2018届宁夏、海南高三三轮冲刺猜三数学(理)试题(解析版)17

高三三轮冲刺猜三数学（理）试题
一、选择题
1．已知集合{}{}2|21,,|20x A y y x R B x x x ==-∈=--<，则（ ）
A ．1A -∈
B B
C ．()R A B C B A =
D ．A B A = 2．已知()()2
12,bi i b R i +=∈是虚数单位，则b =（ ）
A ．2
B ．1±
C ．1
D ．1或2 3．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是（ ）
A ．p ⌝是q 的必要不充分条件
B ．q ⌝是p 的必要不充分条件
C ．p ⌝是q ⌝的必要不充分条件
D ．q ⌝是p ⌝的必要不充分条件 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若
201616
100201616
S S -=，则d 的值为（ ）
A ．120
B ．1
10
C ．10
D ．20 5．已知()34
0,0,cos ,tan 2253
a ππβαβα<<-<<-=-=，则sin β=（ ）
A ．725
B ．725-
C ．2425
D ．2425-
6．已知向量()
20,1a a b a b ⋅+===，且21c a b --=，则c 的最大值为（ ）
A ．2
B ．4
C 1
D 1 7．在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形，矩形的一边在三角形
的底边长，如图，在三角形内任取一点，则该点落入矩形内的最大概率为（ ）
A ．13
B ．25
C ．12
D ．23
8．函数11
ln 22y x x x
=+--的零点所在的区间为（ ）
A ．1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()1,2
C ．()2,e
D ．(),3e
9．如图，1111ABCD A BC D -是边长为1的正方体，
S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1111,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．916π
B ．2516π
C ．4916π
D ．81
16
π
10．设点(),P x y 是曲线()10,0a x b y a b +=>>上的动点，且满
足
≤
a 的取值范围为（ ）
A ．[)2,+∞
B ．[]1,2
C ．[)1,+∞
D ．(]0,2 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．160
3
B ．160 C
．64+．60
12．设函数()22,0
log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，对任意给定的()2,y ∈+∞，都存在唯一的
x R ∈，满足()()222f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．2
D ．4
二、填空题 13．已知0
2sinxdx a π
=-⎰，则二项式5
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中x 的系数为
__________．
14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的：“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为__________．（参考数据：00sin150.258,sin7.50.1305)==
15．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上一点C ，过双曲线中心的直线交双
曲线于A B 、两点．设直线AC BC 、的斜率分别为12k k 、，当12
12
2
ln ln k k k k ++最小时，双曲线的离心率为________________．
16．已知实数,x y 满足不等式组236022010x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则z x y =+的取值范围为
_______________．
三、解答题
17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
sin cos B b A b -=． （1）求A ∠；
（2）若2b c +=，当a 取最小值时，求ABC ∆的面积．
18．如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ECD 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面ECD ．
（1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）若点M 在线段AE 上，2AM ME = ，且CD DE AE ==，求平面BCE 与平面BDM 所成的锐二面角的余弦值．
19．中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料． 进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井．以节约勘探费用．勘探初期数据资料见
6.5y x a =+，求a ，并估计y 的预报值；
（2）现准备勘探新井7()1,25，若通过1、3、5、7号井计算出的ˆˆ,b
a 的值与（1）中,
b a 的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6()1,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
44
21
212121
2
211
1
ˆˆˆ,,94,945n
i i i i i i n
i i i i x y nx y
b a y bx x x y x nx
=---===⎛
⎫-⋅ ⎪ ⎪==-== ⎪- ⎪⎝
⎭
∑∑∑∑ （3）设井出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探并称为优质井，那么
井中任意勘察3口井，求恰有2口是优质井的概率．
20．如图，抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点12,P P ，过12,P P 作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且1
2PQ P Q ⊥．
（1）求抛物线C 和圆Q 的方程；
（2）过点F 作直线l ，与抛物线C 和圆Q 依次交于,,B,N M A ，求MN AB ⋅的最小值．
21．已知函数()()2ln 01x f x a x x x a a =+->≠且． （1）求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），
在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C 是圆心为
3,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为1的圆． （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；
（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求MN 的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x =-．
（1）若不等式()()1f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围； （2）若1,3a b <<，且0a ≠，判断
()
f ab a 与b f a ⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小，并说明理由．
高三三轮冲刺猜三数学（理）试题
一、选择题
1．已知集合{}{}2|21,,|20x A y y x R B x x x ==-∈=--<，则（ ） A ．1A -∈
B B
C ．()R A B C B A =
D ．A B A = 【答案】D 【解
析
】
试
题
分
析
：
∵
{}{}{}{}2|21,|1,|20|12x A y y x R y y B x x x x x ==-∈=>-=--<=-<<，
∴A B A =，故选D ．
【考点】1、集合的表示；2、集合的运算.
