{3套试卷汇总}2021年上海市八年级上学期数学期末考试试题

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．1876年，美国总统Garfield 用如图所示的两个全等的直角三角形证明了勾股定理，若图中AB a ，CD b =，42AD =，则下面结论错误的是( )
A ．4AE =
B ．2216a b +=
C ．16ADE S ∆=
D ．AED ∆是等腰直角三角形
【答案】C 【解析】由全等三角形的性质可得AB=EC=a ，BE=CD=b ，AE=DE ，∠AEB=∠EDC，可求∠AED=90°，且AE=DE ，即AE=DE=4，即可判断各个选项．
【详解】解：∵△ABE≌△ECD
∴AB=EC=a，BE=CD=b ，AE=DE ，∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°
∴∠AEB+∠DEC=90°
∴∠AED=90°，且AE=DE ，
∴△ADE 是等腰直角三角形，AE 2+DE 2=AD 2=32，
∴AE=4=DE，
∴AB 2+BE 2=AE 2，
∴a 2+b 2=16，
故A 、B 、D 选项正确
∵S △ADE =12
AE×DE=8 故C 选项错误
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A ．同位角相等
B ．对顶角相等
C ．等边对等角
D ．全等三角形的面积相等
【答案】C
【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．
【详解】A、原命题的逆命题为：相等是同错角，不正确；
B、原命题的逆命题为：相等的角为对顶角，不正确；
C、原命题的逆命题为：等角对等边，正确；
D、原命题的逆命题为：面积相等的三角形全等，不正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对命题与逆命题的理解及真假命题的判断能力，对选项要逐个验证，判断命题真假时可举反例说明．
3．某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，则10月份生日学生的频数和频率分别为（）A．10和25% B．25%和10 C．8和20% D．20%和8
【答案】C
【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案．
【详解】解：∵某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，
∴10月份生日学生的频数和频率分别为：8、8
40
＝0.2.
故选：C.
【点睛】
此题考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键．
4．我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题，大意为100个和尚吃了100个馒头，已知1个大和尚吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问有几个大和尚，几个小和尚？若设有m个大和尚，n个小和尚，那么可列方程组为（）
A．
100
33100
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
100
3100
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
100
3100
3
m n
n
m
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
D．
100
3100
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
【答案】C
【分析】设有m个大和尚，n个小和尚，题中有2个等量关系：1个和尚吃了1个馒头，大和尚吃的馒头+小和尚吃的馒头=1．
【详解】解：设有m个大和尚，n个小和尚，
根据数量关系式可得：
100 3100
3
m n
n
m
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
故选C. 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
5．若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．8
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系可得5﹣3＜a ＜5+3，解不等式即可求解．
【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a ＜5+3，
即2＜a ＜8，
由此可得，符合条件的只有选项C ，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a ＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
6．若代数式1x +有意义，则x 必须满足条件（ ） A ．x ≥﹣1
B ．x ≠﹣1
C ．x ≥1
D ．x ≤﹣1 【答案】A
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【详解】由题意得，x+1≥0，
解得，x≥-1，
故选A ．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
7．以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ． 【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念：A 、C 、D 都可以沿某一直线折叠后重合，是轴对称图形．故选B ．
考点：轴对称图形．
8．若函数2(3)y x m =+--是正比例函数，则m 的值是（ ）
A ．-3
B ．1
C ．-7
D ．3
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质可得3=0m --,解得m 即可.
【详解】解:根据正比例函数的性质可得3=0m --.
解得=-3m .
故选: A.
【点睛】
此题主要考察了正比例函数的定义,解题的关键是掌握正比例函数的定义条件: y kx =,k 为常数且0k ≠,自变量次数为1.
9．下列因式分解正确的是（ ）
A ．x 2+xy+x ＝x （x+y ）
B ．x 2﹣4x+4＝（x+2）（x ﹣2）
C ．a 2﹣2a+2＝（a ﹣1）2+1
D ．x 2﹣6x+5＝（x ﹣5）（x ﹣1）
【答案】D
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【详解】A 、原式＝x （x+y+1），不符合题意；
B 、原式＝（x ﹣2）2，不符合题意；
C 、原式不能分解，不符合题意；
D 、原式＝（x ﹣5）（x ﹣1），符合题意，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的概念以及应用是解题的关键．
10．如图，直线1l 、2l 的交点坐标可以看做下列方程组（ ）的解．
A ．121y x y x =+⎧⎨=-⎩
B ．121y x y x =+⎧⎨=+⎩
C ．121y x y x =-⎧⎨=-⎩
D ．121y x y x =-⎧⎨=+⎩
【答案】A 【分析】首先根据图象判定交点坐标，然后代入方程组即可.
