2012年上海高考数学试题和答案(理科)(1)
2012年上海市高考数学试卷(理科)-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若是关于x 的实系数方程x 2+ bx + c =0的一个复数根，则( )A. b =2，c =3B. b =−2，c =3C. b =−2，c =−1D. b =2，c =−12. 在△ ABC 中，若sin 2 A +sin 2 B <sin 2 C ，则△ ABC 的形状是( ) A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 设10≤ x 1< x 2< x 3< x 4≤104，x 5=105.随机变量ξ 1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ 2取值，，，，的概率也均为0.2.若记Dξ 1，Dξ 2分别为ξ 1，ξ 2的方差，则( )A. Dξ 1> Dξ 2B. Dξ 1= Dξ 2C. Dξ 1< Dξ 2D. Dξ 1与Dξ 2的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. 设，S n = a 1+ a 2+⋯+ a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A. 25B. 50C. 75D. 100第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 计算：__________(i 为虚数单位)．6. 若集合A ={x|2 x +1>0}，B ={x|| x −1|<2}，则A ∩ B =__________．7. 函数的值域是__________．8. 若n =(−2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．9. 在(x −)6的二项展开式中，常数项等于__________．10. 有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则__________．11. 已知函数f(x)=e |x−a|(a 为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .12. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．13. 已知y = f(x)+ x 2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)= f(x)+2，则g(−1)=__________．14. 如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l 与极轴的夹角.若将l 的极坐标方程写成ρ= f(θ)的形式，则f(θ)=__________．15. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16. 在平行四边形ABCD 中，，边AB ，AD 的长分别为2，1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足，则的取值范围是__________．17. 已知函数y = f(x)的图像是折线段ABC ，其中A(0,0)，B(，5)，C(1,0).函数y = xf(x)(0≤ x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．18. 如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC =2.若AD =2 c ，且AB + BD = AC + CD =2 a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。
2012年上海高考理科数学试卷及解析
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1．（2012•上海）计算：= _________ （i为虚数单位）．2．（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=_________ ．3．（2012•上海）函数f（x）=的值域是_________ ．4．（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_________ （结果用反三角函数值表示）．5．（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于_________ ．6．（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═_________ ．7．（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是_________ ．8．（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_________ ．9．（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= _________ ．10．（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= _________ ．11．（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________ （结果用最简分数表示）．12．（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是_________ ．13．（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C （1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________ ．14．（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_________ ．二、选择题（20分）：15．（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣116．（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ＞Dξ21B．Dξ=Dξ21C．Dξ＜Dξ21D．Dξ与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关118．（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100三、解答题（共5小题，满分74分）19．（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20．（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．21．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN 的距离是定值．23．（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（2012•上海）计算：= 1﹣2i （i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算。
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)
上海 数学(理工农医类)1.(2012上海,理1)计算:3i 1i-+= (i 为虚数单位).1-2i 3i 1i -+=(3i)(1i)(1i)(1i)--+-=233i i i 2--+=1-2i .2.(2012上海,理2)若集合A ={x |2x +1>0},B ={x ||x -1|<2},则A ∩B = .1|x 32x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ A ={x |2x +1>0}=1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭,B ={x ||x -1|<2}={x |-1<x <3},∴A ∩B =1|x 32x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 3.(2012上海,理3)函数f (x )=2sin 1cosx x - 的值域是 .53,-22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ f (x )=2×(-1)-sin x cos x =-2-sin22x ,∵sin 2x ∈[-1,1],∴f (x )∈53,-22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4.(2012上海,理4)若n =(-2,1)是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).arctan 2 ∵n =(-2,1)是直线l 的一个法向量,∴v =(1,2)是直线l 的一个方向向量,∴l 的斜率为2,即倾斜角的大小为arctan 2.5.(2012上海,理5)在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项等于 .-160 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-160. 6.(2012上海,理6)有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…,则lim n →∞(V 1+V 2+…+V n )= .87 棱长是以1为首项、12为公比的等比数列,则体积V 1,V 2,…,V n是以1为首项、18为公比的等比数列,所以V 1+V 2+…+V n =111818n ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=87·118n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, ∴lim n →∞(V 1+V 2+…+V n )=87. 7.(2012上海,理7)已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数),若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是 .(-∞,1] f (x )=e ,x a,e ,x a,x a a x--⎧>⎨<⎩当x >a 时f (x )单调递增,当x <a 时,f (x )单调递减,又f (x )在[1,+∞)上是增函数,所以a ≤1. 8.(2012上海,理8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为.如图,由题意知12πl 2=2π, ∴l =2.又展开图为半圆,∴πl =2πr ,∴r =1,体积V =13πr 2h9.(2012上海,理9)已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-1)= . -1 令H (x )=f (x )+x 2,则H (1)+H (-1)=f (-1)+1+f (1)+1=0,∴f (-1)=-3,∴g (-1)=f (-1)+2=-1.10.(2012上海,理10)如图,在极坐标系中,过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α=π6.若将l 的极坐标方程写成ρ=f (θ)的形式,则f (θ)=.1πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭ 如图所示,根据正弦定理,有5πsin 6ρ=25πsin π6θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴ρ=1πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭.11.(2012上海,理11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).23若每人都选择两个项目,共有不同的选法222333C C C =27种,而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A =18种,故填23.12.(2012上海,理12)在平行四边形ABCD 中,∠A =π3,边AB ,AD 的长分别为2,1.若M ,N 分别是边BC ,CD 上的点,且满足||||BM BC =||||CN CD ,则AM ·AN 的取值范围是 . [2,5] 如图,设||||BM BC =||||CN CD =λ, 则λ∈[0,1],AM ·AN =(AB +BM )·(AD +DN )=(AB +λBC )·(AD +(λ-1)CD )=AB·AD +(λ-1)AB ·CD +λBC ·AD +λ(λ-1)BC ·CD=1×2×12+(λ-1)×(-4)+λ×1+λ(λ-1)×(-1)=1+4-4λ+λ-λ2+λ=-(λ+1)2+6.∵λ∈[0,1],∴AM ·AN∈[2,5].13.(2012上海,理13)已知函数y =f (x )的图像是折线段ABC ,其中A (0,0),B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭,C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为 .54由题意f (x )=110,0,211010,x 1,2x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )=22110,0x ,211010x,x 1.2x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为12⎰10x 2d x +112⎰(-10x 2+10x )d x =103x 3120|+23112105|3x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=103×18+1053⎛⎫- ⎪⎝⎭-5101438⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=54.14.