江苏省南通市石港中学高三数学最后一卷【会员独享】

江苏省南通市通州区石港中学2011届高三数学最后一卷
一．填空题
1.设复数122,2()z i z x i x R =+=-∈，若12z z ∙为实数，则x 为 .
2.一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的体积为________. 3．若ββαββαcos )cos(sin )sin(---＝m ，且α是第三象限角，则sin α＝ . ．如图在三角形ABC 中，E 为斜边()()
CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是点A 绕点C 旋转后与点10.直线x +a y +1=0与直线(a +1)x -by +3=0互相垂直，a ,b ∈R ，且ab ≠0,则|ab |的最小值 是 .
11.函数()23
123
x x f x x =++
+的零点的个数是 . 12．已知
)2()2(,)(x f x f x f -=+且为偶函数，x x f x 2)(,02=≤≤-时当，
*,2)(N n x f x ∈=若，==2008),(a n f a n 则 .
13.设点()a b ,在平面区域{()||1||1}D a b a b =,≤,≤中按均匀分布出现，则椭圆
22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e
的概率为 ． 14.若数列{n a }满足d a a n
n =-+2
2
1（其中d
是常数，∈n N ﹡），则称数列{n a }是“等方差
数列”. 已知数列{n b }是公差为m 的差数列，则m =0是“数列{n b }是等方差数列”的 条件.（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个） 二．解答题
15．高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，
现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？
（2）根据题中信息估计总体平均数是多少？ （3）估计总体落在［129，150］中的概率.
16. 已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2） 证明：函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称.
17.已知：矩形AEFD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AE 边所在直线的方程为：
360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在直线上.
（1）求矩形AEFD 外接圆P 的方程。

(2)ABC ∆是P 的内接三角形，其重心G 的坐标是()1,1,求直线BC 的方程 .
18. 如图，海岸线MAN ，2,A θ∠=现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈． (1)若BC l =,求养殖场面积最大值；
(2)若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ， 使BD DC l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积．
19．已知各项均为正数的数列}{n a 满足21210
1,21--+==n n n a n
a •a •a 其中n =1，2，3，…. （1）求21a a 和的值； （2）求证：
21
1
11n
a a n n <-
-； （3）求证：n a n n n <<++2
1
.
20.已知函数()a ax x x x f -+-=
23
3
1 (a ∈R )． (1) 当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，
共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B ．选修4—2 矩阵与变换
已知矩阵M 221a ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-， （1）求实数a 的值；
（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.
C ．选修4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围.
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .
（1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）
（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知n n x x f )1()(+=， （1）若20112011012011()f x a a x a x =++
+，求2011200931a a a a ++++ 的值；
（3分） （2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6
x 项的系数；（3分） （3）证明：
1
121(1)1232m m m
m m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤+++
+=⎢⎥+⎣⎦
．（4分）
参 考 答 案
1.4.提示：()1222(4)z z x x i R ∙=++-∈ ∴4x =。

2.
π32
8.提示：画出简图可知，由222d r R +=
3
V =。

3．－21m -.提示：依题意得m -=αcos ，α是第三象限角，sin α＜０，故sin α＝－
21m -．
4.63.提示：对于图中程序运作后可知，所求的y 是一个“累加的运算”即第一步是3；第二步是7；第三步是15；第四步是31，第五步是63.
5. 3提示：由图可知：P （2，2）到直线4x+3y+1=0的距离的最大，由点到直线的距离公式 可计算出，应填3。

6. 0x =。

提示：对于双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点到一条渐近
线的距离因为b ，而124b c =，因此 1,,2b c a ===
b ∴=
，因此其渐近线方程为0x =. {|A B x =-
9.10.2．提示:由题意b a k a
k 1
,12221+=-=∵两直线互相垂直,∴121-=⋅k k ,即
11122-=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-b
a a , ∴221a
b a =+,则22
1a b a +=, ∴211||||2||||a ab a a a +==+≥. ∴ab 的最小值为2.
11.1．提示：对于()2
2
13
1()024
f x x x x '=++=++
>，因此函数()f x 在R 上单调递增，而对于523(2)0,(2)033
f f -=-
<=>，因此其零点的个数为1个. 12.1.提示: 由题意可知)(x f 为周期函数，周期为4，1)0()4()2008(2008====f f f a 则。

13．
116 。

提示：属几何概型的概率问题，D 的测度为4；e <，则112b
a
<<，
(](]0101a b ∈∈,,,，则d 的测度为14
，∴1
16d P D ==的测度的测度．
14. 充分必要条件。

