭圆
9922=+y x 上任一点P 到两焦点距离之和为6； ④圆0222=-+y y x 与圆
422=+y x 恰好相切. 其中所有真命题的序号为 （ ）
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．③④
8．右图中程序运行后输出的结果为 （ ）
A ．3 43
B ． 43 3
C ．-18 16
D ．16 -18
9．已知x 、y 满足约束条件x y y x y x x 则
,0
22011
⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥的取值范围是
（ ）
A ．]2,0[
B ．),0[+∞
C ．)
,34
[+∞ D ．),2[+∞
10．函数)
10()0(31
)0(2)(≠>⎪⎩⎪⎨⎧≥<+-=a a x a x a x x f x 且是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．)
1,31
[ C ．]31
,0( D ．
]32
,0( 11．已知实数,,,a b c d 成等比数列，且曲线3
3y x x =-的极大值点坐标为(,)b c ，则ad 等
于 （ ）
A ．2
B ．1
C ．-1
D ． -2
12．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分 钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离， 则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是
（ ）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．若不等式011
2>--+-k x x x 对一切1>x 恒成立，则k 的取值范围为 ．
14．若
)
54
(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为 ． 15．已知直线m ,n ，平面α,β，给出下列命题： ① 若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ② 若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ； ③ 若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ④ 若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥．
其中不正确的命题的序号是 ．
16．已知*
,2)(,02),2()2(,)(N n x f x x f x f x f x ∈=≤≤--=+若时当且为偶函数，
=
=2009),(a n f a n 则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c B a C b cos cos 3cos -=．
（1）求B sin 的值；
（2）若22,2==⋅b BC BA ，求a 和c 的值．
18．（本小题满分12分）
已知等比数列｛
n
a ｝中
n a >，1a ＝2，且22a -，
2
3+a ，2151-a 成等差数列．
（1）求数列｛n
a ｝的通项公式；
（2）设
n
n a b 2
1log 10+=，且
21
21-=+++n b b b ，求n ．
19．（本小题满分12分）
一个盒子中装有标号为0，1，2，3，4，5的6张标签，随机地选取两张标签．
（1）求选出的两张标签的数字之和为5的概率；
（2）如果用选出的两张标签上的数字能组成一个两位数，求该两位数能被5整除的概率．
S
A
B
C
20．（本小题满分12分）
在三棱锥ABC S -中，
90=∠=∠=∠ACB SAC SAB ，24,4,2===SB BC AC ．
（1）证明：SC ⊥BC ； （2）求二面角A-BC-S 的大小；
（3）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值.
21．（本小题满分13分） 如图已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴是短轴的2倍，且点M （2，1）在椭
圆上，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），且交椭圆于A 、B 两点．
（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；
（3）设直线MA 、MB 斜率分别为k1，k2，求证：
22．（本小题满分13分） 已知函数
c bx ax x x f +++=2
3)(的图象经过原点，且在1=x 处取得极值，曲线
)(x f y =在原点处的切线与直线063=-+y x 互相平行．
（1）求)(x f 的解析式；
（2）求)(x f 在]2,2[-上的单调区间；
（3）已知任意实数α和β求证：|f )sin 2(α―f )sin 2(β|4≤成立．
参 考 答 案
一、选择题 1．解析：
{}
1≥=x x A ，
{}
2-≤=x x B ，故选B ．
2．解析：
n x n m y 1+-
=，01
,0<>-n n m ，0,0m n ><且，故必要但不充分条件是A ．
3．解析：两边平方可得．故选B ．
4．解析：样本点的中心一定在回归直线上，故选D ．
5．解析：分层抽样一定要按比抽取，比为81
，故选B ．
6．解析：该几何体为四棱锥，故选C ．
7．解析：①离心率为541；②焦点坐标是)
0,23
(-，故选D ．
8．解析：选A ．
9．解析：x y
表示区域内的点与原点连线的斜率，故选C ．
10．解析：
31
10>
<<a a 且，故选B ．
11．解析：曲线3
3y x x =-的极大值点坐标为（1，2），故选A ．
12．解析：因为圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 与下落时间t （分）的函数关系反映
在图像上先慢后快．故选B ．
二、填空题
13． )3,(-∞ 14．43
-
15．②③
16．21
13．解析：112-+-<x x x k 对一切1>x 恒成立，,
3111
1112≥+-+-=-+-x x x x x 所以3〈k ．
14．解析：,054cos ,053sin ≠-=-
θθ所以θtan =43-．