(2012上海,理14)如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC =2.若AD =2c ,且AB +BD =AC +CD =2a ,其中a ,c 为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.23如图: 当AB =BD =AC =CD =a 时, 该棱锥的体积最大. 作AM ⊥BC ,连接DM ,则BC ⊥平面ADM ,AMDM 又AD =2c ,∴S△ADM =∴V D -ABC =V B -ADM +V C-ADM =2315.(2012上海,理15)若1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根,则( ). A .b =2,c =3 B .b =-2,c =3 C .b =-2,c =-1D .b =2,c =-1B 由题意知b 2-4c <0,则该方程的复数根为=1.∴b =-2,c =3.16.(2012上海,理16)在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是( ). A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定 C 由正弦定理可知a 2+b 2<c 2,从而cos C =2222a b c ab+-<0,∴C 为钝角,故该三角形为钝角三角形.17.(2012上海,理17)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105.随机变量ξ1取值x 1,x 2,x 3,x 4,x 5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值122x x +,232x x +,342x x +,452x x +,512x x +的概率也均为0.2.若记D ξ1,D ξ2分别为ξ1,ξ2的方差,则( ).A .D ξ1>D ξ2B .D ξ1=D ξ2C .D ξ1<D ξ2D .D ξ1与D ξ2的大小关系与x 1,x 2,x 3,x 4的取值有关A18.(2012上海,理18)设a n =1n sin π25n ,S n =a 1+a 2+…+a n .在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ). A .25B .50C .75D .100D ∵a n =1n sin 25n π,∴当n ≤24时,a n 均大于0,a 25=0, ∴可知S 1,S 2,…,S 25均大于0.又a 26=126sin 2625π=-126sin π25=-126a 1,∴S 26=2526a 1+a 2+…+a 25>0,而a 27=127sin 2725π=-127sin 225π=-227a 2,∴a 27+a 2>0.同理可得a 28+a 3>0,…,a 49+a 24>0,而a 51到a 74均为正项,a 75=0,a 76到a 99均为负项,且|a 76|<a 51,|a 77|<a 52,…,|a 99|<a 74,a 100=0, 故{S n }中前100项均为正数.19.(2012上海,理19)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB =2,AD =PA =2.求: (1)三角形PCD 的面积;(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 解:(1)因为PA ⊥底面ABCD ,所以PA ⊥CD .又AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面PAD .从而CD ⊥PD .因为PDCD =2, 所以三角形PCD 的面积为12×2×(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则B (2,0,0),C (2,0),E (11). AE =(11),BC =(0,0). 设AE 与BC 的夹角为θ,则cos θ=·||||AE BC AE BCθ=π4.由此知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.解法二:取PB 中点F ,连接EF ,AF,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角. 在△AEF 中,由EFAFAE =2, 知△AEF 是等腰直角三角形. 所以∠AEF =π4.因此,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.20.(2012上海,理20)已知函数f (x )=lg (x +1). (1)若0<f (1-2x )-f (x )<1,求x 的取值范围;(2)若g (x )是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x )=f (x ),求函数y =g (x )(x ∈[1,2])的反函数.解:(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得-1<x <1.由0<lg (2-2x )-lg (x +1)=lg 221x x -+<1,得1<221x x -+<10.因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10,-23<x <13.由11,21x 33x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得-23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg (3-x ). 由单调性可得y ∈[0,lg 2].因为x =3-10y ,所以所求反函数是y =3-10x ,x ∈[0,lg 2].21.(2012上海,理21)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y =1249x 2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t =0.5时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?解:(1)t =0.5时,P 的横坐标x P =7t =72,代入抛物线方程y =1249x 2,得P 的纵坐标y P =3.由|AP/时.由tan ∠OAP =730,得∠OAP =arctan 730,故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度.(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为(7t ,12t 2). 由vt整理得v 2=144221t t ⎛⎫+⎪⎝⎭+337. 因为t 2+21t ≥2,当且仅当t =1时等号成立.所以v 2≥144×2+337=252,即v ≥25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22.(2012上海,理22)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 1:2x 2-y 2=1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ,Q 两点.若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ;(3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1.若M ,N 分别是C 1,C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.解:(1)双曲线C 1:22x -y 2=1,左顶点A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,渐近线方程:y.过点A 与渐近线y平行的直线方程为yx ⎭,即y+1.解方程组1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为S =12|OA ||y(2)设直线PQ 的方程是y =x +b .因直线PQ 与已知圆相切,1,即b 2=2.由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2-2bx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则122122b,1.x x x x b +=⎧⎨=--⎩又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ),所以OP ·OQ=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时,|ON |=1,|OM则O 到直线MN当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为y =kx (显然|k则直线OM 的方程为y =-1kx .由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 所以|ON |2=2214k k ++.同理|OM |2=22121k k +-.设O 到直线MN 的距离为d ,因为(|OM |2+|ON |2)d 2=|OM |2|ON |2,所以21d =21||OM +21||ON =22331k k ++=3,即d综上,O 到直线MN 的距离是定值.23.(2012上海,理23)对于数集X ={-1,x 1,x 2,…,x n },其中0<x 1<x 2<…<x n ,n ≥2,定义向量集Y ={a |a =(s ,t ),s ∈X ,t ∈X }.若对任意a 1∈Y ,存在a 2∈Y ,使得a 1·a 2=0,则称X 具有性质P .例如{-1,1,2}具有性质P .(1)若x >2,且{-1,1,2,x }具有性质P ,求x 的值; (2)若X 具有性质P ,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;(3)若X 具有性质P ,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列x 1,x 2,…,x n 的通项公式. 解:(1)选取a 1=(x ,2),Y 中与a 1垂直的元素必有形式(-1,b ).所以x =2b ,从而x =4.(2)证明:取a 1=(x 1,x 1)∈Y . 设a 2=(s ,t )∈Y 满足a 1·a 2=0. 由(s +t )x 1=0得s +t =0,所以s ,t 异号. 因为-1是X 中唯一的负数,所以s ,t 之中一为-1,另一为1,故1∈X . 假设x k =1,其中1<k <n ,则0<x 1<1<x n .选取a 1=(x 1,x n )∈Y ,并设a 2=(s ,t )∈Y 满足a 1·a 2=0,即sx 1+tx n =0, 则s ,t 异号,从而s ,t 之中恰有一个为-1. 若s =-1,则x 1=tx n >t ≥x 1,矛盾; 若t =-1,则x n =sx 1<s ≤x n ,矛盾. 所以x 1=1.(3)解法一:猜测x i =q i -1,i =1,2,…,n . 记A k ={-1,1,x 2,…,x k },k =2,3,…,n .先证明:若A k +1具有性质P ,则A k 也具有性质P .任取a 1=(s ,t ),s ,t ∈A k ,当s ,t 中出现-1时,显然有a 2满足a 1·a 2=0; 当s ≠-1且t ≠-1时,则s ,t ≥1.因为A k +1具有性质P ,所以有a 2=(s 1,t 1),s 1,t 1∈A k +1,使得a 1·a 2=0,从而s 1和t 1中有一个是-1,不妨设s 1=-1. 假设t 1∈A k +1且t 1∉A k ,则t 1=x k +1.由(s ,t )·(-1,x k +1)=0,得s =tx k +1≥x k +1,与s ∈A k 矛盾. 所以t 1∈A k ,从而A k 也具有性质P . 现用数学归纳法证明:x i =q i -1,i =1,2,…,n . 当n =2时,结论显然成立;假设n =k 时, A k ={-1,1,x 2,…,x k }有性质P , 则x i =q i -1,i =1,2,…,k ;当n =k +1时,若A k +1={-1,1,x 2,…,x k ,x k +1}有性质P ,则A k ={-1,1,x 2,…,x k }也有性质P , 所以A k +1={-1,1,q ,…,q k -1,x k +1}.取a 1=(x k +1,q ),并设a 2=(s ,t )满足a 1·a 2=0.由此可得s =-1或t =-1. 若t =-1,则x k +1=q s≤q ,不可能;所以s =-1,x k +1=qt ≤q k 且x k +1>q k -1, 所以x k +1=q k .综上所述,x i =q i -1,i =1,2,…,n . 解法二:设a 1=(s 1,t 1),a 2=(s 2,t 2), 则a 1·a 2=0等价于11s t =-22t s .记B =,,||||s s X t X s t t ⎧⎫∈∈>⎨⎬⎩⎭,则数集X 具有性质P ,当且仅当数集B 关于原点对称.注意到-1是X 中的唯一负数,B ∩(-∞,0)={-x 2,-x 3,…,-x n }共有n -1个数,所以B ∩(0,+∞)也只有n -1个数. 由于1n n x x -<2n n x x -<…<2n x x <1n x x ,已有n -1个数,对以下三角数阵1n n x x -<2n n x x -<…<2n x x <1n x x 12n n x x --<13n n x x --<…<11n x x - ……21x x注意到1n x x >11n x x ->…>21x x ,所以1n n x x -=12n n x x --=…=21x x ,从而数列的通项为x k =x 1121k x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=q k -1,k =1,2,…,n .。
2012年理数高考试题答案及解析-上海-(5444)