2．已知()()2
12,bi i b R i +=∈是虚数单位，则b =（ ）
A ．2
B ．1±
C ．1
D ．1或2
【答案】C
【解析】试题分析：∵()
2
12bi i +=，∴2
122bi b i +-=，∴2
1022
b b ⎧-=⎨=⎩，∴1b =，
故选C ．
【考点】1、复数运算；2、复数相等的应用.
3．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是（ ） A ．p ⌝是q 的必要不充分条件 B ．q ⌝是p 的必要不充分条件
C ．p ⌝是q ⌝的必要不充分条件
D ．q ⌝是p ⌝的必要不充分条件 【答案】C
【解析】试题分析：由p 是q 的充分不必要条件可知p q ⇒，q p ⇒，由互为逆否命题的等价性可得,q p p q ⌝⇒⌝⌝≠⌝，∴p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，故选C.
【考点】1、四种命题的关系；2、充分条件与必要条件.
条件与必要条件、判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假.
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若201616100201616
S S
-=，则d
的值为（ ）
A ．120
B ．1
10 C ．10 D ．20
【答案】B
【解析】试题分析：由等差数列前n 项和公式得201612016116141
1000100,2016162210
S a a a a S d d ++-=-===．故选B. 【考点】1、等差数列的性质；2、等差数列前n 项和公式.
5．已知()34
0,0,cos ,tan 2253
a ππβαβα<<-<<-=-=，则sin β=（ ）
A ．725
B ．725-
C ．2425
D ．2425-
【答案】D
【解析】试题分析：因为sin 4
tan cos 3
ααα=
=，结合22sin cos 1αα+=及02πα<<，得43sin ,cos 55αα==，又02
π
β-<<，所以
()()4
0,,sin 5
αβπαβ-∈-==，所以
()()()433424
sin sin sin cos cos sin 555525
βααβααβααβ⎛⎫=--=---=⨯--⨯=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，故选D ．
【考点】1、同角三角函数关系式；2、两角差的正弦公式.
6．已知向量()
20,1a a b a b ⋅+===，且21c a b --=，则c 的最大值为（ ）
A ．2
B ．4
C 1
D 1 【答案】D
【解析】试题分析：设向量,2a a b +对应点分别为A B 、，向量c 对应点C ，由21c a b --=知点C 在以B 为圆心，半径为1的圆上．∴
max
121c
OB a b =+=++∵2
2
2
244a b a b a b +=++⋅又∵()
20a a b ⋅+=，
∴2
20a a b +⋅=，∴21a b ⋅=-，∴42a b ⋅=-，∴2
21423a b +=+-=，∴
23a b +=，∴max
31c
=+，故选D ．
【考点】1、平面向量数量积公式；2、数量的模及向量的几何意义.
7．在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形，矩形的一边在三角形的底边长，如图，在三角形内任取一点，则该点落入矩形内的最大概率为（ ）
A ．13
B ．25
C ．12
D ．23
【答案】C
【解析】试题分析：设矩形长为x ，宽为y ，则x a y
a a
-=，
()2
2
,24x a x a
y a x S xy x a x +-⎛⎫=-==-≤=
⎪⎝⎭
梯形，其概率的最大值为()
max
1
2
S S ∆
=
矩形．故选C ． 【考点】1、基本不等式求最值；2、几何概型概率公式.