【详解】由图象，得直线1l 、2l 的交点坐标是（2,3），将其代入，得
A 选项，满足方程组，符合题意；
B 选项，不满足方程组，不符合题意；
C 选项，不满足方程组，不符合题意；
D 选项，不满足方程组，不符合题意；
故选：A.
【点睛】
此题主要考查一次函数图象和二元一次方程组的综合应用，熟练掌握，即可解题.
二、填空题
11．已知a+ 1a = 10,则a-1a =__________
【答案】6±
【解析】通过完全平方公式即可解答.
【详解】解：已知a+ 1a
= 10， 则21(a a +）= 2212a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
=10， 则21a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭= 2
212a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=6， 故a-1a =6±. 【点睛】
本题考查完全平方公式的运用，熟悉掌握是解题关键.
12．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 .
【答案】41.
【解析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD′中，
BA CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩
，
∴△BAD ≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠D AD′=90°
由勾股定理得DD′=22()=32=42
AD AD +'，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=22()
=932=41DC DD +'+
∴BD=CD′=41，
故答案为41.
13．如图，直线BC 经过原点O ，点A 在x 轴上，AD BC ⊥于D ．若A （4，0），B （m ，3），C （n ，-5），则AD BC =______．
【答案】32
【分析】作三角形的高线，根据坐标求出BE 、OA 、OF 的长，利用面积法可以得出BC•AD=1．
【详解】解：过B 作BE ⊥x 轴于E ，过C 作CF ⊥y 轴于F ，
∵B （m ，3），
∴BE=3，
∵A （4，0），
∴AO=4，
∵C （n ，-5），
∴OF=5，
∵S △AOB =
12AO•BE=12
×4×3=6， S △AOC =12AO•OF=12×4×5=10， ∴S △AOB +S △AOC =6+10=16，
∵S △ABC =S △AOB +S △AOC ， ∴12
BC•AD=16， ∴BC•AD=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积．
14．已知，点(,)A a b 在第二象限，则点(,)B a b --在第_________象限．
【答案】四
【分析】首先根据点A 所在的象限可判定0,0a b ＜＞，然后即可判定点B 所在的象限.
【详解】∵点(,)A a b 在第二象限，
∴0,0a b ＜＞
∴0,0a b --＞＜
∴点B 在第四象限
故答案为四.
【点睛】
此题主要考查根据坐标判定点所在的象限，熟练掌握，即可解题.
15．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如222()2a b a ab b +=++就可以用图（1）的面积表示，请你仿照图（1）写出图（2）表示的一个等式______.
【答案】()()22
223a b a b a ab b ++=++ 【分析】分别用长方形的面积公式和六个小长方形的面积之和表示图（2）的面积，从而建立等式即可．
【详解】图（2）的面积可以表示为：(2)()a b a b ++
图（2）的面积也可以表示为：2223a ab b ++
所以有()()22
223a b a b a ab b ++=++ 故答案为：()()22
223a b a b a ab b ++=++． 【点睛】
本题主要考查多项式乘法，能够用两种方式表示出图中的面积是解题的关键．
16．已知点P(3，a)关于y 轴的对称点为(b ，2)，则a+b=_______.
【答案】-1
【解析】∵点P(3,a)关于y 轴的对称点为Q(b,2)，
∴a=2，b=−3，
∴a+b=2+(−3)=−1.
故答案为−1.
17．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB=2，则CD=_____．
【答案】31-
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF ，即可得出结论．
【详解】如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，
在Rt △ABC 中，∠B=45°，
∴BC=2AB=2，BF=AF=22
AB=1， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF=
22AD AF -=3 ∴CD=BF+DF-BC=1+3-2=3-1，
故答案为3-1．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
三、解答题
18．（1）如图1．在△ABC 中，∠B=60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O= °， （2）如图2，若∠B=α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小；
（3）如图3，若∠B=α，11,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=
∠∠=∠，则∠P= （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O=60°；（2）90°－1
2α；（3）11(1)180P n n
α∠=-⨯- 【分析】（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；
（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；
（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=
111-18022
α︒⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°，
所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=，
有∠O=180120οο-=60°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°
∵∠ACE 是△ABC 的外角，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β
∵CO 平分∠ACE
11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2
CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-； （3）∵∠B=α，11,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1180902α︒︒--=111-18022
α︒⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n n
α∠=-⨯-. 【点睛】
本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.