2012上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题1．计算：3-i =1+i（i 为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】3-i (3-i)(1-i)2-4i ===1-2i 1+i(1+i)(1-i)2.【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{x x A ，}2|1||{x x B，则BA.【答案】3,21【解析】根据集合 A 210x ，解得12x，由12,,13x x 得到，所以3,21BA .【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.3．函数1sin cos 2)( x x x f 的值域是.【答案】23,25【解析】根据题目22sin 212cos sin )(x x x x f ，因为12sin 1x ，所以23)(25x f .【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】2arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则2arctan ,2tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于.【答案】160【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C ()160T x x.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则)(lim 21n nV V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21n nV V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7．已知函数||)(a x ex f （a 为常数）.若)(x f 在区间),1[上是增函数，则a 的取值范围是.【答案】1,【解析】根据函数,(),x ax ax ae x af x eexa看出当a x 时函数增函数，而已知函数)(x f 在区间,1上为增函数，所以a 的取值范围为：1,.【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.【答案】33【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l ，根据条件得到2212l ，解得母线长2l ，1,22r l r 所以该圆锥的体积为：331231S 3122h V 圆锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(x x f y是奇函数，且1)1(f ，若2)()(x f x g ，则)1(g .【答案】1【解析】因为函数2)(xx f y为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(g f f g 所以，又1232)1()1(,3)1(f g f .(1)(1).f f 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y为奇函数，所以有)()(x f x f 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6，若将l 的极坐标方程写成)(f 的形式，则)(f .【答案】)6sin(1【解析】根据该直线过点)0,2(M ，可以直接写出代数形式的方程为：)2(21xy，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1)(f .【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，3A，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||CD CN BC BM ，则AN AM 的取值范围是.【答案】5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2AD AB ，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), ,- ,- ,(2,()sin ).22224284423N x xBMCN CNx BMx M x x 则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AMx AN . 所以83235)4821(x x x AN AM 2521x，所以2 5.AM AN 642246105510ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(x f y 的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y （10x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为.【答案】45【解析】根据题意得到，110,02()11010,12x x f x x x从而得到22110,02()11010,12x x yxf x xx x 所以围成的面积为45)1010(10121221dxx xxdxS，所以围成的图形的面积为45.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC ，若c AD 2，且a CDACBD AB 2，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是.【答案】13222cac 【解析】据题a CDACBDAB 2，也就是说，线段CD ACBD AB与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC平面时，此时有最大值，此时最大值为：13222cac .【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分）15．若i 21是关于x 的实系数方程02c bx x的一个复数根，则（）A ．3,2cb B ．3,2c b C ．1,2c bD ．1,2c b【答案】B【解析】根据实系数方程的根的特点12i 也是该方程的另一个根，所以b i i 22121，即2b ，c i i 3)21)(21(，故答案选择 B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在ABC 中，若C BA222sin sin sin ，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A Ra 代入得到222abc ，由余弦定理的推理得222cos 02abcCab，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17．设443211010x x x x ，5510x ，随机变量1取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221x x x x x x x x x x 、、、、的概率也均为2.0，若记21DD 、分别为21、的方差，则（）A ．21D D B ．21D D C ．21DDD ．1D与2D的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关【答案】 A【解析】由随机变量21,的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x ，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x 且随机变量21,的概率都为2.0，所以有1D＞2D.故选择 A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.18．设25sin1n na n，n n a a a S 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P 中，底面ABCD 是矩形，PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB，22AD ，2PA，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形PCD 的面积为3232221................6分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．（6+8=14分）已知函数)1lg()(x x f ．（1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y（]2,1[x）的反函数.【答案及解析】，3132x【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222yx．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122yx相切，求证：OQ OP；（3）设椭圆2C ：1422yx，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点A 与渐近线x y 2平行的直线方程为22,2 1.2y xyx 即1ON ，22OM,则O 到直线MN 的距离为33.设O 到直线MN 的距离为d .【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．（4+6+8=18分）对于数集}1{21n x x x X，，，，，其中n x x x 210，2n ，定义向量集},),,(|{X tX s t s a a Y ，若对任意Y a 1，存在Y a 2，使得021a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{具有性质P ．（1）若2x，且},2,1,1{x 具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X 1，且当1n x 时，11x ；（3）若X 具有性质P ，且11x 、q x 2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，，21的通项公式.【答案及解析】必有形式),1(b 显然有2a 满足021a a【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
2012年高考真题试卷理科数学(新课标卷)答案解析版(1)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i--===---+-+--1:2p z =，22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形221332()224cP F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B -- 得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年高考真题——理科数学(上海卷)解析版(1)
2012上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题 1．计算：3-i=1+i（i 为虚数单位）. 【答案】1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i)2-4i ===1-2i 1+i (1+i)(1-i)2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A . 【答案】 ⎪⎭⎫⎝⎛-3,21 【解析】根据集合A 210x +>，解得12x >-，由12,,13x x --<<得到，所以⎪⎭⎫⎝⎛-=3,21B A .【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,25 【解析】根据题目22sin 212cos sin )(--=--=x x x x f ，因为12sin 1≤≤-x ，所以23)(25-≤≤-x f . 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】2arctan【解析】设直线的倾斜角为α，则2arctan ,2tan ==αα.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C ()160T x x=-=- .【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(]1,∞-【解析】根据函数,(),x a x ax ae x af x ee x a---+⎧≥⎪==⎨<⎪⎩看出当a x ≥时函数增函数，而已知函数)(x f 在区间[)+∞,1上为增函数，所以a 的取值范围为：(]1,∞- .【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】33π 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，根据条件得到ππ2212=l ，解得母线长2=l ，1,22===r l r πππ所以该圆锥的体积为：ππ331231S 3122=-⨯==h V 圆锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 【答案】1- 【解析】因为函数2)(x x f y +=为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(==+=g f f g 所以，又1232)1()1(,3)1(-=+-=+-=--=-f g f .(1)(1).f f -=-【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .【答案】)6sin(1θπ-【解析】根据该直线过点)0,2(M ，可以直接写出代数形式的方程为：)2(21-=x y ，将此化成极坐标系下的参数方程即可 ，化简得)6sin(1)(θπθ-=f .【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD =AN AM ⋅的取值范围是 .【答案】[]5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).22224284423N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AM x AN --==→→.