上海市最新2022-2022年高三上学期一次质量调研试题 数学文

高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．=+-+∞→2
21lim 22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x x B ,011，则=B A __________．
3．若函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________．
4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________．
5．在正方体1111D C B A ABCD -中，
M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的 角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．
6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________．
7．已知012cos sin =αα，则=α2sin ____________． 8．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S 值是_____________．
9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值
为___________．
开始
1←k ，0←S
2015≤k
)1(1++←k k S S 1+←k k
输出S
结束
是 否
10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名
男同学的概率是____________．
11．设)12,(k PA =，)5,4(=PB ，),10(k PC =，则=k _________时，点A ，B ，C
共线．
12．已知*N ∈n ，若8022
2211221=++++--n n n n n n C C C ，则=n _______． 13．设数列}{n a 满足21=a ，n
n a a 111-=+，记数列前n 项的积为n P ，则2016P 的值为 __________．
14．对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的
值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数|
|14)(x x x f +-=在 R 上封闭，那么=-a b _____________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”是“2π
ϕ=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
16．下列四个命题：
①任意两条直线都可以确定一个平面；
②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；
③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面；
④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外．
其中错误命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
17．若椭圆122=+my x 的焦距为2，则m 的值是（ ）
A ．2
1 B ．1 C ．
2 D ．4
18．已知等比数列}{n a 中，各项都是正数，且13a ，321a ，22a 成等差数列，则7
698a a a a ++等 于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．
（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；
（2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．
α
①
②
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m += ，)cos sin ,sin 3(x x x n -=
，记函数n m x f ⋅=)(．
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；
（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，3=+b a ，求△ABC 的面积S ．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设函数x x a a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．
（1）求常数k 的值；
（2）设1>a ，试判断函数)(x f y =在R 上的单调性，并解关于x 的不等式0)12()(2<-+x f x f ．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知抛物线py x 22=，准线方程为01=+y ，直线l 过定点),0(t T （0>t ）且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）OB OA ⋅是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当1=t 时，设TB AT ⋅=λ，记)(||λf AB =，求)(λf 的解析式．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设复数n n n y i x z ⋅+=，其中n x R ∈n y ，*
N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．
（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；
（2）证明：当14+=k n （*N ∈k ）时，n OZ ∥1OZ ； （3）求数列}{n n y x ⋅的前100项之和．
高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）参考答案及评分标准
一．填空题（每题4分，满分56分）
1．21 2．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．3
1 4．2
5．510arccos 6．π3
3 7．5
4 8．2016201
5 9．43 10．10
9 11．2-或11 12．4 13．1 14．6
二．选择题（每题5分，满分20分）
15．B 16．C 17．A 18．D
三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数
19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．
α
︒60 E F
（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，
此时α最大． ………………………………………………………………（2分）
解法一：此时，梯形ABED 的面积等于400202=（2
cm ）， …………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE S ABED ⋅+=)(2
1， 即40020)tan 2060(2
1=⋅-⋅α，解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． ……………（6分）
解法二：此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积，
即200=∆BEC S （2cm ）， ………………………………………………（3分）
因为α=∠CBE ，所以αtan 2
1212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC ，即200tan 200=α， 解得1tan =α，︒=45α． …………………………………………（5分）
所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． …………（6分）
（2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠602
