【冲刺卷】高一数学下期末第一次模拟试卷(含答案)

【冲刺卷】高一数学下期末第一次模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．已知集合{}{}2
|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件
A C
B ⊆⊆的集合
C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )
A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦
3．已知不等式220ax bx ++>的解集为{}
12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ） A ．112x x ⎧⎫-<<
⎨⎬⎩⎭
B ．112x x x ⎧⎫<->
⎨⎬⎩⎭
或 C ．{}
21x x -<< D ．{}
21x x x <->或
4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ C ．,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ D ．5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ 5．设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，
1,2,
,10)i =，则1210,,
,y y y 的均值和方差分别为（ ）
A ．1,4a +
B ．1,4a a ++
C ．1,4
D ．1,4a +
6．若,αβ均为锐角，sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=
A B C 或 D ．25
-
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为
A．1
2
尺B．
8
15
尺C．
16
29
尺D．
16
31
尺
8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A．
4
5
B．
3
5
C．
2
5
D．
1
5
9．已知
1
sin
34
π
α
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，则cos2
3
π
α
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
（）
A．
5
8
-B．
5
8
C．
7
8
-D．
7
8
10．已知函数
2
1(1)
()
2(1)
a
x x
f x x
x x x
⎧
++>
⎪
=⎨
⎪-+≤
⎩
在R上单调递增，则实数a的取值范围是A．[]0,1B．(]0,1C．[]1,1-D．(]1,1
-
11．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出//
AB平面MNP的图形的序号是（）
A．①③B．②③C．①④D．②④
12．与直线40
x y
--=和圆22220
x y x y
++-=都相切的半径最小的圆的方程是A．()()
22
112
x y
+++=B．()()
22
114
x y
-++=
C．()()
22
112
x y
-++=D．()()
22
114
x y
+++=
二、填空题
13．()sin1013tan 70
+=_____
14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是
___________
15．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则
n
a n
的最小值为_______. 16．设a ，b 是非零实数，且满足
sin
cos
107
7tan 21cos sin 77
a b a b π
π
πππ+=-，则b a ＝_______
．
17．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到． 18．若1tan 46
πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭,则tan α=____________. 19．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线
1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．
20．已知复数z x yi =+，且23z -=，则
y
x
的最大值为__________． 三、解答题
21．在中角所对的边分别是
，
，
，
．
求的值； 求
的面积．
22．已知不等式的解集为
或
.
（1）求
；（2）解关于的不等式
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆
22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .
（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 24．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4
cos ,25
B b ==. （1）当π
6
A =
时，求a 的值； （2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．
25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，
c .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 26．已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
求解一元二次方程，得
{}
()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .
因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
2．D
解析：D
【解析】 【分析】
利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】
解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得
x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1
x y 2
==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，
对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：2
9
．则xy 的取值范
围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦
故选D ． 【点睛】
本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得
,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】
220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<
1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <
1212122
b
a a
⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨
=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：1
12x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
故选：A 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】
函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭， 其单调增区间满足：()23222232
k x k k Z π
π
πππ+≤-≤+∈， 解得：()713
1212
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选A . 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为样本数据1210,,
,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是
121012101210
.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据
i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,
,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数
据1210,,
,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.
考点：样本数据的方差和平均数．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】
∵α为锐角，sin 2α= s ，∴α＞45°且cos α= ，
∵()3sin 5αβ+=
，且1325＜ ，2παβπ∴+＜＜，
∴4
5
cos
αβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4532525
55=-⨯+⨯=．
故选B. 【点睛】
本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．C
解析：C 【解析】
试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为
，
,求公差，，解得：
尺，故选C.
考点：等差数列
8．C
解析：C 【解析】
选取两支彩笔的方法有2
5C 种，含有红色彩笔的选法为1
4C 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为1
42542
105
C p C ==
=. 本题选择C 选项. 考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.
9．C
解析：C 【解析】 由题意可得：1
sin sin cos 326
64ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+-=⨯-=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
本题选择C 选项.
10．C
解析：C
【解析】
x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，
x >1时,()()21,10a a
f x x f x x x
=+
+'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，
而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】
对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .
对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面
ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.
对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以
AB 与平面MNP 相交.
对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .
综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】
圆2
2
220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-2，过圆心()1,1-与直线
40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直
线40x y --=322
=2，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=4
22
a b --=0a b +=，解得
1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为
()()
2
2
112x y -++=.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题
考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析：1
【解析】 【分析】
将3写成tan 60，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10
cos 60cos 70
，利
用二倍角公式可变为1sin 20
2cos 60cos 70
⋅
，由sin 20cos70=可化简求得结果. 【详解】
()
()
cos 60cos 7060sin 70
sin1013tan70sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0
+=++⋅
=(
)cos 7060
sin10cos10
1sin 201sin101cos60cos70
cos60cos702cos60cos702cos60
-=⋅
==⋅==
本题正确结果：1 【点睛】
本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角
公式的应用.