【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】45 【解析】根据题意得到，110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩从而得到22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩所以围成的面积为45)1010(10121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是 . 【答案】13222--c a c 【解析】据题a CD AC BD AB 2=+=+，也就是说，线段CD AC BD AB ++与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC 平面⊥时，此时有最大值，此时最大值为：13222--c a c . 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b 【答案】 B【解析】根据实系数方程的根的特点1也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ） A ．21ξξD D > B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 【答案】 A【解析】 由随机变量21,ξξ的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x =++++，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭且随机变量21,ξξ的概率都为2.0，所以有1ξD ＞2ξD . 故选择A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯................6分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．（6+8=14分）已知函数)1lg()(+=x x f ． （1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数.【答案及解析】，3132<<-x【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ． （1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为, 1.y x y =+=+即1=ON ，22=OM ,则O 到直线MN .设O 到直线MN 的距离为d .【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23．（4+6+8=18分）对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ． （1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.【答案及解析】必有形式),1(b -显然有2a 满足021=∙a a【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
2012年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案解答：解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）点评：本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．解答：解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数f（x）=的值域是故答案为：点评：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题．4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．考点：平面向量坐标表示的应用．专题：计算题．分析：根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．解答：解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2∴α=arctan2故答案为：arctan2点评：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．考点：指数函数单调性的应用．专题：综合题．分析：由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围解答：解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=﹣1．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案解答：解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．解答：解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及正弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于基础题．11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5]．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．解答：解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+），N（），所以=（2+）•（）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．点评：本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点：函数的图象．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．解答：解：由题意可得，f（x）=，∴y=xf（x）=，设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx=10×+（﹣10）×+10×=﹣+5﹣==．故答案为：．点评：本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题．14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE 都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．解答：解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．二、选择题（20分）：15．（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1考点：复数相等的充要条件．专题：计算题；转化思想．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．解答：解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选择A．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断解答：解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，∴PD==2．∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1），=（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC==4．∴AE=PC=2，∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．解答：解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=，由得，所以．同理，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．考点：数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n．记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．解答：解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n先证明若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为A k+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈A k+1，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k 当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，所以A k+1═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．取=（x k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1=，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．。
2012年上海卷(理科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.1．计算：=+-ii13 .（i 为虚数单位）2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A I .3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 .4．若(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 .（结果用反三角函数值表示）5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，L ，n V ，L ，则=+++∞→)(lim 21n n V V V Λ .7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB ，AD 的长分别为2，1，若M ，N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A ，)5,21(B ，)0,1(C ，x loαM函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=， 且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是 .二、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 A ．2b =，3c = B ．2b =-，3c = C ．2b =-，1c =- D ．2b =，1c =- 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的概率均为2.0，随机变量2ξ取值122x x+，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +，的概率也均为2.0，若记1D ξ，2D ξ分别为1ξ，2ξ的方差，则 A ．21ξξD D > B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与1x ，2x ，3x ，4x 的取值有关18．设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++=Λ21，在1S ，2S ，L ，100S 中，正数的个数是A ．25B ．50C ．75D ．100 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （Ⅰ）三角形PCD 的面积；（Ⅱ）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.ABCD20．（本小题满分14分） 已知函数)1lg()(+=x x f ．（Ⅰ）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（Ⅱ）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数.21．（本小题满分14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（Ⅰ）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（Ⅰ）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及xABCDE PxPoAy轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）设斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（Ⅲ）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M ，N 分别是1C ，2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值.23．（本小题满分18分）对于数集12{1,}n X x x x =-L ,,,，其中n x x x <<<<Λ210，2≥n ，定义向量集 {|(,),,}Y a a s t s X t X ==∈∈r r ，若对任意1a Y ∈u r ，存在2a Y ∈u u r ，使得120a a ⋅=u r u u r，则称X 具有性质P ．例如{1,1,2}-具有性质P ． （Ⅰ）若2x >，且{1,1,2,}x -具有性质P ，求x 的值； （Ⅱ）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =；（Ⅲ）若X 具有性质P ，且11x =，2x q =（q 为常数），求有穷数列12,n x x x L ,,的通项公式.。