提示：一方面，由数列}{n b 是公差为m 的等差数列及m =0得1b b n
=，02
21=-+n n b b ，数列
}{n b 是等方差数列；
另一方面，由数列}{n b 是公差为m 的等差数列及数列}{n b 是等差数列得
m b m n b nm b b b n n 12
1212212])1([)(=-+-+=-+d
m n =-+2)12(对任意的∈n N *
都
成立，令n =1与n =2分别得d m
m b =+2
12，d m m b =+2132，两式相减得m =0. 综上所
述，m =0是数列}{n b 是等方差数列的充分必要条件.
15.解：设抽取的样本为x 名学生的成绩，则由第四行中可知12
0.3x
=
，所以x ＝40.∴④40 ③处填0.1，②0.025， ①1。

(2) 利用组中值估计平均数为
=90⨯0.025+100⨯0.05+110⨯0.2+120⨯0.3+130⨯0.275+140⨯0.1+150⨯0.05=122.5， (3)在［129，150］上的概率为
66
0.2750.10.050.2921011
⨯++⨯≈。

16.解：2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
π
x x x =-=-
(1)所以()f x 的最小正周期T π=
因为x R ∈，所以，当2242ππx k π-=+，即38
π
x k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称，只要证明对任意x R ∈，有
()()88
ππ
f x f x --=-+成立，
因为())]2)28842ππππ
f x x x x --=---=--=-，
())]2)28842ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-，
所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。