14．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：
32
【解析】 【分析】
先还原几何体，再根据柱体体积公式求解 【详解】
空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为
1313322
⨯⨯⨯=
【点睛】
本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题
15．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案
解析：
415
. 【解析】 【分析】
根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入n
a n
中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】
因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,
3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,
累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,
2(1)22
n n
n n -=⨯
=- 而121,a =
所以2
21n a n n =-+,
则221211n a n n n n n n
-+==+-, 因为21
()1f n n n
=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254
n a n ==, 当5n =时,
418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为
41
5. 故答案为:41
5
【点睛】
本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.
16．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求
得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式
【解析】 【分析】
先把已知条件转化为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-．利用正切函数的周期性求出3
k π
θπ=+，即可求得结论．
【详解】
因为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-，（t anθb a =） ∴10721
k ππθπ+=+ ∴3
k π
θπ=+．tanθ＝tan （k π3
π
+
）=
∴
b
a
=
． 【点睛】
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．
17．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3
π
【解析】
试题分析：因为sin 2sin()3
y x x x π
==-
，所以函数sin y x x =的的
图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移
3
π
个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
18．【解析】故答案为解析：7
5
【解析】
1
tan tan1
7
446
tan tan
1
445
1
1tan tan
6
44
ππ
α
ππ
αα
ππ
α
⎛⎫
-++
⎪
⎡⎤
⎛⎫⎝⎭
=-+===
⎪
⎢⎥⎛⎫
⎝⎭
⎣⎦-
--
⎪
⎝⎭
故答案为
7
5
.
19．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象解析：
30
【解析】
【分析】
先找出线面角，运用余弦定理进行求解
【详解】
连接1
AB交
1
A B于点D，取
11
B C中点E，连接DE，则
1
DE AC，连接
1
A E
1
A DE
∴∠为异面直线
1
A B与
1
AC所成角
在111
Rt AC B中，
11
1
AC=，
111
11
22
C E C B
==
1
5
A E
∴=
同理可得
1
6
A D=
5
DE=
222
1
655
30
cos
10
65
2
A DE
+-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∠==
⨯⨯
,
∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是3010
故答案为3010
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．
20．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：
【解析】 【分析】
根据复数z 的几何意义以及y
x
的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】
复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆2
2
(2)3x y -+=.
y
x
的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率
由图可知：max
33y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即
y
x
3 3【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.
三、解答题
21．（1）；（2）
【解析】
【分析】
)利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得的值；由，可得为锐角，由可得，利用两角和的正弦函数公式可求的值，利用三角形面积公式即可得解．
【详解】
，，．
，
由正弦定理可得：
，C为锐角，
由可得：，
，
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理的应用，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
22．（1）a＝1，b＝2；（2）①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c ＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅．
【解析】
【分析】
（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；
（2）把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集．
【详解】
（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，
所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；
由根与系数的关系，得，
解得a ＝1，b ＝2；
（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0， 即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；
①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅． 【点睛】
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．
23．（1）22
(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.
【解析】 【分析】
（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.
（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程. 【详解】
（1）圆M 的标准方程为22
(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.
由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x 因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切 所以007<<x ，圆N 的半径为0x 从而0075-=+x x 解得01x =.
所以圆N 的标准方程为2
2
(1)(6)1x y -+-=. （2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201
402
-=-. 设直线l 的方程为1
2
y x m =
+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离
55
=
=d 因为222425==+=BC OA
而2
2
2
2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
BC MC d 所以2
(25)2555
-=+m
解得152
m = 或52m =-.
故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.
【点睛】
本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题. 24．（1）5
3
a =（2
）a c +=【解析】
试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．
（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值． 试题解析: 解：（1）
43
cos ,sin 55
B B =∴=.
由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==
可得. 53
a ∴=
. （2）
ABC ∆的面积13
sin ,sin 25
S ac B B ==，
3
3,1010
ac ac ∴
==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得4=2
2
228
165
a c ac a c +-
=+- ,即2220a c +=. ∴()()22
220,40a c ac a c
+-=+=， ∴a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
25．（1）19；（2）89
. 【解析】
试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的
(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；
（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种， 而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为
31
279
= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种
满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个
故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为
31279
= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199
-= 考点：独立事件的概率．
【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
26．（1）4
5t =；（2）35
. 【解析】 【分析】
(1)利用向量的模长公式计算出||a tb +的表达式然后求最值.
(2)先求出a mb -的坐标，利用向量平行的公式得到关于m 的方程，可解得答案. 【详解】
（1）∵(23,2)a tb t t +=-+，
∴||(2a tb t +=-==
当4
5t =
时，||a tb +. （2）(32,2)a mb m m -=---.
∵a mb -与c 共线，∴32630m m +-+=，则35
m =. 【点睛】
本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.。