2012年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（理科）适用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、山西、河南、新疆、云南、河北、内蒙古 注息事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ）A . 3B . 6C . 8D . 102. 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（ ）A . 12种B . 10种C . 9种D . 8种3. 下面是关于复数21iz =-+的四个命题： 1:||2p z =；22:2i p z =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中的真命题为（ ）A . 23,p pB . 12,p pC . 24,p pD . 34,p p4. 设1F ,2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为（ ）A . 12B . 23C . 34D . 455. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A . 7 B . 5 C . 5-D . 7-6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数1a ,2a ,,N a ,输出A ,B ,则（ ）A . AB +为1a ,2a ,,N a 的和B .2A B+为1a ,2a ,,N a 的算术平均数C . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最大的数和最小的数D . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最小的数和最大的数7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（ ）A . 6B . 9C . 12D . 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A ,B 两点,||43AB =,则C 的实轴长为（ ）A .2B . 22C . 4D . 89. 已知0ω>,函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减,则ω的取值范围是 （ ） A . 15[,]24B . 13[,]24C . 1(0,]2D . (0,2] 10. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为（ ）A . 26B . 36C . 23D . 2212. 设点P 在曲线1e 2x y =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则||PQ 的最小值为（ ）A . 1ln2-B . 2(1ln 2)-C . 1ln2+D .2(1ln 2)+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量a ,b 夹角为45,且||1=a ,2|10-=|a b ,则|=|b _________.14. 设x ,y 满足约束条件1300x y x y x y --⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≤，≥，≥，则2z x y =-的取值范围为_________.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1 000,50)N ,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_________.16. 数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_________.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =,ABC △的面积为3,求b ,c .18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝,n ∈N ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝）,整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润（单位：元）,求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,1DC BD ⊥. （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小.20.（本小题满分12分）设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.（Ⅰ）若90BFD ∠=,ABD △的面积为42,求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值.21.（本小题满分12分）设函数121()(1)e(0)2x f x f f x x -'=-+.（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2f x x ax b ++≥,求(1)a b +的最大值.请考生在第22～24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC △的外接圆于F ,G 两点.若CF AB ∥,证明： （Ⅰ）CD BC =； （Ⅱ）BCD GBD △∽△.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π(2,)3. （Ⅰ）求点A ,B ,C ,D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-.（Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4|f x x -≤|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.FGDE AB C2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析可知：该程序的作用是：求出12naa a，，，中最大的数和最小的数其中A为12naa a，，，中最大的数，B为12naa a，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12na a a，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；，12ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结的范围即可．的部分图象确定其解析式．22222(2)44|a b|a b a a b b-=-=-+224||4||||cos45||a ab b=-︒+24|||10b b=-+=，解得||32b=【提示】由已知可得，2||||cos45||2ba ab b=︒=，代入2222(2)44a b|ab a a b b-=-=-+242||||10b b=-+=可求【考点】平面向量数量积的运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．14.【答案】[]3,3-【解析】画出可行域，易知当直线2z x y=-经过点(1,2)时，z取最小值z x=-经过点(3,0)时，60(a++-(1117++=315959(()a a a a=++++奇177********S S=+=+⨯=奇偶141n nb a++=142242n na a++++++--{}na的前60sin0C>，0πA<<，由余弦定理可得222a b caab+-，22a b+-cos1A=，0πA<<ππ66=A∴（2）ABCS=△，2a A=，222a b c∴=+-．解得b c=【提示】（Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin cos sin sin cosA C A C++整理可求AX 的数学期望()550.1650.2750.16850.5476.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，因为76.4>76，所以，直三棱柱，又1DC BD ⊥1DC D =2AB a =BDC ，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =Rt ABD △3,90a AD =AB ∴2AC BC +AC BC ∴⊥1BDA ，连结30． 30．轴，CB 为建立空间直角坐标系1(,0,2,0)(,0,A a a D a ，(,,DB a a =--1(,0,DC a =-11(,n x y =111100n DB ax az n DC ax ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩，不妨令，故可取1(1,2,1)n =同理，可求得平面1DBA 的一个法向量2(1,1,0)n =设1n 与2n 的夹角为θ，则1212cos ||||6n n n n =⨯30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -．【提示】（Ⅰ）证明只需证明1DC DC ⊥⊥，（Ⅱ）证明BC ⊥BC AC ⊥取A 重合且C DO ∠()e h x '=x →-∞时，（2）当a （3）当a ()0f x '>10a +>CF ABCF AD，=∴=CD AF∥CF AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BCD∴△∽△【提示】（Ⅰ）角，即可得到结论；（Ⅱ）证明两组对应角相等，即可证得。
2012年上海理科高考数学试题及答案
2( b 2 1) b 2b b 2 b 2 2 0, 故 OP ± OQ. ••…10 分 (3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1, |OM|= 22，贝U O 到直线MN 的距离为33 . 一 ………一^ 、 .一. _2设O 到直线MN 的距离为d,因为(|OM |所以 1212 12 3k 23 3,即 d=:d 2 |OM |2 |ON |2 k 2 13综上，O 到直线MN 的距离是定值.23.对于数集 X ( 1,x 1,x 2, , x n ｝,其中 0 x 1 x 2X ｝.若对于任意a1 Y ，存在a? Y ，使得a1 a 2 0 ,则称X具有性质P.例如X ( 1,1, 2｝具有性质P.(1)若 x>2,且｛ 1, 1, 2, x ｝，求 x 的值；(4 分)(2) 若X 具有性质P,求证：1 X,且当x n>1时，x 〔=1; (6分) (3)若X 具有性质P,且x 〔=1, x 2=q (q 为常数)，求有穷数列 x 〔，x 2,, x n 的通 项公式.(8分)［解］(1)选取a 1 (x, 2), 丫中与a 1垂直的元素必有形式(1, b).……2分 所以x=2b,从而x=4...... 4分(2) 证明：取 a 1 (x 1, x 1) Y .设 a 2 (s, t) Y 满足 a1 a 2 0.由(s t)x 〔 0得s t 0,所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以 s 、t 中之一为-1,另一为1, 故1 X. ……7分 假设x k 1，其中1 k n,则0 x 〔 1 x n .选取 a 〔 (x 〔，x n )Y ,并设 a 2 (s,t) Y满足a1 a 2 0,即 s%tx n0 ,则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s=-1,则2,矛盾；若 t =-1,则 x n sx 1 s x n ，矛盾. 所以x 1=1.……10分___i 1八(3) ［解法一］猜测x q , i=1,2,…，n.……12分记 A k { 1,1, x 2,, x k } , k =2, 3, ■" , n.先证明：若A k 1具有性质P,则A k 也具有性质P.任取a 1 (s, t) , s 、t A k .当s 、t 中出现-1时，显然有a 2满足a1 a 2 0； 当s 1且t 1时，s 、t 消. 因为A k1具有性质P,所以有a 2 (s1,t1) , &、t 1A k1,使得a1 a 2 0,从而s 1和t 1中有一个是-1,不妨设§ =-1.当直线 设直线 ON 不垂直于 ON 的方程为由y 2 4x 2 kx 2 y 同理|OM |2x 轴时, kx 2 x2y(显然| k| 14kk ,所以 k 2 22 )，则直线OM |ON |2 4 k ： 的方程为y 1x. 13分_2 2 _ 2 _ 2|ON | )d |OM | |ON | ,..... 16分xn, n 2 ,定义向量集Y (a|a (s,t),s X,t假设t1 A k 1 且t1 A k ,则t1 x k 1.由(s, t) ( 1, x k 1) 0 ,得s tx k 1 x k 1,与2 2 22( b 1) b 2b b b 2 0, 故 OPLOQ.••…10 分(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1, |OM|= I ,贝U O 到直线MN 的距离为33 .当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y kx (显然| k| ；),贝U 直线OM 的方程为y 〔 x .29222设O 到直线MN 的距离为d,因为(|OM| |ON I )d |OM I I ON I , 所以 L 1 212 3k 2 33,即 d=:.d 2 |OM |2 |ON |2 k 2 13综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分23.对于数集X ( 1,X1,X2, , Xn},其中0 Xi X 2 Xn , n 2 ,定义向量集X).若对于任意& Y ,存在a 2 Y ,使得务& 0 ,则称X具有性质R 例如X ( 1,1,2｝具有性质P.(1) 若 x>2,且｛ 1, 1, 2, X ｝，求 x 的值；(4 分)(2) 若X 具有性质P,求证：1 X,且当Xn>1时，xi=1; (6分) (3) 若X 具有性质P,且xi=i, x2=q (q 为常数)，求有穷数列 Xi,X2, , Xn 的通项公式.(8分)［解］(1)选取务(x,2), Y 中与&垂直的元素必有形式(1, b).……2分 所以x=2b,从而x=4....... 4分(2) 证明：取％ (x 〔，Xi) Y.设去(s, t) Y 满足角a 2 0.由(s t)xi 。
