解析函数的幂级数展开

解析函数的幂级数展开
解析函数的幂级数展开属《数学物理方法》课程中的重要内容，教材一般分别介绍泰勒展开和罗朗展开，导致学生在课后练习时，常常在对一个函数作级数展开时，常常遗漏一些解。

这里我们对幂级数展开的习题作一个简明的说明。

这里的幂级数展开包括泰勒展开和罗朗展开。

作幂级数展开就是要求展开系数。

泰勒展开系数可由公式
L ,2,1,0,!
)()(==
k c k a f k k （1）
计算。

具体计算可参考教材。

一般幂级数展开是用其他已知展开式来进行，罗朗展开则更是如此。

值得说明，当函数和展开中心给定之后，该函数到底是展成泰勒级数还是罗朗级数，则是由函数自身的因素所决定。

关于展开中心a 的问题，有下列几种等效说法：① 在a z =展开；② 以a z =为中心展
成幂级数；○
3在a z =附近作××展开。

这几种说法，都是解析函数)(z f 应展成： k k a z c z f )()(−=∑
例1 将函数
2
32
)(−−=
z z z
z f 在奇点2=z 作罗朗展开。

解 这里题目明确说明作罗朗展开，其实并不是人为规定的，而是由)(z f 的函数形式和展开中心2=z 本身所确定，即是说，这时只能展成罗朗级数，展开的一般表达式为
∑∞
−∞
=−=
k k k
z c
z f )2()( （2）
为作展开，首先作最简分式分解：
1
122)(+−+
=
z z z f （3）
(3)式右边第一项是)2(−z 的方幂形式，已满足(2)式要求，故只要将第二项展开即可。

下面再讨论展开区域。

如图1所示，先z 平面上把展开中心和)(z f 的各奇点标出，显然
2=z 和1−=z 是)(z f 的两个奇点。

图1
以展开中心2=z 为圆心，以展开中心2到最近的奇点1−=z 的距离3为半径作圆。

由图1可知，它有两个展开区域：1)320<−<z ；2) ∞<−<23z
因1)中02=−z 代表圆心，而)(z f 在圆心处不解析，所以展开区域不应包括这一点，因此区域表达式中有20−<z 这一部分；另外，奇点1−=z 在圆周上，区域应把圆周去掉；因此区域应是2−z 小于半径3的区域：32<−z 。

两方面综合起来，即是区域1)。

图中圆周内部不含圆心的区域。

区域2)即圆周以外的区域(当然不包括无限远)。

现分别在两区域中展开(3)式第二项。

1）320<−<z
为将11
+z 展成)2(−z 的方幂的形式，首先在分母)2(−z 中把写出，因此有
3)2(1
1
1+−+=
z z （4）
这里的展开可利用已有的展开公式：
1,0
11<=∑∞
=−u u k k u
（5）
则11
+z 展开为：
∑
∑∞
=−∞
=−+−=−
=0
32310
3
2311
1)()1((k k
z k k k z z 故 320,(
)1()(0
3
23
1
2
2<−<−+
=
∑∞
=−−z z f k k z k
z （6）
2）∞<−<23z
这时由区域表达式的23−<z ，所以
∑∑∞
=−−∞
=−−−+−+−+−=
−=⋅=
=
232
10
232
1)2/(311213
)2(11
1)()1()(k k z k z k k
z z z z z z
故
)23(,)1()(0
)2(32
2
1
∞<−<−+=
∑∞
=−−+z z f k z k
z k k
（7）
例2 将函数在
2
32
)(−−=
z z z
z f 在以0=z 为中心的圆域或环域中展开。

解 这里没有明确说出到底是展成泰勒级数还是罗朗级数，意味着由题目自身的性质而定。

同样)(z f 的最简分式仍为(3)式。

题目已指明，展开中心为0=z ，所以展开的一般表达式为：k k
z c
z f ∑=)(，与例l 显然不同。

图2
下面讨论展开区域。

在z 平面上，如图2，把展开中心和)(z f 的各奇点标出。

再以展开中心0=z 为圆心，以它到最近的一个奇点。

1−=z 的距离1为半径作圆周1C ，由此得第一个区域：1<z 。

这里l 是圆半径；没有z <0这一部分，是因0=z ，即圆心是)(z f 的解析点，故0=z 应在展开区域中。

第二个展开区域可如下得到，以展开中心0=z 为圆心，以0=z 到次一个最近的奇点
2=z 的距离2为半径作圆2C 得：21<<z 。

此式中，l 、2是两圆的半径，即第二个区域是两圆周1C 、2C 之间的区域。

至此，第三个区域自然出现：∞<<z 2，此即圆周2C 之外的区域。

由此可见，寻找展开区域的一般法则是：以展开中心a 为圆心，分别以展开中心到各奇点的距离为半径作圆，相邻圆周(半径为∞的圆周不明显画出)所围的开区域即为各展开区域，其中包括展开中心的区域可能是单通区域，如例2的第一个区域：1<z 。

下面分别将(3)式在这三个区域中展开。

第一个区域：1<z ：
2,1,(2
22
/112
22
2<<=
⋅
−=∑∞
=−−z z
k k z z z (8)
1,)
1()(0
3
10
)
(111
1<−=
−==
∑∑∞
=∞
=−−+z z z k k k
k k
z z (9)
由(8)、(9)两式，可得)(z f 在区域1<z 中的展开为
∑∑∞
=∞
=−+−=0
2)1()()(k k k k k z z z f (1O)
(10)式中只有z 的正幂项，可见在单通区域1<z 中展开确为泰勒级数。

第二个区域：21<<z ：
这是图2中圆周1C 、2C 之间的开区域，有
1,1)
1()(10
1
11/11111
11
><−=
−
=
⋅
=
∑∑∞
=∞
=+++z z
k z
k k k z
z
z
z
z k （11）
所以由(8)、(11)两式，在)(z f 区域21<<z 中的展开为：
21)
1((
)(0
10
2
1
<<−+
=
∑∑∞
=∞
=+z z f k z k
k k
z k （12）
第三个区域：：∞<<z 2
1>z 区域即图2中圆周1C 以外的区域，它包含区域2>z ，所以
∑∑∞
=+∞
=−−=
=⋅=
120
22
/21112
2)
(
)(
k k z
k k z
z
z z z (13)
由(11)、(13)，)(z f 在∞<<z 2中展开为
∞<<−+
=
∑∑∞
=∞
=++z z f k z k
k k z
k 2,)1(()(0
1
121
(14)
讨论：例l和例2表明，尽管是同一个函数，但只要展开中心不同，则不仅展开区域不同，而且展开级数也不同。