四川省双流中学2016届高三12月月考文数试题 含解析

一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1．若,,a b R i ∈为虚数单位,且()a i i b i +=+，则( )
A ．1,1a b ==
B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b =-=-
D ．1,1a b ==- 【答案】D
考点:复数相等的概念． 2．已知()()4,2,,3a b x ==，且a b ，则x =（ )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，a b ，则
42
63
x x =⇒=,故选A ．
考点:向量的运算． 3．已知命题010
:,21x p x R -∃∈≤，则命题p ⌝为（ )
A ．010
,21x x
R -∃∈≥
B ．010
,21x x
R -∃∈>
C ．1
,21x x R -∀∈≤ D ．1
,2
1x x R -∀∈>
【答案】D
【解析】
试题分析:由题意得，根据全称命题与特称命题互为否定，所以命题
010:,21x p x R -∃∈≤,命题p ⌝为“1,21x x R -∀∈>”,故选
D ．
考点:全称命题与特称命题的关系．
4．已知矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE
内部的概率为（)
A．1
4B．1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】C
考点：几何概型及其概率的计算．
5．某几何体的正视图与侧视图都是等腰梯形，则该几何体可以是下列几何体中的（)
①三棱台，②四棱台,③五棱台,④圆台．
A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则根据几何体的三视图的规则可知，该几何体可能为四棱台或圆台，故选D．
考点：空间几何体的三视图．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力,属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐"的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，只是给出了几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，从而可得这个几何体可能是四棱台或圆台．6．如图所示的程序框图，若输出S的值为127，则判断框中的条件可以是( )
A．5?
n≥
n≥D．6?
n≤C．5?
n≤B．6?
【答案】B
考点:
循环结构的程序框图的结果输出． 7．已知22
221
log 9log 3,1log 7,log 132
a b c =-=+=+,则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
【答案】B 【解析】
试题分析：22
222221
log
9log 3log 33,1log 7log 27,log 13log 262
a b c =-==+==+=因为函数2
log y x =是增函数,且2
73326>>,所以b a c >>，故选B ．
考点：对数的运算及对数函数的性质． 8．已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,若10
301,5S
S ==,则40S =( ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 【答案】B 【解析】
试题分析：根据等差数列的性质,10
201030204030,,,S S S S S S S ---构成等差数列,
所以
20103020104030()()()S S S S S S S -+-=+-,即3010403010S S S S S -=-+，所以405151S -=-+,所以 408S =，故选
B ．
考点：等差数列的性质．
9．已知,αβ是两个不同的平面,,,a b c 是三条不同的直线，则下列条件中,是a
b 的充分条件的个数为（
)
①,,a b
αβαβ⊂； ②a
c ,且b c ；
③,,,,c a b a
b α
βαββα=⊂⊂;
④a c ⊥，且b c ⊥．
A ．2
B ．0
C ．3
D ．1 【答案】A
考
点：直线与平面位置关系判定及充分条件的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与直线平行的判定与证明及直线与平面的位置关系的判定与证明、充分条件应用，着重考查了线面位置关系的判定定理与性质的应用，属于中档试题,解答此类问题的关键在于牢记直线与平面位置关系的判定定理与性质定理，能准确表达定义的条件和结论,同时有时也可通过举出反例说明命题是假命题．
10．在抛物线2
y
x =上有两动点,A B ,且4AB =，则线段AB 的中点M 到y 轴
的距离的最小值为（ ）
A ．34
B ．54
C ．74
D ．94
【答案】C 【解析】
试题分析:由题意得，抛物线2
y
x =的焦点坐标为1
(,0)4
F ，准线方程为1
4
x =-
，根据抛物线的定义可知,因为4AB =，要使得线段AB 的中点M 到
准线的距离的最小，（当且仅当,,A B F 三定共线时,能取得最小值），此
时1211442AB AF BF x x =+=+++=,所以1272