19．如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，ABC ，ADE 是等边三角形，若CE 5=，CD 2=， ()1求ECD ∠的度数；
()2求AC 长．
【答案】 (1)60°;(2)3.
【解析】()1由等边三角形的性质可得AD AE =，AB AC =，60BAC DAE ACB ∠∠∠===，可证BAD ≌CAE ，可得60B ACE ∠∠==，可得ECD ∠的度数；
()2由全等三角形的性质和等边三角形的性质可求AC 的长．
【详解】解：()1ABC ，ADE 是等边三角形
AD AE ∴=，AB AC =，BAC DAE ACB 60∠∠∠===，
BAD CAE ∠∠∴=，且AD AE =，AB AC =，
BAD ∴≌()CAE SAS
B ACE 60∠∠∴==
DCE 180ACB ACE 60∠∠∠∴=--=
()2BAD ≌CAE
BD CE 5∴==，
BC BD CD 523∴=-=-= ,
AC BC 3∴==
【点睛】
考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．
20．如图，△ABC 的三个顶点均在网格小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形，请你分别在图①、图②、图③的网格中画出一个和△ABC 关于某条直线对称的格点三角形，并画出这条对称轴．
【答案】答案见解析
【解析】首先画出对称轴，然后根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【详解】解：如图所示．
【点睛】
本题主要考查的是画轴对称图形，属于基础题型．解题的关键就是画出每一个图形的对称轴，然后根据对称轴进行画图．
21．某地教育局为了解该地八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a =___________，并写出该扇形所对圆心角的度数为___________，请补全条形统计图． （2）在这次抽样调查中，众数为___________，中位数为___________．
【答案】（1）10%，36︒，见解析；（2）5天，6天
【分析】（1）根据各部分所占比的和等于1列式可算出a ，再用360°乘以所占百分比求出对应的圆心角的度数，然后用被抽查学生的人数乘以8所占百分比可求出8天的人数，补全条形图即可；
（2）用众数和中位数的定义解答．
【详解】解：（1）125%20%40%5%10%=----=a ，
36010%36︒⨯=︒，
24040%10%60÷⨯=（人），
故补全条形统计图如下：
（2）参加社会实践活动5天的人数最多，
所以众数是5天；
所有人参加社会实践活动的天数按照从少到多排列，
第300人和第301人都是6天，
所以中位数是6天．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)乙队开挖到30m 时，用了_____ h. 开挖6h 时甲队比乙队多挖了____ m;
(2)请你求出:
①甲队在06x 的时段内，y 与x 之间的函数关系式；
②乙队在26x 的时段内，y 与x 之间的函数关系式；
(3)当x 为何值时，甲、 乙两队在 施工过程中所挖河渠的长度相等?
【答案】（1）2，10；（2）①y=10x ，②y=5x+20；（3）x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．
【解析】（1）此题只要认真读图，可从中找到甲、乙两队各组数据；
（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（3）利用（2）中的函数关系式可以解决问题．
【详解】解：（1）依题意得乙队开挖到30m 时，用了2h ，
开挖6h 时甲队比乙队多挖了60-50=10m ；
（2）①设甲队在0≤x≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式y=k 1x ，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k 1=60，
解得k 1=10，
∴y=10x ，
②设乙队在2≤x≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y=k 2x+b ，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴22
230650k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ ， 解得2520k b ⎧⎨⎩
＝＝ ， ∴y=5x+20；
（3）由题意，得10x=5x+20，
解得x=4（h ）．
∴当x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．
故答案为：（1）2，10；（2）①y=10x ，②y=5x+20；（3）x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．
【点睛】
本题考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键． 23．计算：
（1）()22353a a
⋅- (3)(2)6(1)x x x -+--
（2）分解因式
3728x x - 2232x y xy y -+ （3）解分式方程
232
x x =+ 21124x x x -=--
【答案】（1）845a ，27x x -；（2）7(2)(2)+-x x x ，2()y x y -；（3）4x =，32x =-
【分析】（1）根据整式的混合运算法则进行计算即可；
（2）根据提公因式法和公式法进行因式分解；
（3）先把分式方程化为整式方程求出x 的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【详解】解:：（1）()223268535945⋅-=⋅=a a a a a ，
22(3)(2)6(1)326667-+--=-+--+=-x x x x x x x x x ；
（2）32
7287(4)7(2)(2)-=-=+-x x x x x x x ， 222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；
（3）232