17.解：（1）设A 点坐标为()
,x y 1
3
AE K =
且 AE AD ⊥ 3AD K ∴=- 又()1,1T -在AD 上
360
1
31
x y y x --=⎧⎪
∴-⎨=-⎪+⎩ 02x y =⎧∴⎨=-⎩ 即A 点的坐标为()0,2- 又
M 点是矩形AEFD 两条对角线的交点 M ∴点()2,0即为矩形AEFD 外接圆的圆心，
其半径r MA ==P 的方程为()2
228x y -+=
（2）连AG 延长交BC 于点()
0,0N x y ，则N 点是BC 中点,连MN
G 是ABC ∆的重心，2AG GN ∴= ()()001,321,1x y ∴=--
003252x y ⎧
=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ M 是圆心，N 是BC 中点MN BC ∴⊥, 且 5MN K =-
15BC K ∴= 513252y x ⎛⎫
∴-=- ⎪⎝⎭
即直线BC 的方程为5110x y -+=
18. 解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>
2222cos222cos2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，
22
222cos 24sin l l xy θθ
≤=-，
222
11cos sin 22sin cos 224sin 4sin l l S xy θθθθθθ
=≤⋅⋅=， 所以，△ABC 面积的最大值为2cos 4sin l θθ
，当且仅当x y =时取到．
(2)设,(AB m AC n m n ==，为定值)． 2BC c =(定值) ， 由2DB DC l a +==，a =
1
2
l ，知点D 在以B 、C 为焦点的椭圆上， 1
sin 22
ABC S mn θ∆=
为定值． 只需D B C ∆面积最大,需此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶
点．
BCD b S ∆==
面积的最大值为122c b c ⋅⋅=
因此,四边形ACDB
面积的最大值为1sin 22m n c θ⋅⋅+19．（1）∵2
1
=
a ，∴6457)43(4143,43)21(212221=⨯+==+=•a •a .
（2）∵••
a n a a n n n ,012
12
1>=
---∴01>>-n n a a . ∴12
12
12
111----+
<+
=n n n n n n a a n a a n a a ，∴
211
11n
a a n n <--. （3）
2
2
12010031
21111)11()11(11++<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-=--n n n a a a a a a a a …
n
n n n n n 12)111()3121()211(1)1(1321211112
-=--++-+-+=-++⨯+⨯+
<+
又••a ,2
1
=
∴n a n <. ∵1221221211
)1(111-----+=∙-+-<+=n n n n n a n n n a n n an a n a a ，
∴.1
2
2
1n n a n n n a -+>-
∴122
12212121211
111-------++=-+∙+>+=n n n n n n n n n a a n n n a a n n n a n a a n a a .
∴
.1
1111111221
•n n n n n n a a n n +-=+>-+>-
- ∴
+-+->-+-+-=--)41
31()3121()11()11()11(11132211n n n a a a a a a a a 1121)111(+-
=+-n n n ∵431
=
a ，∴12
11|111651++=++<++<n n n n a n ，∴21++>n n a n . 综上所述，
.2
1
n a n n n <<++
20.解：（1）当3-=a 时，()333
123
+--=
x x x x f ， ∴()x f '()()13322+-=--=x x x x .
令()x f '=0, 得 121,3x x =-=.
当1-<x 时,()0'>x f , 则()x f 在()1,-∞-上单调递增; 当31<<-x 时,()0'<x f , 则()x f 在()3,1-上单调递减; 当3>x 时,()0'>x f , ()x f 在()+∞,3上单调递增. ∴ 当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 3
1433131=++--; 当3=x 时, ()x f 取得极小值为()399273
1
3+--⨯=
f 6-=. （2） ∵ ()x f '= a x x +-22
，∴△= a 44-= ()a -14 .
① 若a ≥1，则△≤0， ∴()x f '≥0在R 上恒成立，∴ f （x ）在R 上单调递增 . ∵f （0）0<-=a ，()023>=a f ,
∴当a ≥1时，函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点．
② 若a ＜1，则△＞0，∴()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x 1，x 2，（x 1<x 2）． ∴x 1+x 2 = 2，x 1x 2 = a ． 当x 变化时，()()x f ,x f
'
的取值情况如下表：
∵0212
1=+-a x x ,∴12
12x x a +-=.
∴()a ax x x x f -+-=
12131131=12112131231x x ax x x -++-()131231
x a x -+= ()[]
23312
11-+=a x x .
同理()2x f ()[]
233
12
22-+=a x x .
∴()()()[]()[]
23239122212121-+⋅-+=
⋅a x a x x x x f x f ()()()()
()[
]
2222122121292391-++-+=a x x a x x x x ()()[](){
}
22122122922391-+-+-+=a x x x x a a a (
)
339
4
2+-=a a a . 令f （x 1）·f （x 2）＞0, 解得a ＞0．
而当10<<a 时,()()023,00>=<-=a f a f ,
故当10<<a 时, 函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点.
综上所述，a 的取值范围是()+∞,0．
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，
共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B ．选修4—2 矩阵与变换
已知矩阵M 221a ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-， （1）求实数a 的值；
（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.
解：（1）由221a ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦=40-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，（2分） ∴2243a a -=-⇒=. （3分） （2）由（1）知M 2321⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则矩阵M 的特征多项式为
223()(2)(1)63421
f λλλλλλλ--==---=---- （5分）
令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4. （6分）
当1-=λ时， (2)30
02(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩
∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
; （8分）
当4λ=时， (2)30
2302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨-+-=⎩
∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （10分）
C ．选修4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围.
【解】由题设得004cos , 3sin x y ì=ïïíï=ïîq q （q 为参数，Îq R ）.
…………………………5分
于是0028cos 3sin )x y θθθϕ-=-=+，
所以
002x y -. ………………………10分
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .
（1）若点F 到直线l
l 的斜率；（4分）
（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）
解：（1）由已知，4x =不合题意.设直线l 的方程为(4)y k x =-，
由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， …………………1分
因为点F 到直线l
= …………………2分
解得2k =±，所以直线l
的斜率为2
± . …………………4分
（2）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，
因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为
004y x -，直线AB 的斜率为004x y -， 直线AB 的方程为0000
4()x y y x x y --=
-， …………………5分 联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩
消去x 得2200000(1)(4)04
x y y y y x x -
-++-=， …………………7分 所以0120
44y y y x +=-， …………………8分 因为N 为AB 中点，所以1202y y y +=，即000
24y y x =-， …………………9分 所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………10分 23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知n n x x f )1()(+=，
（1）若20112011012011()f x a a x a x =+++，求2011200931a a a a ++++ 的值；
（3分） （2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6
x 项的系数；（3分） （3）证明：1121(1)1232m m m m m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤+++
+=⎢⎥+⎣⎦．（4分） 解：（1）因为n n x x f )1()(+=,所以20112011()(1)f x x =+,又
20112011012011()f x a a x a x =+++,
所以20112011012011(1)2f a a a =+++= （1）
20110120102011(1)0f a a a a -=-++-= （2）
（1）-（2）得：201113200920112()2a a a a ++
++=
所
以：201013200920112011(1)2a a a a f ++
++== …………………3分 （2）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++ )(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +⨯+= …………………6分
（Ⅲ）设11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++
++ (1) 则函数()h x 中含m x 项的系数为112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ …………………7分
12(1)()(1)2(1)(1)m m m n x h x x x n x ++++=++++++ (2)
(1)-(2)得121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+
(1)[1(1)]()(1)1(1)
m n m n x x xh x n x x ++-+-=-+-+ 2()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x ++=+-+++
()h x 中含m x 项的系数，即是等式左边含2m x +项的系数，等式右边含2m x +项的系数为
21()!()!(2)!(2)!(1)!(1)!
m m m n m n m n n m n C nC m n m n ++++++-+=-
++-+- 1(1)(2)()!(1)12(1)!(1)12
m m n n n m m n m n C m m n m ++--+++++=⨯=++-+ 所以112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++1(1)12m m n m n C m ++++=+ …………10分。