陕西省铜川市2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析

陕西省铜川市2021届新高考适应性测试卷数学试题（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用
韦达定理结合已知条件得2
2k b k -=，2m k
=，代入上式即可求出k 的取值范围．
【详解】
设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立方程2
4y kx b y x
=+⎧⎨
=⎩，消去y 得：222
(24)0k x kb x b +-+=， ∴△222(24)40kb k b =-->，
1kb ∴<，
且122
42kb x x k -+=，2
122b x x k
=， 12124
()2y y k x x b k
+=++=
， Q 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，
∴122422kb x x k -+=
=，12
4
2y y m k
+==， 2
2k b k -∴=，2m k
=，
0m >Q ，
0k ∴>，
把2
2k b k
-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，
1k ∴>，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．
2．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）
A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85
【答案】D
【解析】
【分析】
由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.
【详解】
设等比数列{a n}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，
∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，
∴q＝﹣2，则
11
a=，
则
8
8
1[1(2)]
85
12
S
⨯--
==-
+
，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题. 3．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
4．函数()f x =
）
A ．{2x x ≤或}3x ≥
B ．{
3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}
32x x -≤≤-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】
由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{
2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
5．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）
A ．37
B ．13
C D
【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据余弦定理求解即可． 【详解】
解：∵3,4,120a b C ︒
==∠=，
∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，
∴c = 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．
6．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1-
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
由555
(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】
由555
(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，
则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32
551010C aC a +=+，
二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 7．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c
1
2
比较即可. 【详解】
由0.50.50.820.8a =>
1sin1sin 232
b π<=<==<
11lg3lg1022
c =<==，
所以有c b a <<.选C. 【点睛】
本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.
8．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．
4a
m
B ．
2
a m
+ C ．
2a m
m
+ D ．
42a m
m
+ 【答案】D 【解析】 【分析】
由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足01
01
x y <<⎧⎨
<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三
边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值． 【详解】
解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即01
01
x y <<⎧⎨<<⎩，
对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，
若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101
x y x y x y ⎧+<⎪
+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，
其面积142S π
=
-；则有142a m π=-，解得42a m m
π+= 故选：D ． 【点睛】
本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 9．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”
B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题
C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立
D ．“若1sin 2α≠，则6
π
α≠”是真命题 【答案】D 【解析】
选项A ，否命题为“若1a ≤，则21a ≤”，故A 不正确．
选项B ，逆命题为“若a b <，则22am bm <”，为假命题，故B 不正确． 选项C ，由题意知对x ∀()0,∈+∞，都有34x x <，故C 不正确． 选项D ，命题的逆否命题“若6
π
α=，则1sin 2α=
”为真命题，故“若1sin 2α≠，则6
π
α≠”是真命题，所以D 正确． 选D ．
10．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3- B ．2
C ．3
D ．2-
【答案】A 【解析】 【分析】
由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -． 【详解】
因为()f x 是定义在[]22-,
上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]
0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.
故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
11．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432 B ．576 C ．696 D ．960
【答案】B 【解析】 【分析】
先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【详解】
首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A 种不同排列方式，甲、丁排在一起共有2
2A 种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有3
4A 种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有12
24C A 种不同方式；
根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A 2
2A 34(A +12
24)576C A =种.
故选：B. 【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.
12．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．4e C
D 【答案】D 【解析】 【分析】
通过分析函数()ln 10y ax x =->与()2
40y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程
组2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩
即得解.
【详解】
如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()2
40y x ax x =+->的图象，
因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，
所以2
ln 10
40at a at -=⎧⎨+-=⎩
24at t e =-=，
解得4a e
- 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是5)A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)C ，
(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．
【答案】
92
π 【解析】 【分析】
3,1,5. 【详解】
采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为
3,1,5，长方体的外接球即为该四面体的外接球，
外接球的直径即为长方体的体对角线3153++=，
所以球半径为32，体积为34932
r π
π=
. 【点睛】
本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.
14．实数x ，y 满足1
21y y x x y m
≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩
，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则y
x 的最小值为_______．
【答案】17
【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值为2-，确定出m 的值，进而确定出C 点坐标，结合目标函数y
x
几何意义，从而求得结果. 【详解】
先做121y y x ≥⎧⎨≤-⎩
的区域如图可知在三角形ABC 区域内，
由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值， 此时直线为()22y x x =--=+，
作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，
由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点， 由212y x y x =-⎧⎨
=+⎩，得3
5
x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=，
所以点C 的坐标为()7,1．
y
x
等价于点(,)x y 与原点连线的斜率， 所以当点为点C 时，y
x
取得最小值，最小值为17，
故答案为：17
. 【点睛】
该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.
