深圳育才中学(初中)必修第二册第二单元《复数》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 2．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）
A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1
3．复数()2
11i z i
+=
-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．设i 为虚数单位，复数z 满足21i
i z
=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i
B ．-1-i
C ．1+i
D ．-1+i
5．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．已知复数，是z 的共轭复数，则=
A ．
B ．
C ．1
D ．2
7．设313i
z i
+=-，则232020z z z z ++++=（ ）
A ．1
B ．0
C ．1i --
D ．1i +
8．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ） A ．4
B ．2
C ．0
D ．2- 9．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ-
B ．()sin αβ+
C ．()cos αβ-
D ．()cos αβ+
10．若i 为虚数单位，复数z 满足33z i ≤，则2z i -的最大值为（ ） A ．2 B ．3
C ．23
D ．3
311．若32a i
i
-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32-
B ．23
-
C ．
23
D ．
32
12．若(),a bi
a b i
+∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2
B ．2-
C ．3-
D ．3
二、填空题
13．若i 为虚数单位，则计232020232020i i i i +++
+=___________.
14．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3
π
得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.
15．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________. 16．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 17．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则
2000
1a i i
+=+______. 18．已知复数z 满足
43(z
i i i
+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 19．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________
20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．
三、解答题
21．已知复数1z 、2z 满足1||71z =、2||71z =，且12||4z z -=，求
1
2
z z 与12||z z +的值.
22．已知复数z 满足：||13z i z =+-，求22
(1)(34)
2i i z
++的值．
23．已知复数z 满足|z |5=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；
（2）若(
)
2
2
m m n i z --=，求实数m ，n 的值.
24．已知i 为虚数单位，当实数m 为何值时，复数是()226
2m m z m m i m
+-=+-：
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
25．i 是虚数单位，且2(1)2(5)
3i i a bi i
-+++=+（,a b ∈R ）.
（1）求,a b 的值；
（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .
26．已知复数()
()2
2
7656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，
（1）z 是实数；
（2）z 是纯虚数；
（3）当
6
z
a =-z 的共轭复数.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值. 【详解】 由()()()()
11711768341112i i i i
z i i i i -+--++=
===+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由
222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=
2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，
()
3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，
所以21max 516z z -=+=. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】
12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+
则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1． 故选D ． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．C
【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案． 【详解】
()()()()
2
12121,1,1111i i i i
z i z i i
i i i +⋅+=
=
==-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .
故选C. 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4．B
解析：B 【分析】
利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足
21i
i z
=-，∴
()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．C
解析：C 【分析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】
若复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20
,10x x x ⎧->⎨
->⎩
解得1x >，故“1x >”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象
限”的充要条件. 故选C. 【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．
6．A
解析：A
利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.
【详解】
，
，
，
故答案为：A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
7．B
解析：B 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10
i i i i
z i i i i +++=
===--+， 202020202
3
2020
(1)(1)(11)0111z z i i i z z z z
z i i
---∴+++⋯+====---．
故选：B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．
8．C
解析：C 【分析】
根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解. 【详解】
因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程2
0x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，
所以1z i =+也是方程的一个根，
故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩，
所以0p q +=，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】
分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可. 详解：
()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=
()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，
∴实部为()cos αβ+,故选D.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和
()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误.
10．D
解析：D 【分析】
先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】
因为33z i ++≤表示以点()
3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：
所以()()
()()2
2
max 203
21333z i MN R -=+=--+--=
故选：D.
【点睛】
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；
（2）(1220z z z z a a -+-=>且)
122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)12
2a z z >：表示以1
2
,z z 为焦点的椭圆；
（4）(12
20z z z z a a ---=>且)12
02a z z <<：表示以1
2
,z z 为焦点的双曲线.
11．C
解析：C 【分析】
先化简复数，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】
由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13
a i a i i a a i
i i i -----+==++-， 因为
32a i
i
-+为纯虚数， 则320(23)0
a a -=⎧⎨
-+≠⎩，所以2
3a =.
故选：C 【点睛】
结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.
12．A
解析：A 【分析】
把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论． 【详解】 因为
()2
i a bi a bi b ai i i ++==-，()212i i +=，又1a bi +与()
21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.
故选：A ． 二、填空题
13．【分析】设两边乘以相减结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则计算可得所求和【详解】设上面两式相减可得则故答案为：【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法以及复数的运算考查等比数列的求和公式以及 解析：10101010i -
【分析】
设232020232020S i i i i =+++⋯+，两边乘以i ，相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和． 【详解】
设232020232020S i i i i =+++⋯+， 2342021232020iS i i i i =+++⋯+，
上面两式相减可得，2320202021(1)2020i S i i i i i -=+++⋯+-
20202021(1)(11)20202020202011i i i i i i i i
--=-=-=---，
则(1)
2020
20201010101012
i i i S i i +=-=-=--． 故答案为：10101010i -． 【点睛】
本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及复数的运算，考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于中档题．
14．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题
【分析】
写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数. 【详解】
解：由题意得，P 点对应的复数为1i +， 由复数乘法的几何意义得：
(1)cos sin 33z i i ππ⎛
⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭
，
.