2012年上海市高考数学试卷理科学生版
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：=上海）计算：（i为虚数单位）．（1．4分）（2012?2．（4分）（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=．．的值域是=）（x分）（2012?上海）函数f3．（4的倾斜角ll的一个法向量，则2，1）是直线4．（分）（2012?上海）若=（﹣4．（结果用反三角函数值表示）的大小为的二项展开式中，常数项等于分）4（2012?上海）在．5．（6．（4分）（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V，V，…，V，…，则（V+V+…+V）═．n211n2xa||﹣（a为常数）．若f（）2012?上海）已知函数f（x=ex）在区间[1，47．（分）（+∞）上是增函数，则a的取值范围是．8．（4分）（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．2是奇函数，且f（1）=1，若+xg（x）=f上海）已知9．（4分）（2012?y=f（x）（x）+2，则g（﹣1）=．10．（4分）（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极．的形式，则f（θ）=）的极坐标方程写成a=轴的夹角，若将lρ=f（θ上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人（2012?分）11．（4都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是．（结果用最简分数表示）的长分别、，边中，∠上海）在平行四边形（4．12（分）2012?ABCDA=ABAD 的CD上的点，且满足=，则，为2、1若M、N分别是边BC、取值范围是．13．（4分）（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．14．（4分）（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．：20分）二、选择题（2的一个复数+c=0+bx是关于1+ix的实系数方程x15．（5分）（2012?上海）若）根，则（1﹣b=2，c=，c=﹣1D．﹣，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=2．Ab=2222的形状是ABCCsin＜Bsin5分）（2012?上海）在△ABC中，若sin，则△A+．16（）（．不能确定DC．钝角三角形A．锐角三角形B．直角三角形54取值，随机变量x=10ξx＜x＜x≤10，1017．（5分）（2012?上海）设≤x＜125134、、取值、的概率均为0.2，随机变量ξ、x、x、xx、x242315）（ξ分别为、ξ的方差，则、，、的概率也均为0.2若记DξDξ2211 Dξ＞DξA．21=Dξ．BDξ21DξDξ＜．C21．D．Dξ与Dξ的大小关系与x、x、x、x的取值有关41322118．（5分）（2012?上海）设a=sin，S=a+a+…+a，在S，S，…S中，正100n21n12n数的个数是（）A．25B．50C．75D．100分）三、解答题（共小题，满分745PA中，底面ABCDABCD是矩形，分）（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣1219．（，求：，PA=2PC的中点，已知AB=2，AD=2是⊥底面ABCD，E的面积；）三角形PCD（1所成的角的大小．AE（2）异面直线BC与）+1）=lg（x14分）（2012?上海）已知f（x20．（的取值范围；x）＜1，求x1﹣2x）﹣f（f（1）若0＜（，求函）（xg（x）=f0g（x）是以2为周期的偶函数，且当≤x≤1时，2（）若）的反函数．2]∈[1，y=g数（x）（x上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前2012?14分）（（21．海里为单1位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以处，如图，现假设：A12海里位长度），则救援船恰好在失事船正南方向；①失事船的移动路径可视为抛物线②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；7t小时后，失事船所在位置的横坐标为③救援船出发t的纵坐标，若此时两船恰好会合，求P）当t=0.5时，写出失事船所在位置1（救援船速度的大小和方向．）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（222．y：2x=1﹣分）（2012?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C22．（16 1xC的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及1）过C的左顶点引（11轴围成的三角形的面积；22OP=1+y相切，求证：P、Q两点，若l与圆x1（2）设斜率为的直线l交C于1；⊥OQ22，求ONOMC上的动点，且⊥M、N分别是C（3）设椭圆C：4x+y、=1，若212的距离是定值．MN证：O到直线x＜＜x}…，x，其中02012?（上海）对于数集X={﹣1，x，x，23．（18分）2211n存在，，}若对任意，t∈Xsnx，≥2，定义向量集Y={=（s，t），∈X＜＜…n．}2具有性质P．例如，则称X具有性质P{﹣1，1，，使得的值；，求1，，2，x}具有性质Px{x（1）若＞2，且﹣1；x1时，=1＞∈具有性质（2）若XP，求证：1X，且当x1n的，x，，求有穷数列q=qx=1xPX3（）若具有性质，且、（为常数）x…，x n1221通项公式．。
2012上海市高考数学试卷及参考答案
1. 计算：设i 为虚数单位，则31ii-=+ . 2.（文）若集合{}|210A x x =->，{}||1B x x =<，则A B = .（理）若集合{}|210A x x =+>，{}|1|2B x x =-<，则A B = .3. （文）函数2()1sinx f x cosx=-的最小正周期是 .（理）函数2()1cosx f x sinx =-的值域是 .4.（文）若(2d =，1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 .（理）若(2n =-，1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 .5.（文）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为 .（理）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .6.（文）方程14230xx +--=的解是 .（理）有一列正方体，其棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，⋅⋅⋅，n V ，⋅⋅⋅，则12()n n lim V V V →∞++⋅⋅⋅+= .7.（文）有一列正方体，其棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，⋅⋅⋅，n V ，⋅⋅⋅，则12()n n limV V V →∞++⋅⋅⋅+= .（理）已知函数||()x a f x e -=，a 为常数. 若()f x 在区间[1，)+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .8.（文）在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .（理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9.（文）已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= .（理）已知2()y f x x =+是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1f =，则(1)g -=.10. （文）满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 .（理）如图所示，在极坐标系中，过点(2M ，0)的直线l 与极轴的 夹角6πα=， 若将直线l 的极坐标方程写成()f ρθ=的形式，则()f θ= .11. 三位同学参加跳远、跳高、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 . 12. （文）在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是 . （理）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是 边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是 . 13. （文）已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0A ，0)、1(2B ，1)、(1C ，0)， 那么函数()(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为 .（理）已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0A ，0)、1(2B ，5)、(1C ，0)， 那么函数()(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14. （文）已知函数1()1f x x=+. 各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，且2()n n a f a +=. 如果20102012a a =，那么2011a a +的值是 .（理）如图所示，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =.若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=， 其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值为 .α lxOMDCBA15. 若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则 （ ）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-C ．2b=-，1c =-D ．2b=-，3c =16. 对于常数m 、n ，“0mn>”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. （文）在ABC 中，若222sinA sinB sinC +<，则ABC 的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定（理）设412341010x x x x ≤<<<≤，5510x =. 随机变量1ξ取值1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +的概率均为0.2. 若记1D ξ、2D ξ分别是随机变量1ξ、2ξ的方差，则（ ）A ．12D D ξξ>B ．12D D ξξ=C ．12D D ξξ<D ．1D ξ与2D ξ的大小关系和1x ，2x ，3x ，4x 取值有关18. （文）若2()777nn S sinsinsin n N πππ*=++⋅⋅⋅+∈，则在1S ，2S ，3S ，⋅⋅⋅，100S 中， 正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100（理）设125n n a sin n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+. 则在1S ，2S ，⋅⋅⋅，100S 中，正数的个数（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10019. （文）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点. 已知2AB =，23AC =，2BAC π∠=，2PA =.①求三棱锥P ABC -的体积；②求异面直线BC 与AD 所成的角的大小.（理）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC的中点. 已知2AB =，22AD =，2PA =.①求PCD 的面积； ②求异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20. 已知函数()(1)f x lg x =+.①若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；②如果()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =(12)x ≤≤的反函数.PDCB AABCPDE21. 海事救援船对一艘失事船只进行定位：以失事船只的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，且以1海里为单位长度. 则救援船只恰好在失事船只正南方向12海里A 处，如图所示. 现假设：失事船只的移动路径可视为抛物线21249y x =，定位后救援船只立即沿直线匀速前往救援，且救援船只出发t 小时后，失事船只所在位置的横坐标为7t . ①当0.5t=时，写出失事船只所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船只速度的大小和方向；②问救援船只的时速至少是多少海里才能追上失事船只？22. （文）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C xy -=.