8．函数11
ln 22y x x x
=+--的零点所在的区间为（ ）
A ．1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()1,2
C ．()2,e
D ．(),3e
【答案】C
【解析】试题分析：由题意，求函数11
ln 22y x x x
=+--的零点，即为求两
个函数11ln 22x x x =-++的交点，可知11
ln 22x x x
=-++等号左侧为增函数，
而右侧为减函数，故交点只有一个，当2x =时，11
ln 22x x x
<-++，当x e
=时，11ln 22x x x >-++，因此函数11
ln 22y x x x =+--的零点在()2,e 内，故选
C ．
【考点】1、函数的零点定理；2、函数的单调性.
9．如图，1111ABCD A BC D -是边长为1的正方体，
S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1111,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．
916π B ．2516π C ．4916π D ．8116
π
【答案】D
【解析】试题分析：按如图所示作辅助线，O 为球心，设1OG x =，则
12OB SO x ==-，同时由正方体的性质知11B G =
11Rt OB G ∆中，
2221111OB G B OG =+，即()2
2
222x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，解得78x =，所以球的半径198R OB ==，所以球的表面积为281
416
S R ππ==，故选D ．
【考点】1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式.
10．设点(),P x y 是曲线()10,0a x b y a b +=>>上的动点，且满足
≤a 的取值范围为（ ）
A ．[)2,+∞
B ．[]1,2
C ．[)1,+∞
D ．(]0,2 【答案】A
【解析】试题分析：设
()()120,1,0,1F F -，则满足
=P 的轨迹是以()()120,1,0,1F F -为焦
点的椭圆，其方程为22
112
x y +
=，曲线()10,0a x b y a b +=>>为如下图所
示的菱形11,,0,0,ABCD C D a b ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．≤
所以
111,a b ≤≤
1,a b ≥≥
．所以12a ≥+=，选A ．
【考点】1、椭圆的定义；2、两点间距离公式、直线方程及不等式的性质. 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．
160
3
B ．160 C
．64+．60 【答案】A
【解析】试题分析：由三视图知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合的组合体，其中直三棱柱的底面为左视图，高为244 ，故体积
18432V Sh ==⨯=．四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，所以体积
21164164333V Sh ==⨯⨯=，所以该几何体的体积为121603V V V =+=．故选A ．
【考点】1、几何体的三视图；2、几何体的体积.
【方法点睛】本题主要考查三视图及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. (3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
12．设函数()22,0
log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，对任意给定的()2,y ∈+∞，都存在唯一的
x R ∈，满足()()222f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（ ） A ．
14 B ．1
2 C ．2 D ．4 【答案】A
【解析】试题分析：首选写出()()f f x 表达式，当0x ≤时，
()()()2log 2x f f x x ==；当01x <≤时，
()()2log 2x f f x x ==；当1x >时，()()()22log log f f x x =，考虑到题目说的要求x 的唯一性，即当取某个y 值时，()()f f x 的值只能落在三段区间的一段，而不能落在其中的两段或者三段内，因此我们要先求出()()f f x 在每段区间的值域，当0x ≤时，()()0f f x ≤；当01x <≤时，()()01f f x <≤；当
1x >时，()()f f x R ∈，从中可以发现，上面两段区间的值包含在最后一段
区间内，换一句话就是说假如()()f f x 取在小于等于1的范围内的任何一个值，则必有两个x 与之对应，因此，考虑到x 的唯一性，则只有使得
()()1f f x >，因此题目转化为当2y >时，恒有2221a y ay +>，因此令()2221g y a y ay =+-，题目转化为2y >时，恒有()0g y >，又()()()211g y ay ay =-+，为了要使其大于0，则1
2
ay >或1ay <-，考虑到题
目要求a 是正实数，则1ay <-不考虑，因此11
,22ay a y
>>，在y 大于2的情
况下恒成立，因此1124
a a y >
⇔≥，所以正实数a 的最小值为1
4，故选A ．
【考点】1、指数与对数的运算；2、不等式恒成立问题及函数的值域.
【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、指数与对数的运算、函数的值域、不等式恒成立问题以及数学的化归思想，属于难题. 这类问题综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱,更不能因贪快而审题不清，解答本题本题的关键是将问题转化为“2y >时，恒有2221a y ay +>”，然后进行解答.
