2-06气体的可逆过程
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§1.6 气体可逆膨胀压缩过程， 理想气体绝热可逆过程方程式
例1： a.向真空膨胀 b.一次恒外压膨胀 c.二次恒外压膨胀
d.无限多次恒外压膨胀
1m0.633kPa t2=0℃
求W(a) 、W(b)、 W(c) 、 W(d) 。
体积功动画 膨胀1 膨胀2 膨胀3
V2
1
一般运算中，常采用下式来计算绝热过程的功：
W U
T2
T1
nCV ,m dT (绝热过程，可逆与不可 逆均可 )
例34 讨论 作业
18
2006年第四次课
例2 3mol理想气体于恒温298.15K条件下由始态 V1 = 20.0dm3可逆膨胀到末态V2 = 50.0dm3 . 求始, 末态气体的压力p1 , p2 以及膨胀过程的可逆功Wr . n = 3 mol Pg p1 = V1 = 20dm3 T1 = 298.15K 恒温可逆 n = 3 mol Pg p2 = V2 = 50dm3 T2 = 298.15K
Reversible process
⑴定义:将推动力无限小、系统内部
及系统与环境之间在无限接近平衡条 件下进行的过程，称为可逆过程。
7
⑵条件:① 系统内外的强度性质只能相差无限小,且 无摩擦力。T = T(环) dT (非绝热时) ， 即系统与环境间无限接近热平衡。
②p = p
dp (非刚壁时)，即系 统与环境间无限接近力平衡。
因是理想气体, 恒温, 可逆过程, 故
Wr
V2 V1
V2 pdV nRT ln V1
{3 8.314 298.15ln(50.0 / 20.0)}J 6814 J
20
例34 1 mol氧气由0℃, 106Pa，经过（1）绝热可 逆膨胀；（2）对抗恒定外压Psu= 105Pa绝热不可 逆膨胀，使气体最后压力为105Pa，求此两种情况 的最后温度及环境对系统所作的功。 已知：已知该气体 CV, m = 21.05J· 1· 1. mol K 解（1）绝热可逆膨胀 1mol O2 p1 = 106Pa T1 = 273.15K
二次恒外压膨胀
2 V1 V2 无限多次膨胀
3
状态1
状态2
无限多次恒外压膨胀 过程相当于将细沙一 粒一粒取下。
无限多次恒外压膨胀过程图示
在整个膨胀过程中，p环= p －dp
W(d ) P环dV
V2 V1
2( P dp )dV
V V1
PdV
V2 V1
4
p p1 p2 V1 V2 一次恒外压压缩 p p1 p2 V 1 1
Q = 0, dU＝ W 理想气体 dU = nCV, mdT 过程可逆 W＝－pdV nCV, mdT ＝－pdV
dV nCV ,m dT nRT V
13
dT R dV T CV ,m V
又 Cp, m－CV, m＝R
C p,m CV ,m dV dT dV (1 ) T CV ,m V V
p p1 P’ p2
1
V2 二次恒外压压缩
V1 V’
V
体积功动画 2 V1 V2 无限多次压缩 V
5
结论： ⑴功是途径函数! ⑵无限多次膨胀过程中，系统对环境作最大功； 无限多次压缩过程中，环境对系统作最小功。 ⑶d过程是热力学中一种极为重要的过程。 此即我们将要研究的热力学可逆过程。
6
1.可逆过程
19
n = 3 mol Pg p1 = V1 = 20dm3 T1 = 298.15K
恒温可逆
n = 3 mol Pg p2 = V2 = 50dm3 T2 = 298.15K