15．解析：②③错
16．解析：由)2()2((x f x f x f -=+）是偶函数及得f(x+2)＝f(x-2)得f(x)为周期函数，
21
)1()1()2009(2009
=
-===f f f a ．
三、解答题
17．（1）解：由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， 所以B c B a C b cos cos 3cos -=可化为
B C R B A R C B R cos sin 2cos sin 6cos sin 2-=，
∴B C B A C B cos sin cos sin 3cos sin -=，
∴b A C B C B cos sin 3sin cos cos sin =+即B A C B cos sin 3)sin(=+，
∴B A A cos sin 3sin =，又0sin ≠A ，
∴
31cos =
B ,
又B 是三角形的内角,即π<<B 0,
∴
32
2)31(1sin 2=
-=B . （2）解：由2=⋅BC BA 可得2cos =⋅⋅B c a ，又31
cos =
B ，故6=ac ，
由B ac c a b cos 2222-+=可得122
2=+c a ，
所以
0)(2
=-c a 即c a =，∴6==c a ． 18．（1）解：设数列｛n
a ｝的公比为q ，由22a -，2
3+a ，2151-a 成等差数列，
3224228a a ∴+=-+，即
2112(4)228
a q a q +=-+，
解得：2,q =或3q =-；0
n a >，2q ∴=，
∴数列｛
n
a ｝的通项公式为：
112n n
n a a q -=⋅=．
（2）
12
10log 10n n b a n
=+=-，
()()()()
1211011021010212n n n b b b n n +∴++
+=-+-+-=-
=-，
解得212n n ==-或（舍去），
21n ∴=．
S
A
B
C
D
19．解：（1）从6张标签中取两张标签基本事件有：0-1，0-2，0-3，0-4，0-5，1-2，1-3，1-4， 1-5，2-3，2-4，2-5，3-4，3-5，4-5，共15种，
其中两张标签数字之和为5的基本事件有：0-5，1-4，2-3，共3种，
每个基本事件出现的概率相等，
所以选出的两张标签的数字之和为5的概率为
51
1531=
=P （2）任取两张标签能组成的两位数共有：十位是1的有5个；十位是2的有5个；十位 是3的有5个；十位是4的有5个；十位是5的有5个；总共有25个．
能被5整除的有：个位是0的5个，个位是5的有4个，共9个，
每一个两位数出现的概率相等，所以所求的概率为
259
2=
P
20．解：（1） , ,SA AB SA AC ⊥⊥且,AB AC A SA =∴⊥平面ABC ，
∴AC 为SC 在平面ABC 内的射影．
又AC ⊥BC ， ∴BC ⊥SC ．
（2） 由（1）BC ⊥SC ，又BC ⊥AC ， ∴SCA ∠为所求二面角的平面角． 又∵SB =,24BC =4，
∴SC =4 ． ∵AC =2 ， ∴SCA ∠=60°
即二面角A BC S --大小为60°
（3）过A 作SC AD ⊥于D ，连结BD , 由（2）得平面BC ⊥平面SAC ,又BC ⊂平面SBC , ∴平面SAC ⊥平面SBC ,且平面SAC 平面SBC SC =,
∴⊥AD 平面SBC .
∴BD 为AB 在平面SBC 内的射影.
所成角与平面为SBC AB ABD ∠∴.
在ABC ∆Rt 中，
在SAC ∆Rt 中，322
2=-=AC SC SA ，3AD =.
∴ABD sin =.
所以直线B A 与平面SBC 所成角的正弦值为1051.
21．解：（1）设椭圆方程为122
2
2=+b y a x （a>b>0）,
则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=28114222
22b a b a b a ∴所求椭圆方程1282
2=+y x .
（2） ∵直线l ∥DM 且在y 轴上的截距为m ，∴y=21
x+m.
由04221282
1222
2=-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ,
∵l 与椭圆交于A 、B 两点,∴△=（2m ）2-4（2m2-4）>0⇒-2<m<2（m ≠0）
（3）设A （x1，y1），B （x2，y2），则k1=2
1
11--x y ，k2=
2
1
22--x y
由x2+2mx+2m2-4=0得x1+x2=-2m ，x1x2=2m2-4
而k1+k2=
2
111--x y +2122--x y =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y （*）
又y1=21x1+m,y2=21x2+m, ∴（*）分子=（21x1+m-1）（x2-2）+（ 21
x2+m -1）（x1-2）
=x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）=2m2-4+（m-2）（-m ）-4（m-1）=0 ∴k1+k2=0，证之．
22．（1）解：由题意有f(0)= c=0，f ノ(x)=3 x2+2ax+b ，且f ノ(1)= 3+2a+b=0． 又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=f ノ(0)= b ，而切线与直线063=-+y x 互相平行，
∴b=―3．代入3+2a+b=0得a=0．
1051523=
5
2=AB
故f(x)的解析式为f(x)=x3―3x．
（2）解：由fノ(x)=3x2―3=3(x―1) (x+1)，
]2,2
[-
∈
x，可知，f(x)在(－2，―1)和[1，2]
上递增；在[－1，1]递减．
所以
)
(x
f在]2,2
[-上的单调区间为(－2，―1)，[1，2]，[－1，1]．
（3）证明：∵对于任意实数α和β有2sinα，2sinβ∈[－2，2]．由（2）可知f(x)在(－2，―1)和[1，2]上递增；在[－1，1]递减．又f(―2)= ―2，f(―1)= 2，f(1)= ―2，f(2)= 2，
∴f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为―2和2．
∴对于任意实数α和β恒有| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤|2|)2
(-
-4
=。