x x =+ 方程两边同时乘(2)x x +得：2(2)3x x +=，
去括号、移项得：234-=-x x ，
解得：4x =，
经检验，4x =是原方程的解，
所以4x =，
21124
x x x -=-- 方程两边同时乘24x -得：2
(2)14x x x +-=-，
去括号、移项得：22241-+=-+x x x ， 解得：32
x =-
， 经检验，32
x =-是原方程的解， 所以32x =-． 【点睛】
本题综合考查了整式的混合运算、因式分解和分式方程的解法，要注意分式方程求解后要验根． 24．已知，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点G ，且AD AB =，连接BD . （1）如图①，求证：ABD ∆是等边三角形；
（2）如图①，若点E 、F 分别为AB ，AC 上的点，且60EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）利用（1）（2）中的结论，思考并解答：如图②，H 为AB 上一点，连结DH ，当30HDF ∠=︒时，线段BH ，HF ，AF 之间有何数量关系，给出证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BH HF AF =+，理由详见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一定理，得到60BAD DAC ∠=∠=︒，即可得到结论成立；
（2）由（1）得60ABD ADB ∠=∠=︒，BD AD =，然后证明(ASA)BDE ADF ∆∆≌，即可得到结论成立；
（3）在BA 上取一点E ，连接DE ，使30EDH ∠=︒.，由（2）得BDE ADF ∆∆≌，则BE AF =，DE DF =，然后得到()EDH FDH SAS ∆∆≌，即可得到BH HF AF =+.
【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD BC ⊥， ∴12BAD DAC BAC ∠=∠=
∠， ∵120BAC ∠=︒， ∴1120602
BAD DAC ∠=∠=
⨯︒=︒， ∵AD AB =，
∴ABD ∆是等边三角形；
（2）证明：∵ABD ∆是等边三角形，
∴60ABD ADB ∠=∠=︒，BD AD =
∵60EDF ∠=︒，
∴BDE ADF ∠=∠，
在BDE ∆与ADF ∆中，
60DBE DAF BD AD
BDE ADF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴(ASA)BDE ADF ∆∆≌，
∴BE AF =；
（3）BH HF AF =+；
理由如下：如图②，在BA 上取一点E ，连接DE ，使30EDH ∠=︒
.
由（1）（2）可得，BDE ADF ∆∆≌
∴BE AF =，DE DF =
在EDH ∆和FDH ∆中
DE DF EDH FDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()EDH FDH SAS ∆∆≌
∴EH HF =
∴BH HF AF =+；
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形进行证明.
25．如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒．
（1）根据要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：作边AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点B ，连接AD ；
（2）写出图中一对全等的三角形，和一个等腰三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）△ACD ≌△AED 或△ACD ≌△BED 或△AED ≌△BED ，△ABD 为等腰三角形
【解析】（1）由题意直接根据垂直平分线的作图方法按照题意进行作图即可；
（2）根据全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义进行分析即可.
【详解】解：（1）作图如图所示：
（2）根据全等三角形的性质可知：
图中有△ACD≌△AED或△ACD≌△BED或△AED≌△BED，
根据等腰三角形的定义可知：△ABD为等腰三角形.
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图以及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的作法和全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义是解答此题的关键．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214
⊗-=--x x 的解是（ ） A ．4x =
B ．5x =
C ．6x =
D ．7x = 【答案】B
【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解：211(2)(2)4
x x x ⊗-==--- ∴方程表达为：
12144
x x =--- 解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的解，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．
2．如图，D ，E 分别在AB ，AC 上，B C ∠=∠，添加下列条件，无法判定ABE ACD ∆≅∆的是（ ）
A ．AE
B AD
C ∠=∠
B ．AD AE =
C ．BE C
D = D ．AB AC =
【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一判断选项，即可.
【详解】∵B C ∠=∠，∠A=∠A ，
若添加AEB ADC ∠=∠，不能证明ABE ACD ∆≅∆，
∴A 选项符合题意；
若添加AD AE =，根据AAS 可证明ABE ACD ∆≅∆，
∴B 选项不符合题意；
若添加BE CD =，根据AAS 可证明ABE ACD ∆≅∆，
∴C 选项不符合题意；
若添加AB AC =，根据ASA 可证明ABE ACD ∆≅∆，
∴D 选项不符合题意；
故选A.