p1 = nRT/V1 =3 8.314 298.15/(20 10－3) = 371.8 kPa p2 = nRT/V2 =3 8.314 298.15/(50 10－3) = 148.7 kPa
(环)
8
⑶特性: a. 过程无限慢, 时间无限长; b. 系统对环境作功最大, 环境对系统 作功最小; c. 正向逆向功相抵(热亦然), 系统环 境都复原。
9
2.可逆体积功
体积功通式： W p(环)dV
V2 V1
可逆体积功：
W
V2
p(环)dV
可 逆p
p环
V1
V2
pdV
22
(2)绝热恒外压逆膨胀
1mol O2 p1 = 106Pa T1 = 273.15K 绝热恒外压膨胀 Psu= 105Pa
p2 T2 T1 p 1
1
1mol O2 p2 = 105Pa T’2= ?K
因不可逆
nRT2 nRT1 W2 psu V psu (V2 V1 ) psu p p 1 2
1
a.向真空膨胀 恒外压过程
p环=0
W(a) =0
b.一次恒外压膨胀
W p(环)dV p环 (V2 V1)
V2 V1
p p1 p2
1
2 V1 V2 一次恒外压膨胀 V
2
c. 二次恒外压膨胀
p p1 1 2
P’ p2 V1 V’
d.无限多次恒外压膨胀 p p1 p2 1
V2
绝热可逆膨胀
1mol O2 p2 = 105Pa T2= ?K
21
1mol O2 p1 = 106Pa T1 = 273.15K
绝热可逆膨胀
1mol O2 p2 = 105Pa T2= ?K
T2 P2 T P 1 1
1
1
已知该气体 CV, m = 21.05J· 1· 1. mol K
1
15
T2 V2 T V 1 1
1
1
利用理想气体状态方程, 又可得
T2 P2 T P 1 1
1
1
P2 V2 1 P V 1 1
W2 U nCV ,m (T2 T1 )
23
nRT2 nRT1 psu p p nCV ,m (T2 T1 ) 1 2
1 ( 1) T2 T1 1 ( 1) psu p1 psu p2 203.6 K
以上三式称为理想气体绝热可逆过程方程 Equations of adiabatic reversible process， 应用条件：封闭系统, W ＝0, 理想气体, 绝热, 可逆过程. 常见错误: 将上式用于绝热非可逆过程!
16
理想气体绝热可逆过程方程的另一表示形式
pVγ 常数
Tp
(1 ) /
式中 def C p,m / CV ,m
称作理想气体的绝热指数．
2004年第三次课
14
dlnT = (1－γ) dlnV
ln(T2/T1) = ln(V2/V1)
T2/T1 = (V2/V1
T2 T 1 V2 V 1
1－ γ )
1
1－γ
W2 U nCV ,m (T2 T1 ) 1mol 21 .05 J . K 1 .mol 1 ( 203 .6 273 .15 ) K 1465 J
由此可见，由同一始态经过可逆与不可逆两种绝热变化 不可能达到同一终态，即 T2 T2 U U ; 。
常数
适用条件：封闭系统, W f＝0, 理想气体, 绝热, 可逆过程。
TV ( 1) 常数
17
绝热可逆过程的功
W r,a
V2 V1
pdV
V2 V1
( p1V1 / V )dV
p1V1 p1V1 1
V2 V1
V 1
dV 1 V1
1
例2
2005年第三次课
11
4.理想气体绝热可逆体积功
Work of adiabatic reversible process of perfect gas
可逆体积功
Wr pdV
V2 V1
可逆过程的 p = f(V)关系称为可逆过程方程
理想气体可逆恒温过程 p = nRT/V.