15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别边,,a b c
，且2a c +=，设角C 的角平分线交AB 于点D ，则cos C 的值最小时，
BD
AD
=___.
【答案】3
【解析】 【分析】
根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出cos C ≥，再利用正弦定理，即可得出BD AD . 【详解】
因为2a c +=
，则c = 由余弦定理得：
222
2
2
2
221
()324cos 228a b a a b c a b C ab ab ab
+-++-+-===
84
ab -≥
=
，
=时取等号，
又因为
sin sin BD a BCD CDB =∠∠，sin sin AD b
ACD CDA
=∠∠，
所以
3BD a AD b ===
.
故答案为：3
. 【点睛】
本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力. 16．函数2()x f x x e -=⋅的极大值为________. 【答案】12e
【解析】
【分析】
对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值. 【详解】
依题意，得222()e 2e e (12)x x x
f x x x ---'=-=-.
所以当1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<.
所以当12
x =
时，函数()f x 有极大值1
2e . 故答案为：12e
. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．
()1求B 的值；
()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =
，7cos 25
A =-，求b 的值. 【答案】()14
B π
=；()2sin sin AD ADC
b C
∠=
.
【解析】 【分析】
()1利用正弦定理化简求值即可；
()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.
【详解】
解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，
()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，
sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，
又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4
B π
=
；
（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,
27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5
x =，则4sin 5x ==，
24
sin 25A ==
，又4
B π=，
则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫
=---=
⎪⎝⎭
()sin sin sin sin cos cos sin 444ADC B x x x x πππ⎛
⎫∠=+=+=+=
⎪⎝⎭
在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADC
b C
∠=
. 【点睛】
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题. 18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：24y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，.B 当线段AB 的长度最小时，求s 的值．
【答案】（1）2
1y x =-，()0y ≠（2． 【解析】 【分析】
() 1根据题意设(),M m n ，可得PF 的方程()()22110n x y n ---=，根据距离即可求出；
()2点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，根据导数的几何意义和斜率公式，求AB ，并
构造函数，利用导数求出函数的最值． 【详解】
()1因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为()1,0，
设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点(
)
2
,2P n n ， 则直线PF 的方程为
2121
y x n n -=-，即()()
2
2110n x y n ---=，
n =，又m ，0n ≠，
所以2
2
211m n n --=+，即210n m -+=， 所以E 的方程为2
1y x =-，()0y ≠，
()2设()21,Q t t +，()10,A y ，()20,B y ，
由()1知，点Q 处的切线1
l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >， 由'
y =
，所以12112AQ t y k t t
-===+，2
221BQ t y k t t -==-=-+， 所以11
22t y t
=
-，3223y t t =+， 所以3
31512322222t AB t t t t t t
=+-+=++，0t >． 令()351
222f t t t t
=+
+，0t >， 则()422
22
511251
'6222t t f t t t t
+-=+-=， 由()'0f
t >得t >
，由()'0f
t <得0t <<
所以()f
t 在区间⎛ ⎝
单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎭
单调递增， 所以当t =
()
f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值 此时21s t =+= 【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩（α为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长
到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=. （1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；
（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，
202θπ<<），使点M 、N 到l 的距离都为3？若存在，求12||θθ-的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）4ρ=，43250x y +-=（2）存在，124||3
π
θθ-
= 【解析】 【分析】
（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.
（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12||θθ-的值. 【详解】
（1）曲线C 的普通方程为221164
x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍2
2121164
y x ⎛⎫
⎪
⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为22
16x y +=，其极坐标方程为4ρ=，
直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆， 圆心O 到直线l 的距离3
2
543
d =
=+.
∴由图像可知，存在这样的点M ，N ，则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=， ∴23MON π∠=
，∴124||3
π
θθ-=
.
【点睛】
本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>
，右焦点为抛物线2
4y x =的焦点F .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为4
5
-，求证：MON △的面积为定值.