故答案为：1122
+. 【点睛】
本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.
15．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的
解析：4 【分析】
利用复数的几何意义，转化求解即可. 【详解】
解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位， 复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.
34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，
14-= . 故答案为：4. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
16．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题
解析：－1 【分析】
利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】
()()2
12122i i i z i i i
+-+=
==--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题 解析：1i -
【分析】
利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出. 【详解】 解：
2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，
210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =
20001112(1)111(1)(1)
i i i i i i i ++-∴===-+++-.
故答案为：1i -. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
18．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有
复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目 解析：34i -+
【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果. 【详解】 由
43z i i +=可得34z
i i
=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+， 故答案是：34i -+. 【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.
19．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为
解析：
【解析】
分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=， 在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ， 则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2， 所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，
1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，
可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；
最大距离是()0,1-与()1,1
即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.
点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，
z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.
20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复
解析：23
-32π
【解析】
分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.
详解：设(,)
z x yi x y R
=+∈，则22
1
1,
2
x y y
+≤≥，如图,
2
.
3
AOB
π
∠=
因此复平面内复数z的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是
2
121223
2(111sin)
23233
πππ
⨯⋅-⨯⨯⨯=-
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)
++=-++∈
a bi c di ac bd ad bc i a
b
c
d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)
a bi a
b R
+∈的实部为a、虚部为b22
a b
+(,)
a b、共轭为
.
-
a bi
三、解答题
21．1
2
47
z
z
+
=，
12
||4
z z
+=.
【分析】
设复数1z、2z在复平面上对应的点为1Z、2Z，从模长入手，可以得到
222
1212
||||
z z z z
+=-，进而得到以
1
OZ、
2
OZ为邻边的平行四边形是矩形.
【详解】
设复数1z、2z在复平面上对应的点为1Z、2Z，
由于222
71)71)4
++=，
故222
1212
||||
z z z z
+=-，
故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，
则1212||||4z z z z +=-=，()()21271714771
7171z z ++==±=±--+. 【点睛】
本题的易错点在127171
z z +=-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．34i +
【分析】
先根据复数相等解得z ，再根据复数运算法则求解
【详解】
设,(,)z a bi a b R =+∈，而||13z i z =+-
22130a b i a bi +-++=
则22410{{,43330
a a
b a z i b b =-+-=⇒=-+=-= 所以2222
(1)(34)2(34)2(34)3422(43)2(34)
i i i i i i i z i i i ++++===+-++ 【点睛】
本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
23．(1) 12z i =-或2i z =-.
(2) 3m =±，5n =.
【分析】
（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可
复数z ；
（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值
【详解】
（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，
因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，
所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩
，
所以12z i =-或2i z =-.
（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，
当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.
因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨
-=⎩
，解得3m =±，5n =. 【点睛】
本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题
24．（1）2m =；（2）0m ≠且2m ≠；（3）3m =-.
【分析】
（1）由实数定义可知实部为零，由此可构造方程求得结果；
（2）由虚数定义可知虚部不为零，结合分式分母不为零可构造不等式组求得结果； （3）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此可构造方程组求得结果.
【详解】 （1）由2200
m m m ⎧-=⎨≠⎩得：2m = ∴当2m =时，复数z 是实数 （2）由2200
m m m ⎧-≠⎨≠⎩得：0m ≠且2m ≠ ∴当0m ≠且2m ≠时，复数z 是虚数 （3）由226020m m m m m ⎧+-=⎪⎨⎪-≠⎩
得：3m =- ∴当3m =-时，复数z 是纯虚数 【点睛】
本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，关键是熟练掌握实数、虚数和纯虚数的定义；易错点时忽略无论复数为什么类型，分式分母不能为零的要求.
25．（1）3,1a b ==-（2
【解析】
分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．
详解：（1）∵()()
21253i i a bi i -+++=+ 1033i i
==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-
（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+
()()331y y i =-+++
由题意可知：331y y -+=+，解得2y =- ∴
z ==
点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．
26．（1）61a a ==-或；（2）1a =；（3）见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据题意得到要求虚部位0即可；（2）要求实部位0且虚部不为0即
可，2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a =；（2）()()11a a i -++=()()221110a a -++=，得2a =±，进而得到结果.
（1）z 是实数，2560a a --=，得61a a ==-或
（2）z 是纯虚数，2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a =
（3）当6
z a =-()()11a a i -++= 得()()221110a a -++=，得2a =±
当2a =时，412z i =--,得412z i =-+；
当2a =-时，248z i =+,得248z i =-
点睛：这个题目考查了复数的几何意义，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.。