x x +=,所以线段AB
的中点M 到y 轴
的距离的最小值为12724
x x +=，故选C ．
考点：抛物线的定义与简单的几何性质的应用．
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用,主要解决了抛物线上的点到焦点的距离的最值问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，着重考查了转化的思想方法,属于中档试题，本题的解答中,利用抛物线的标准方程和抛物线的定义将点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求解1
2
x x +的值，从而求解线段AB 的中点M 到y 轴的距离．
第Ⅱ卷(非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．） 11．已知全集{}{}2,3,4,5,6,3,5U
U C A ==，则集合A 用列举法表示为______．
【答案】{}2,4,6 【解析】
试题分析：由题意得，{}{}2,3,4,5,6,3,5U
U C A ==，则{}2,4,6A =．
考点：集合的运算．
12．已知α为第二象限角，且3cos 5
α=-，则tan α的值为______．
【答案】43
-
【解析】
试题分析：由题意得，α为第二象限角,且3cos 5
α=-，则4sin 5
α=，所以
sin 4
tan cos 3
ααα=
=-． 考点：三角函数的基本关系式．
13．若点()
2,0P 到双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线的距离为
则该双曲线的离心率为______． 【答案】2
【解析】
试题分析:因为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线的方程为0bx ay +=,
所以点()2,0P 到渐近线的距离为22
222b b
d c
a b ==
=+，所以222c b =,所以a b =，所以离心率为
22
2c a b e a a
+===．
考点：双曲线的几何性质的应用．
14．长方体的三个两两相邻的面的面积分别为2,3，6,且这个长方体的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为______． 【答案】14π
考
点：长方体的性质及球的表面积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了长方体的对角线长公式及球内接多面体的有关知识、球的表面积的求解，本题的解答中注意球的直径与长方体的对角线长的关系是解答本题的关键，同时着重考查了转化的思想方法和计算能力、空间想象能力．本题的解答中，根据长方体的相邻的三个面的面积分别为2,3,6，可得长方体的一个顶点的三条
棱长为1,2,3，从而利用对角线长得到球的直径,可求球的表面积．
的实数根的15．已知函数()22
=∈
=-，设关于x的方程()()
f x x x
f f x a a R
⎡⎤
⎣⎦
个数为()
g a，
有下列五个命题:
①()04
g=；
②()16
g=；
③当0
g a=；
a<时,()0
④当01
g a=；
<<时，()8
a
⑤当1
g a=．
a>时，()3
其中正确的有______（写出所有正确命题的序号）．
【答案】①③④
【解析】
考点:
函数的图象及方程根的个数问题．
【方法点晴】本题主要考查了含绝对值函数的图象的应用及方程根的个数的判定,着重考查了转化的思想方法和数形结合的数学方法的应用，试题有一定的难度，属于难题,本题的解答中，根据函数
()22f x x x
=-,作出图象,设()t f x =，则()f f x a =⎡⎤⎣⎦，即()f t a =，先根据函数的
图象，由a 的取值判定t 的值或范围，进而得到方程()f f x a =⎡⎤⎣⎦根的个数．
三、解答题（本大题共6小题,共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16．（本小题满分12分)
如图,在四边形ABCD 中，3,73,14,7,120AB BC CD BD BAD ====∠=︒．
（1）求AD 边的长； (2）求ABC ∆的面积．
【答案】（1）5AD =；（2333
考
点：正弦定理与余弦定理的应用． 17．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n
a 的公比为2
30,12q a
a >+=，且416a =．
(1)求数列{}n
a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，求数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
【答案】（1)2n
n a =;(2）122
2n n n
n T +--=．
【解析】
试题分析:（1）根据等比数列的通项公式,列出关于首项1
a 和公比q 的
方程组，求解数列的首项1
a 和公比q ，即可得数列的通项公式;（2)由
(1),可得2log 2,
2
n n n
n n b n b
n a ===，在利用乘公比错位相减法求解数列的和．
考点：等比数列的通项公式及数列的求和．
18．（本小题满分12分）
在某个班随机抽取了10名学生的身高数据如下茎叶图所示（单位:cm),且该组数据的中位数为171，
茎叶图中有一个数据被污损，用字母x表示．
（1)求x的值，并估计该班学生身高的平均值；