12
理想气体绝热可逆过程方程
V1
10
3.理想气体恒温可逆体积功 理想气体, 恒温,可逆过程： Isothermal reversible expansion
Wr
V2
pdV
V2
V1
理想气体
V1
nRT dV 恒 温 nRT V
V2
V1
1 dV V
p1 V2 W r nRTln nRTln V1 p2
24
讨论题：
1. 体积功的计算式 是 W V p(环)dV
V2
1
, 在系统发生
什么变化的情况下, 可以用系统的压力代替环境的压力？ 2. 一气体从某一状态出发，经绝热可逆压缩或经恒温
可逆压缩到一固定的体积，哪种压缩过程所需的功大， 为什么？如果是膨胀，情况又将如何？
27
γ= Cp, m /CV, m =1.395
p2 T2 T1 p 1
1
( 273.15K ) (0.1)0.283 142.4 K
绝热可逆过程： W1 = U = nCV, m(T2- T1) =1mol21.05 J· 1· 1 (142.4-273.15)K =-2753J mol K
例1： a.向真空膨胀 b.一次恒外压膨胀 c.二次恒外压膨胀
d.无限多次恒外压膨胀
1m0.633kPa t2=0℃
求W(a) 、W(b)、 W(c) 、 W(d) 。
体积功动画 膨胀1 膨胀2 膨胀3
V2
1
一般运算中，常采用下式来计算绝热过程的功：
W U
T2
T1
nCV ,m dT (绝热过程，可逆与不可 逆均可 )
例34 讨论 作业
18
2006年第四次课
例2 3mol理想气体于恒温298.15K条件下由始态 V1 = 20.0dm3可逆膨胀到末态V2 = 50.0dm3 . 求始, 末态气体的压力p1 , p2 以及膨胀过程的可逆功Wr . n = 3 mol Pg p1 = V1 = 20dm3 T1 = 298.15K 恒温可逆 n = 3 mol Pg p2 = V2 = 50dm3 T2 = 298.15K
Reversible process
⑴定义:将推动力无限小、系统内部
及系统与环境之间在无限接近平衡条 件下进行的过程，称为可逆过程。
7
⑵条件:① 系统内外的强度性质只能相差无限小,且 无摩擦力。T = T(环) dT (非绝热时) ， 即系统与环境间无限接近热平衡。
②p = p
dp (非刚壁时)，即系 统与环境间无限接近力平衡。
因是理想气体, 恒温, 可逆过程, 故
Wr
V2 V1
V2 pdV nRT ln V1
{3 8.314 298.15ln(50.0 / 20.0)}J 6814 J
20
例34 1 mol氧气由0℃, 106Pa，经过（1）绝热可 逆膨胀；（2）对抗恒定外压Psu= 105Pa绝热不可 逆膨胀，使气体最后压力为105Pa，求此两种情况 的最后温度及环境对系统所作的功。 已知：已知该气体 CV, m = 21.05J· 1· 1. mol K 解（1）绝热可逆膨胀 1mol O2 p1 = 106Pa T1 = 273.15K
二次恒外压膨胀
2 V1 V2 无限多次膨胀
3
状态1
状态2
无限多次恒外压膨胀 过程相当于将细沙一 粒一粒取下。
无限多次恒外压膨胀过程图示
在整个膨胀过程中，p环= p －dp
W(d ) P环dV
V2 V1
2( P dp )dV
V V1
PdV
V2 V1
4
p p1 p2 V1 V2 一次恒外压压缩 p p1 p2 V 1 1
Q = 0, dU＝ W 理想气体 dU = nCV, mdT 过程可逆 W＝－pdV nCV, mdT ＝－pdV
dV nCV ,m dT nRT V
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dT R dV T CV ,m V
又 Cp, m－CV, m＝R
C p,m CV ,m dV dT dV (1 ) T CV ,m V V
p p1 P’ p2
1
V2 二次恒外压压缩
V1 V’
V
体积功动画 2 V1 V2 无限多次压缩 V
5
结论： ⑴功是途径函数! ⑵无限多次膨胀过程中，系统对环境作最大功； 无限多次压缩过程中，环境对系统作最小功。 ⑶d过程是热力学中一种极为重要的过程。 此即我们将要研究的热力学可逆过程。
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1.可逆过程
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n = 3 mol Pg p1 = V1 = 20dm3 T1 = 298.15K
恒温可逆
n = 3 mol Pg p2 = V2 = 50dm3 T2 = 298.15K
p1 = nRT/V1 =3 8.314 298.15/(20 10－3) = 371.8 kPa p2 = nRT/V2 =3 8.314 298.15/(50 10－3) = 148.7 kPa
(环)
8
⑶特性: a. 过程无限慢, 时间无限长; b. 系统对环境作功最大, 环境对系统 作功最小; c. 正向逆向功相抵(热亦然), 系统环 境都复原。
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2.可逆体积功