①设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若||22MF =，求点M 的坐标；②过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； ③设斜率为(22)k k -<<的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥.（理）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C xy -=.①过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；②设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥； ③设椭圆222:41C x y +=，若M 、N分别是1C 、2C 上的动点，且OMON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离为定值.PAyxO23. （文）对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{1k b max a =，2a ，⋅⋅⋅，}(1k a k =，2，⋅⋅⋅，)m ，即k b 为1a ，2a ，⋅⋅⋅，k a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.①若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ；②设{}n b 是{}n a 的控制数列，且满足1k m k a b C -++=，其中C 为常数，1k =，2，⋅⋅⋅，m ，求证：(1k k b a k ==，2，⋅⋅⋅，)m ；③设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122100100()()()b a b a b a -+-+⋅⋅⋅+-.（理）对于数集{1X =-，1x ，2x ，⋅⋅⋅，}n x ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集{|(Y a a s ==，)t ，s X∈，}t X ∈，若对任意的1a Y ∈，存在2a Y∈ ，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P . 例如，{1-，1，}2具有性质P .①若2x >，且{1-，1，2，}x 具有性质P ，求x 的值；②若X 具有性质P ，求证：1X∈，且当1nx >时，11x =；③若X 具有性质P ，且11x =，2x q =，q 为常数，求有穷数列1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的通项公式.参考答案（文）1. 12i-2.1,1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. π4.12 arctan5. 6π6.23log7. 8 78. 20-9. 310. 2-11. 2 312. []1,413. 1 414. 135326+15. D16. B17. A18. C19. ①433②34arccos20. ①21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭②310(02)xy x lg=-≤≤21. ①速度为949海里/小时，方向为北偏东730arctan弧度②2522. ①6,22M⎛⎫±⎪⎝⎭②24③略23. ①2,3,4,5,12,3,4,5,22,3,4,5,32,3,4,5,42,3,4,5,5②略③2525(1)a-——————————————————参考答案（理）1. 12i-2.1,32⎛⎫-⎪⎝⎭3.53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦4. 2arctan5. 160-6. 877.(],1-∞8.33π9.1-10.16sin πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭11. 2312. []2,513. 54 14. 22213c a c -- 15. B16. C 17. A18.D19. ①23 ②4π20. ①21,33⎛⎫-⎪⎝⎭ ②310(02)x y x lg =-≤≤21. ①速度为949海里/小时，方向为北偏东730arctan弧度 ②2522. ①28②略③定值为3323. ①4②略 ③1(1,2,,)k k x q k n -==⋅⋅⋅。
2012年上海高考数学理科精彩试题及问题详解
2012年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题，满分56分) 1.计算：ii+-13= (i 为虚数单位). 2.若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .3.函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4.若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).5.在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7.已知函数||)(a x ex f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).12.在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 15.若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则( )(A)3,2==c b .(B)3,2=-=c b . (C)1,2-=-=c b .(D)1,2-==c b .16.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 ( )(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.17.设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则( )(A)1ξD >2ξD .(B)1ξD =2ξD .(C)1ξD <2ξD .(D)1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18.设251sin πn n n a =，n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 ( )(A)25. (B)50. (C)75. (D)100. 三、解答题(本大题共有5题，满分74分)19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：(1)三角形PCD 的面积；(6分)(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.(6分)ABCDA BCDPE20.已知函数)1lg()(+=x x f . (1) 若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；(6分)(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.(8分)21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.(1)当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)22.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .(1)过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；(4分)(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；(6分)(3)设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.(6分)23.对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . (1)若x >2，且},2,1,1{x -，求x 的值；(4分)(2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n >1时，x 1=1；(6分)(3)若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q (q 为常数)，求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.(8分)2012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：ii+-13= 1－2i (i 为虚数单位).[解析] i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-.2.若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A =)3,(21- . [解析] ),(21∞+-=A ，)3,1(-=B ，A ∩B =)3,(21-. 3.函数1sin cos 2)(-=x xx f 的值域是],[2325-- .[解析]x x x x f 2sin 2cos sin 2)(21--=--=∈],[2325--.4.若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 arctan 2 (结果用反三角函数值表示). [解析] 方向向量)2,1(=d ，所以2=l k ，倾斜角α=arctan 2. 5.在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 －160 .[解析] 展开式通项rr r r r r r r r r x C x x C T 2666612)1(2)1(---+-=-=，令6－2r =0，得r =3，故常数项为1602336-=⨯-C .6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .[解析] 易知V 1,V 2,…,V n ,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 78121811)(lim ==+++-∞→Vn n V V V . 7.已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 (－∞, 1] . [解析]令||)(a x x g -=，则)()(x g ex f =，由于底数1>e ，故)(x f ↑ )(x g ↑，由)(x g 的图像知)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数时，a ≤1. 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π3 .[解析] 如图，ππ2221=l ⇒l =2，又2πr2=πl =2π⇒r =1， 所以h=3，故体积ππ33231==h r V .9.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g －1 . [解析] 2)(x x f y +=是奇函数，则4]1)1([)1()1(22-=+-=-+-f f ，所以3)1(-=-f ，1.10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf )sin(16θπ- .[解析] )0,2(M 的直角坐标也是(2,0)，斜率31=k ，所以其直角坐标方程为23=-y x ，化为极坐标方程为：2sin 3cos =-θρθρ，1)sin cos (2321=-θθρ，1)sin(6=-θρπ，)sin(16θπρ-=，即=)(θf )sin(16θπ-.(或=)(θf )cos(13πθ+)11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32(结果用最简分数表示).[解析] 设概率p=n k ，则27232323=⋅⋅=C C C n ，求k ，分三步：①选二人，让他们选择的 项目相同，有23C 种；②确定上述二人所选择的相同的项目，有13C 种；③确定另一人所选的项目，有12C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ，故p=322718=.12.在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 [2, 5] . [解析] 如图建系，则A (0,0)，B (2,0)，D (21,23)，C (25,23).t CD CN BC BM ==||||∈[0,1]，则t BM =||，t CN 2||=， 所以M (2+2t,23t )，N (25－2t ,23)， 故AM ⋅=(2+2t)(25－2t )+23t⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--，因为t ∈[0,1]，所以f (t )递减，(⋅)max = f (0)=5，(⋅)min = f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点：M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D )，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为45.[解析]如图1，⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,10100,10)(2121x x x x x f ， 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,10100,10)(212212x x x x x x xf y ， 易知，y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND 与OMP 全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=452521=⨯.[评注]对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。
