初中数学《函数》演示课件北师大版6

2
的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 2
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大.
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在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2 的图象．
2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图：
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
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画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
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-6 -9
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知识点 2
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知识点 3 二次函数y=ax2的性质
1.观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
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二次函数y=ax2的性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
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当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
这条抛物线关于y轴对称,
3
点叫做抛物线的顶点.
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过 的路线,我们把它叫做抛物线.
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质量为m的物体运 动时的能量E与其 运动速度v之间的 关系（m为定值）
S 1 at 2 2
物体做匀加速运动 时，行驶路程与时 间的关系（a代表 加速度，为定值）
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素养考点 2 二次函数y=ax2与不等式的综合运用
例2 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.2 二次函数y=ax2的 图像和性质
导入新知
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么 曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶 点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是 最低点.
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
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填一填 （1）函数y=4x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点
是 (0,0) ;
（2）函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是y轴 ,顶
y x
O
在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
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课堂检测
基础巩固题
y
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
的取值范围是 k>1 .
O
x
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上 y轴 （0,0）
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2.观察图形，y随x的变化如何变化？
y x2
y ax2
(-1,-1) (-2,-4)
(1,-1) (2,-4)
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二次函数y=ax2的性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
x … -3 -2 -1 0 y=x2 … 9 4 1 0
12 14
3… 9…
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2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
y 9
6 3
-4 -2 o 2 4 x
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图 象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有 关.
1.正确理解抛物线的有关概念.
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知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值：
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巩固练习
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，
且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白
部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
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方法点拨
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
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巩固练习
2 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则
y1__<___ y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD 的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
探究新知
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交 流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
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二次函数y=ax2的图象性质
1. 顶点都在原点（0,0）; 2. 图像关于y轴对称; 3. 当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
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观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的
关系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反， 大小相同，它们关
于x轴对称.
O
x
y=-ax2
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解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm.
C2
（4）若S ≥ 4cm2，即16 因此C ≥ 8cm.
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≥4，解得C ≥ 8，或c≤-8(舍去）.
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
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y 3x2 向下 y轴 （0,0）
y 1 x2 3
y 1 x2 3
向上 向下
y轴 （0,0） y轴 （0,0）
（1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= c2 （c＞0）
面积
周长 4
2
16
（2）画出它的图象；注意自变量的范围
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
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基础巩固题
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点
y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
轴
(0,,顶0)点是
;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 ,
2 k4 2＞0
2
，解得k=2 .
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知识点 4 二次函数y = ax2的实际应用 二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
h 1 gt 2 2
E 1 mv2 2
物体自由下落的高 度h与下落时间t之 间的关系（g代表重 力加速度，为定值）
点 (0,0)
高
是（3）函数y顶=点3是x抛2的物图线象的的最开口向上点. ,对称轴是y轴 ,
顶点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点 （4）函数y= －0.2x2的图象的开口向下 ,对称轴 y轴
是 (0,,0顶) 点是
.
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二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函
数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
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【思考】二次函数
y 1 x2, y x2 , 2
y 2x2
a的大小有什么关系？
y x2
y 2x2
8
的图象开口大小与
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时，a越大，开口越小.
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【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
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y＝ax2 图象
位置开 口方向
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
素养考点 1 利用函数y=ax2的图像性质确定字母的 例1 已知 y =(m+值1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向
上,求m的值和函数解析式
解: 依题意有: m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 因此 m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
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连接中考
已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2 ）两点，则下列关系式一定正确的是（C ）．
A.y1＞0＞y2 C.y1＞y2＞0
B.y2＞0＞y1 D.y2＞y1＞0
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巩固练习
1.已知 y (k 2)xk2k4 是二次函数，且当x＞0时，y随
x增大而增大，则k= 2 .
解： y (k 2)xk2 k4 是二次函数，即二次项的系数不
为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即
说明二次项的系数大于0.

因此，kk
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探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2