【答案】（1）22
154
x y +=；
（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由条件可得1c =，再根据离心率可求得,a b ，则可得椭圆方程；
（2）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN
的方程为：()
0x t t t =<<≠，与椭圆联立求得,M N 的坐标，通过OM 、ON 斜率之积为4
5
-
列方程可得t 的值，进而可得MON △的面积；当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM 、ON 斜率之积为4
5
-可得22254m k =+，再利用弦长公式求出MN ，以及O 到MN 的距离，通过三角形的面积公式求解. 【详解】
（1）抛物线2
4y x =的焦点为()1,0F ，
1c ∴=，
e =
Q
，5
c a ∴=， 5a ∴=，2b =，
∴椭圆方程为22
154
x y +=；
（2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN
的方程为：()
0x t t t =<<≠
代入22
154x y +=
得：,M t ⎛ ⎝
，,N t ⎛- ⎝，
2122
455t k k t
-∴⋅==-⋅ 22454
55
t t -∴-⋅=-，
解得：2
52
t =
，
12MON
S t ∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+
由()
22222
4510520015
4y kx m
k x kmx m x y =+⎧⎪
⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①
1221045km x x k +=-+，2122
520
45m x x k
-⋅=+ 4
·5
OM ON k k =-Q ，
12124
5
y y x x ∴
⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()
()2
2
121254550k x x mk x x m +⋅+++=
()22
2
22
52010545504545m km k mk m k k
-⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭
整理得：22254m k =+ 代入①得：0m ≠
MN =
=
= O 到MN
的距离d =
1
2
MON S MN d ∴=
△
=
=
=
综上：MON S =△. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.
21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2x m y m
⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求
11PM PN
+的值. 【答案】（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为10x y --=；曲线C 的普通方程为2
4y x =；（Ⅱ）4
7
. 【解析】 【分析】
（I ）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（II
）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得121214t t t t +==-，而根据直线参数方程的几
何意义，知
212221112
11111t t t PM PN t t t t t t t ++=+===
-，代入即可解决.
【详解】
()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==
可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为2
4y x =.
()II 易知点()2,1
P 在直线l 上，直线l
的参数方程为2212
x y t ⎧
=+
⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(t
为参数
). 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，并整理得2140t --=.
设12,t t
是方程2140t --=
的两根，则有121214t t t t +==-.
2122212
1111111
t t t PM PN t t t t t t t +∴
+=+===-
47
=
=
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题. 22．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别是,,
,a b c 其中2,a c ==
（1）若角A 为锐角，且sin C =
，求sin
B 的值； （2）设2()cos 3cos f
C C C C =+，求()f C 的取值范围.
【答案】（1
；（2）33,22⎡+⎢⎣.
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理直接可求sin A ，然后运用两角和的正弦公式算出sin B ；
（2）化简()3232f C C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由余弦定理得22211cos 24a b c C b ab b +-⎛⎫
=
=+ ⎪⎝⎭
，利用基本不等式求出1
cos 2
C ≥，确定角C 范围，进而求出()f C 的取值范围. 【详解】
（1）由正弦定理，得：
sin sin a c
A C
= sin 2
sin 3
a C A c ∴=
= sin sin C A ∴<
，且A 为锐角
cos C A ∴=
=
sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+=
（2）(
)1cos 21323sin 2cos 222222
C f C C C C ⎫+=
+⨯=++⎪
⎪⎭ 3232C π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
222111
cos 242
a b c C b ab b +-⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭Q
0,3C π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦
233C+πππ⎛⎤
∴∈ ⎥⎝⎦，
[]sin 20,13C π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭()33,322f C ⎡⎤
∴∈+⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力. 23．棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311mm 的为“长纤维”，其余为“短纤维”） 纤维长度 (0,100)
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500]
甲地（根数） 3 4 4 5 4 乙地（根数）
1
1
2
11
6
（1）由以上统计数据，填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”. 甲地 乙地 总计 长纤维 短纤维 总计
附：（1）2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++；
（2）临界值表；
20()P K k ≥
1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.111
0k
2.716
3.841 5.124 6.635 7.879 11.828
（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X ，求X 的分布列及数学期望.
【答案】（1）在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出2K ，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出X 的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出X 的数学期望．试题解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下22⨯列联表：
根据22⨯列联表中的数据，可得()2
240941611 5.227 5.024********
K ⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯
所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． （Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为
15
8340
⨯=， X 的可能取值为：1,1,2,3，
()31131533091C P X C ===，()2111431544
191C C P X C ===，
()12114315662455C C P X C ===，()343
15
4
3455
C P X C ===． ∴ X 的分布列为：
∴ ()012391914554554555
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==．。