2012年上海市高考数学试卷(理科)教师版
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为1﹣2i2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．【分析】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案【解答】解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x ＜3}，所以A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是，．【分析】先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．【解答】解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数f（x）=的值域是，故答案为：，4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．【解答】解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2∴α=arctan2故答案为：arctan25．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣1606．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．【分析】由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．【分析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f （x）+2，则g（﹣1）=﹣1．【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．【分析】取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．【解答】解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5] ．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+，），N（，），所以=（2+，）•（，）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．【分析】根据题意求得f（x）=，，，从而y=xf（x）= ，，，利用定积分可求得函数y=xf （x ）（0≤x ≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积．【解答】解：由题意可得，f （x ）=，，， ∴y=xf （x ）=，，， 设函数y=xf （x ）（0≤x ≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为S ， 则S=10x 2dx +（﹣10x 2+10x ）dx=10×+（﹣10）× +10×=﹣ +5﹣ = =． 故答案为：．14．（4分）（2012•上海）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c ，且AB +BD=AC +CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是．【分析】作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，说明B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，BE=CE ．取BC 中点F ，推出四面体ABCD 的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．二、选择题（20分）：15．（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣1【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选：B．16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=＜∴＜＜∴△ABC是钝角三角形故选：C．17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关【分析】根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．【解答】解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选：A．18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选：D．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．【分析】（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，∴PD==2．∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1），=（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC==4．∴AE=PC=2，∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由＞＞解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴＜＜．由＜＜＜＜，得：＜＜．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P 的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP ⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON 不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM 的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．【解答】解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣，），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=，由得，所以．同理，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．【分析】（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t 异．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n．记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k ﹣1，k=1，2，3，…，n．【解答】解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n具有性质P，则A k也具有性质P．先证明若A k+1任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而因为A k+1s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，假设t1∈A k+1与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，所以A k+1═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．取=（x k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1=＜，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．。
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2012年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（文史类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算：
31i
i
-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}
210A x x =->，{}
1B x x =<，则A B ⋂＝ 3、函数sin 2()1
cos x f x x
=
-的最小正周期是
4、若(2,1)d =
是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角
函数值表示）
5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为
6、方程1
42
30x
x +--=的解是
7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、1
2
为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞
+++=
8、在6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的二项式展开式中，常数项等于
9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是
11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）
12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上
的点，且满足BM CN BC CD
= ，则AM AN ⋅
的取值范围是
13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1
(,1)2
B 、(1,0)
C ，函数
()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为
14、已知1
()1f x x
=
+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若
20102012a a =，则2011a a +的值是
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15、若12+i 是关于x 的实系数方程2
0x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A 、2,3b c ==
B 、2,1b c ==-
C 、2,1b c =-=-
D 、2,3b c =-= 16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程2
2
1mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件
17、在△ABC 中，若2
2
2
sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sin sin
(i)
7
77
n n S π
ππ=+++（n N *
∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）
A 、16
B 、72
C 、86
D 、100
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝
2
π
，2AB =，23AC =，2PA =，求：
（1）三棱锥P ABC -的体积
（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） P
A D
B C
20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+
（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围
（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线2
1249
y x =
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
y
P
O
x
A
22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分
在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2
2
:21C x y -=
（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若22MF =，求点M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k （2k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求
证：OP ⊥OQ
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为
12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列
是1，3，3，5，5
（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：
k k b a =（1,2,...,k m =）
（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，若(1)22
(1)
n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，
求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-
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