（2）为进一步了解学生的身高情况，在身高不低于170cm的这5名学生中随机抽取3名学生，求至少有
两名学生的身高低于178cm的概率．
【答案】（1）3x =，()170cm ；（2)710
．
【解析】
试题分析:(1)根据中位数的概念，列出方程，()1701691712
x ++=,求解x 的
值，在利用平均数的计算公式求解平均数；(2）列举出基本事件的空间，找出事件至少有两名学生的身高低于178cm 的个数，利用古典概型的概率公式计算概率．
考
点：茎叶图中数据的计算及古典概率及其概率的计算． 19．（本小题满分12分）
如图，在长方体111
1
ABCD A BC D -中，面1
BMD N 与棱1
1
,CC AA 分别交于点,M N ,
且,M N 均为中点．
(1）求证：AC 面1
BMD N ；
(2）若1
2,2
2,AD CD DD O ===为AC 的中点．1BD 上是否存在动点F ,使得OF ⊥
面1
BMD N ？
若存在，求出点F 的位置，并加以证明;若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析;（2）当点F 满足1
3D F BF =时，直线OF ⊥面1
BMD N ．
又
1,MN BD 是平面四边形1BMD N 的对角线,所以它们必相交，所以OF ⊥面1BMD N ．
考点：线面位置关系的判定与证明;立体几何的探索性问题的证明． 20．（本小题满分13分）
如图，在直角坐标系xOy 中,椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左右焦点分别为
12,F F ，左、右、上、
下四个顶点分别为,,,A C B D ，四边形1
2
F BF D 的面积与四边形ABCD 的面
积的比值为
6
3
． (1)求椭圆E 的离心率；
（2)设椭圆E 的焦距为22,直线l 与椭圆E 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求证：直线l 恒与一定圆
相切，并求出该圆的方程;
【答案】（1）
6
3
（2)2234x y +=．
考
点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质;直线与椭圆位置关系的综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆位置关系的综合应用,着重考查了分类讨论的数学思想方法及推理、运算能力，试题有一定的难度,属于难题，本题的解答中当直线l 的斜率存在时,设出直线y kx m =+,代入椭圆的方程，利用韦达定理得
1212
,x x x x +⋅,再结合直线方程得
()22
121212y y k x x km x x m ⋅=+++,由
0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅=，
整理得()22431m k =+即可求解原点O 到直线l 的距离，当直线l 的斜率不存在时，利用三角形的性质,确定点到直线的距离，得到圆的半径,即可求解圆的方程． 21．(本小题满分14分）
已知函数()()x
f x ax a e =-(a R ∈,且0,a e ≠为自然对数的底数）的导函数为
()f x '．
（1）求()f x 的单调区间;
(2）设曲线()y f x =上任意一点的切线的倾斜角为α，当a e =时，求α的取值范围；
(3）若()()()2
0,3a g x f x f x x '==--,求函数()g x 的零点个数．
【答案】（1）当0a >时,()f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为
(),0-∞，当0a <时，()f x 的单调递增区间为(),0-∞,单调递减区间为()0,+∞;
（2)30,,24πππ⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢
⎢⎣
⎭⎣⎭
；（3）()g x 在R 上有且只有三个零点．
所以
α的取值范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
;
从
而，()g x 在R 上有且只有三个零点． 解法
2：验证知，()g x 的零点不为零，由()2
30x
g x e x =-=得23x
e x
=,
令()()20x
e h x x x =≠，则()()32x e x h x x
-'=，由()0h x '=,得2x =，列表如下：
x
(),0-∞ ()0,2 ()2,+∞
()h x ' +
-
+
()h x
↑ ↓ ↑
考点：利用导数研究函数的单调性与求解函数的最值；导数在函数中的综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与求解函数的极值、最值及导数在函数中的综合应用,试题难度较大，属于难题，同时着重考查了分类讨论的数学思想方法、数形结合的思想及转化与化归的思想的综合应用，本题的解答中曲线上一点的切线的斜率()x
k f x ex e '==⋅，令()x
F x ex e =⋅,求解()F x '，令()0F x '=，求解函数的单调
区间和最值，即可得斜率k 的取值范围,从而求解倾斜角的范围； 由()23x
g x e
x =-，()6x h x e '=-，由()0h x '=,得ln 6x =，得到函数()h x 的单调区间
和最值,利用零点的判定条件，结合函数的图象即可求解()g x 在R 上零点的个数．。