3arctan CBD ， 所以点F 在线段AD 上， …………………………………………（1分）
此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，
=∆ABF S 31502
1=⋅⋅AF AB （2cm ）， …………………………（3分） 剩余溶液的体积为33000203150=⨯（3cm ）， …………………（4分）
由题意，原来溶液的体积为80003
cm ， 因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． ……（5分）
所以，要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，不能实现要求．…（6分）
20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．
（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(2
2-=-+=⋅= ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=62sin 2πx ． ……………………………………（3分） 所以)(x f 的最小正周期是π=T ． ………………………（4分） 由226222π
ππ
π
π+≤-≤-k x k ，Z ∈k ， ……………………（6分）
得函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-3,6ππππk k （Z ∈k ）． ……（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-πC ， …………………………（1分） 因为π<<C 0，所以6
11626ππ
π
<-<-C ，
所以262π
π
=-C ，3π
=C ． ………………………………（3分）
在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 22
22-+=， …………（4分）
得ab b a ab b a 3)(3222-+=-+=，即2=ab ， ………………（5分） 所以△ABC 的面积2
323221sin 21=⨯⨯==C ab S ． …………（7分）
21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．
（1）解法一：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以01)0(=-=k f ，1=k ．…………………………………………………………（3分）
当1=k 时，x x a a x f --=)(，)()(x f a a x f x x -=-=--，)(x f 是奇函数．
所以，所求k 的值为1． …………………………………………………………（6分）
解法二：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，
由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， …………………………………（2分）
即x x x x a k a a a k ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--x x a a k ， ………………………（4分）
因为0>+-x x a a ，所以，1=k ． ……………………………………………（6分）
（2）由（1），x x a a x f --=)(，任取1x ，R ∈2x ，且21x x <， 则⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=---=-+--2121221111)()()()()(21x x x x x x x x a a a a a a a x f x f ，
因为1>a ，21x x <，所以021<-x x a a ，又01
121>++x x a ，所以0)()(21<-x f x f ，
即)()(21x f x f <，所以函数)(x f 在R 上是单调递增函数． ………………（4分） （注：也可以这样解答：1>a ，x a y =在R 上是增函数，x
x a a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1在R 上是减函数，则x a y --=在R 上是增函数，所以x x a a x f --=)(在R 上是增函数．
） 由0)12()(2<-+x f x f ，得)12()(2--<x f x f ，即)21()(2x f x f -<， ……（6分） 所以x x 212-<，即0122
<-+x x ，解得)21,21(+---∈x ． …………（8分）
22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
（1）由题意，12
-=-p ，2=p ， ………………………………………………（2分） 故抛物线方程为y x 42=． …………………………………………………………（4分）
（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线t kx y l +=:，则
⎩⎨⎧-==+⇒=--⇒⎩
⎨⎧=+=.4,40444,212122t x x k x x t kx x y x t kx y …………………………（2分） 于是，2212122121)()1(t x x kt x x k y y x x OB OA ++++=+=⋅t t 42
-=， ……（4分） 因为点),0(t T 是定点，所以t 是定值，所以OB OA ⋅是定值，此定值为t t 42
-．…（6分）
（3）)1,0(T ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,200x x B ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14,200x x TB ，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅==λλλλ4,200x x TB AT ，故)41,(200x x A ⋅-+-λλλ， ………………（2分） 因为点A 在抛物线y x 42=上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=4142020
2x x λλλ，得λ420=x ．……（4分） 又T 为抛物线的焦点，故24412||)(2020++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-+=++==x x y y AB f B A λλλ
21
++=λλ，即21
)(++=λλλf （0>λ）． ………………………………（6分）
23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=，i z 2144--=．…………（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）
（2）由已知1(1)n n z z +=+⋅i ，得11)1(z i z n n ⋅+=-， ………………（1分） 当14+=k n 时，k k n i i )4()1()1(41-=+=+-， ………………………（3分） 令k )4(-=λ，则1z z n ⋅=λ，
即则存在非零实数k )4(-=λ（*
N ∈k ），使得1n OZ OZ λ=． …………（5分）
所以，当14+=k n （*N ∈k ）时，n OZ ∥1OZ ． ……………………（6分） （3）因为n n n z z i z 4)1(4
4-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+， …………（2分） 所以n n n n y x y x 1644=++， …………………………………………………………（3分）
又1211=y x ，722-=y x ，4833-=y x ，2844=y x ， …………………………（4分） )()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++ )(100100999998989797y x y x y x y x +++++
10025
2116
1161)2848712(-=--⋅+--=， ……………………………………（7分） 所以数列}{n n y x 的前100项之和为1002
1-． ……………………………………（8分）。