体积功通式： W p(环)dV
V2 V1
可逆体积功：
W
V2
p(环)dV
可 逆p
p环
V1
V2
pdV
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(2)绝热恒外压逆膨胀
1mol O2 p1 = 106Pa T1 = 273.15K 绝热恒外压膨胀 Psu= 105Pa
p2 T2 T1 p 1
1
1mol O2 p2 = 105Pa T’2= ?K
因不可逆
nRT2 nRT1 W2 psu V psu (V2 V1 ) psu p p 1 2
1
a.向真空膨胀 恒外压过程
p环=0
W(a) =0
b.一次恒外压膨胀
W p(环)dV p环 (V2 V1)
V2 V1
p p1 p2
1
2 V1 V2 一次恒外压膨胀 V
2
c. 二次恒外压膨胀
p p1 1 2
P’ p2 V1 V’
d.无限多次恒外压膨胀 p p1 p2 1
V2
绝热可逆膨胀
1mol O2 p2 = 105Pa T2= ?K
21
1mol O2 p1 = 106Pa T1 = 273.15K
绝热可逆膨胀
1mol O2 p2 = 105Pa T2= ?K
T2 P2 T P 1 1
1
1
已知该气体 CV, m = 21.05J· 1· 1. mol K
1
15
T2 V2 T V 1 1
1
1
利用理想气体状态方程, 又可得
T2 P2 T P 1 1
1
1
P2 V2 1 P V 1 1
W2 U nCV ,m (T2 T1 )
23
nRT2 nRT1 psu p p nCV ,m (T2 T1 ) 1 2
1 ( 1) T2 T1 1 ( 1) psu p1 psu p2 203.6 K
以上三式称为理想气体绝热可逆过程方程 Equations of adiabatic reversible process， 应用条件：封闭系统, W ＝0, 理想气体, 绝热, 可逆过程. 常见错误: 将上式用于绝热非可逆过程!
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理想气体绝热可逆过程方程的另一表示形式
pVγ 常数
Tp
(1 ) /
式中 def C p,m / CV ,m
称作理想气体的绝热指数．
2004年第三次课
14
dlnT = (1－γ) dlnV
ln(T2/T1) = ln(V2/V1)
T2/T1 = (V2/V1
T2 T 1 V2 V 1
1－ γ )
1
1－γ
W2 U nCV ,m (T2 T1 ) 1mol 21 .05 J . K 1 .mol 1 ( 203 .6 273 .15 ) K 1465 J
由此可见，由同一始态经过可逆与不可逆两种绝热变化 不可能达到同一终态，即 T2 T2 U U ; 。
常数
适用条件：封闭系统, W f＝0, 理想气体, 绝热, 可逆过程。
TV ( 1) 常数
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绝热可逆过程的功
W r,a
V2 V1
pdV
V2 V1
( p1V1 / V )dV
p1V1 p1V1 1
V2 V1
V 1
dV 1 V1
1
例2
2005年第三次课
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4.理想气体绝热可逆体积功
Work of adiabatic reversible process of perfect gas
可逆体积功
Wr pdV
V2 V1
可逆过程的 p = f(V)关系称为可逆过程方程
理想气体可逆恒温过程 p = nRT/V.
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理想气体绝热可逆过程方程
V1
10
3.理想气体恒温可逆体积功 理想气体, 恒温,可逆过程： Isothermal reversible expansion
Wr
V2
pdV
V2
V1
理想气体
V1
nRT dV 恒 温 nRT V
V2
V1
1 dV V
p1 V2 W r nRTln nRTln V1 p2
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讨论题：
1. 体积功的计算式 是 W V p(环)dV
V2
1
, 在系统发生
什么变化的情况下, 可以用系统的压力代替环境的压力？ 2. 一气体从某一状态出发，经绝热可逆压缩或经恒温
可逆压缩到一固定的体积，哪种压缩过程所需的功大， 为什么？如果是膨胀，情况又将如何？
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γ= Cp, m /CV, m =1.395
p2 T2 T1 p 1
1
( 273.15K ) (0.1)0.283 142.4 K
绝热可逆过程： W1 = U = nCV, m(T2- T1) =1mol21.05 J· 1· 1 (142.4-273.15)K =-2753J mol K