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定方法，理解AAA 不能判定两个三角形全等，是解题的关键. 3．定义运算“⊙”：()()a a b a b a b b a
b b a
⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩，若52x =，则x 的值为（ ） A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52
或152 【答案】B
【分析】已知等式利用题中的新定义分类讨论，计算即可求出x 的值．
【详解】当5x <时，
5b x b a =-，即：25
x x =- 解得：10x =； 经检验10x =是分式方程的解；
当5x >时，
5a x a b =-，即525x =-， 解得：52
x =； 经检验52
x =是分式方程的解； 故答案为：52
或10 故选：B
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意检验．
4．如图，已知四边形ABCD ，连接AC ，若AB ∥CD ，则①∠BAD +∠D ＝180°，②∠BAC ＝∠DCA ，③∠BAD +∠B ＝180°，④∠DAC ＝∠BCA ，其中正确的有（ ）
A ．①②③④
B ．①②
C ．②③
D ．①④
【答案】B 【分析】利用平行线的性质依次分析即可得出结果．
【详解】解：∵AB ∥CD ，
∴∠BAD +∠D ＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠BAC ＝∠DCA （两直线平行，内错角相等）， 故①、②正确； 只有当AD ∥BC 时，
根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠BAD +∠B ＝180°， 根据两直线平行，内错角相等，得出∠DAC ＝∠BCA ， 故③、④错误， 故选：B ． 【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本性质，属于中考常考题型．
5 ） A ．4± B ．2±
C ．4
D ．2
【答案】D
， 4的算术平方根是1，
1．
故选择：D ． 【点睛】
本题考查算数平方根的算数平方根问题，掌握求一个数的算术平方根的程序是先化简这个数，再求算术平方根是解题关键．
6．下列命题中是真命题的是( )
A ．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B ，
22
7
，3.14，π，0.301001…等五个数都是无理数 C ．若0m <，则点()5P m -，
在第二象限 D ．若三角形的边a 、b 、c 满足: ()()2a b c a b c ab +-++=，则该三角形是直角三角形 【答案】D
【分析】根据平行公理、无理数的概念、点坐标特征、勾股定理的逆定理判断即可.
【详解】解：A 、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是假命题；
B ，
22
7
，3.14，π，0.301001…中只有π，0.301001…两个数是无理数，本选项说法是假命题； C 、若0m <，则点()5P m -，
在第一象限，本选项说法是假命题；
D 、()()2a b c a b c ab +-++=，化简得222=a b c +，则该三角形是直角三角形，本选项说法是真命题； 故选D. 【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．在平面直角坐标系中，点(3，－4)所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D
【解析】试题分析：应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标﹣4＜0， ∴点P （3，﹣4）在第四象限． 故选D ．
8．如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D ，E 两点，并连接BD ，DE ，若∠A ＝30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为（ ）
A ．45
B ．52.5
C ．67.5
D ．75
【答案】C
【解析】试题分析：根据AB=AC ，利用三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE 的度数： ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB. ∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=
()1
18030752
︒-︒=︒. ∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧，∴BE=BD=BC ．∴∠BDC=∠ACB=75°. ∴∠CBD 180757530=︒-︒-︒=︒.∴∠DBE=75°-30°=45°. ∴∠BED=∠BDE=()1
1804567.52
︒-︒=︒. 故选C.
考点: 1.等腰三角形的性质;2.三角形内角和定理.
9．勿忘草是多年生草本植物，它拥有世界上最小的花粉勿忘草的花粉直径为1．111114米，数据1.111114用科学记数法表示为（ ） A ．4⨯115
B ．4⨯116
C ．4⨯11-5
D ．4⨯11-6 【答案】D
【解析】根据科学记数法的性质以及应用进行表示即可． 【详解】60.000004410-=⨯ 故答案为：D ． 【点睛】
本题考查了科学记数法的应用，掌握科学记数法的性质以及应用是解题的关键． 10．下列说法错误的是( ) A ．边长相等的两个等边三角形全等
B ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C ．有两条边对应相等的两个等腰三角形全等
D ．形状和大小完全相同的两个三角形全等 【答案】C
【分析】根据三条边相等三个角相等可对A 进行判断；利用SAS 可对B 进行判断；根据全等的条件可对C 进行判断；根据全等的定义可对D 进行判断.
【详解】A. 三条边都相等且三个都相等，能完全重合，该选项正确； B. 两条直角边对应相等且夹角都等于90︒，符合SAS ，该选项正确； C. 不满足任何一条全等的判定条件，该选项错误；
D. 形状和大小完全相同的两个三角形完全重合，该选项正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的概念和三角形全等的判定，其中结合特殊三角形的性质得出判定全等的条件是解决问题的关键.． 二、填空题
11．等腰三角形的一个角是80︒，则它的底角的度数是______． 【答案】50°或80°
【分析】分这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80︒， ①当80︒角为底角时，则该等腰三角形的底角的度数是80︒， ②当80︒角为顶角时，则该等腰三角形的底角的度数为：
18080502
︒-︒
=︒，
故答案为：50︒或80︒． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．
12．如图，将一块直角三角板DEF 放置在锐角ABC ∆上，使得该三角板的两条直角边DE 、DF 恰好分别经过B 、C ，若40A ∠=︒，则ABD ACD ∠+∠=_________．
【答案】50°
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB 的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到∠DBC+∠DCB=90°，由此即可得到答案.
【详解】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，40A ∠=︒， ∴∠ABC+∠ACB=140°， ∵∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴ABD ACD ∠+∠=(∠ABC+∠ACB)-(∠DBC+∠DCB)=50°， 故答案为：50°. 【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系，所求角度不能求得每个角的度数时，可将两个角度的和求出，这是一种特殊的解题方法.
13．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC≤BC ，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点处，设EF 与AB 、AC 边分别交于点E 、点F ，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，那么∠B ＝_____．
【答案】45°或30°
【分析】先确定△CDF 是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB ，②BD=BE ，③DE=BE ，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】∵△CDF 中，∠C ＝90°，且△CDF 是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝1
2
∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．
此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，解得x＝37.5°，
此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B＝1
2
（180﹣2x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+1
2
（180﹣2x）°，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述，∠B＝45°或30°．
故答案为：45°或30°．
【点睛】
本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
14．若点（m，n）在函数y＝2x﹣1的图象上，则2m﹣n的值是_____．
【答案】1
【分析】用直接代入法解决坐标特点问题，直接把点（m，n）代入函数y＝2x﹣1即可.
【详解】解：∵点（m，n）在函数y＝2x﹣1的图象上，
∴2m﹣1＝n，即2m﹣n＝1．故答案为：1
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15．∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C•落在△ABC 外，若∠2=20º，则∠1的度数为 _______.
【答案】100°
【解析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=80°，然后利用平角的定义即可求出∠1． 【详解】如图，
∵∠A=65°，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 外， ∴∠C′=∠C=40°，
而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=20°， ∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°， ∴∠3+∠4=80°， ∴∠1=180°-80°=100°． 故答案是：100°． 【点睛】
考查了折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质． 16．如图，OC 是AOB ∠的平分线，点P 在OC 上，PD OA ⊥，垂足为D ，若3PD =，则点P 到OB 的距离是__________________．
【答案】3
【分析】可过点P 作PE ⊥OB ，由角平分线的性质可得，PD ＝PE ，进而可得出结论． 【详解】如图，过点P 作PE ⊥OB ，
∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PE ＝PD ， 又∵PD ＝3， ∴PE ＝PD ＝3． 故答案为：3． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质；要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等． 17．如图AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，5ACD
S
=，2DE =，则AC 的长是__________．
【答案】1
【分析】过点D 作DF ⊥AC 于点F ，如图，根据角平分线的性质可得DF=DE=2，再利用三角形的面积公式即可求出结果．
【详解】解：过点D 作DF ⊥AC 于点F ，如图，∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，∴DF=DE=2， ∵11
2522
ACD
S
AC DF AC =
⋅=⋅⨯=，∴AC=1． 故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形的面积，属于基础题型，熟知角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解题的关键． 三、解答题
18．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连接DE ，AE ＝5，BE ＝4，则DF ＝_____．
【答案】1
【分析】利用矩形的性质结合条件可证得△ADF ≌△EAB ，则可得AF ＝BE ＝4，再利用勾股定理可得DF 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，且∠B ＝90°， ∴∠DAF ＝∠BEA ， ∵DF ⊥AE ， ∴∠DFA ＝∠B ， 在△ADF 和△EAB 中
DAF BEA DFA B AE AD ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ADF ≌△EAB （AAS ）， ∴AF ＝BE ＝4， Rt △ADF 中，AD ＝AE ＝5 ∴DF 22AD AF -2254-1．
故答案为1． 【点睛】。