二、填空题 13．已知0
2sinxdx a π
=-⎰，则二项式5
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中x 的系数为
__________． 【答案】640- 【解析
】试
题分
析：
因为
()()()
()52103015
30
42sinxdx 2cos |4,4r
r
r r r
r r a x T C x
C x x π
π
--+-⎛⎫=-=--=-==- ⎪
⎝⎭
⎰，令1031r -=，解得3r =，则展开式中x 的系数为()3
3
54640C -=-，故答案为
640-．
【考点】1、定积分的应用；2、二项式定理.
14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的：“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出
的值为__________．（参考数据：00sin150.258,sin7.50.1305)==
【答案】24
【解析】试题分析：6n =时，03sin 60 2.598S =≈；12n =时，06sin 303S ==；
24n =时，012sin15 3.1056 3.10S =≈>，终止循环，输出24n =．故答案为24.
【考点】1、程序框图；2、循环结构.
15．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上一点C ，过双曲线中心的直线交双
曲线于A B 、两点．设直线AC BC 、的斜率分别为12k k 、，当12
12
2
ln ln k k k k ++最小时，双曲线的离心率为________________．
【解析】试题分析：设()()()1111,,,,,y C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵
点,A C 在双曲线上，∴22
112
222
22
11
x y a b
x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-，∴22
2
11212BC 222
111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a -+-===-+-.
由()12121212
22
ln ln ln y k k k k k k k k =
++=+，设12t k k =， 则2ln y t t =+，∴求导
得221y t t '=-
+，由
2
2
0t y t -'==得2t =．∴经检验单调性，知2t =时取最小值即122k k =，∴222b a =
，∴e ==
【考点】1、双曲线的性质、双曲线的离心率；2、利用导数求最值及“点差
法”的应用.
【方法点睛】本题主要考查求双曲线的性质及双曲线的离心率、利用导数求最值及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：① 设点（即设出弦的两端点坐标）；② 代入（即代入圆锥曲线方程）；③ 作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④ 整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.本题就是先根据点差法得到
122k k =后，进一步解答的.
16．已知实数,x y 满足不等式组2360
22010x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则z x y =+的取值范围为
_______________．
【答案】71,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】试题分析：不等式组236022010x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，所确定的平面区域记为D ，
,0
,0x y x z x y x y x +≥⎧=+=⎨
-+<⎩．当(),M x y 位于D 中y 轴右侧（包括y 轴）时，1:0l x y +=，平移1l 可得[]1,2z x y =+∈-；当(),M x y 位于D 中y 轴左侧时，
2:0l x y -+=，平移2l 可得71,2z x y ⎛
⎤=-+∈- ⎥⎝⎦，所以， z x y =+的取值范围
为71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为71,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
． 【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
三、解答题
17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos B b A b -=． （1）求A ∠；
（2）若2b c +=，当a 取最小值时，求ABC ∆的面积．
【答案】（1）3
A π
∠=
；（2）4
ABC S ∆=
.
【解析】试题分析：（1cos 1A A -=，化简即可求得
3
A π
∠=
；（2）先由余弦定理得222a b c bc =+-，配方后再利用基本不等式求
出2a 的最大值，不等式成立时可得ABC ∆为等边三角形，易得此时三角形的面积.
试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得
sin sin cos sin A B B A B -=，又()0,B π∠∈，所以sin 0B ≠，故
cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,A π∠∈，
所以6
6
A π
π
∠-
=
，得3
A π
∠=
．
（2）因为3
A π
∠=
，所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-
又2b c +=，所以()()2
2
2
2
3312b c a b c bc b c +⎛⎫
=+-≥+-= ⎪⎝⎭．
当且仅当1b c ==时，a 到最小值1，即ABC ∆为等边三角形．
所以ABC S ∆=
． 【考点】1、正弦定理、余弦定理；2、两角和与差的三角函数及三角形面积. 18．如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ECD 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面ECD ．
（1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）若点M 在线段AE 上，2AM ME = ，且CD DE AE ==，求平面BCE 与平面BDM 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2.
【解析】试题分析：（1）先证AE CD ⊥，又因为//AB CD ，所以AB AE ⊥，在矩形ABCD 中，AB AD ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证；（2）以D 为坐标原点，DE 为x 轴，DC 为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCE 的法向量和平面BDM 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式即可. 试题解析： (1)证明：因为AE ⊥平面,ECD CD ⊂平面ECD ， 所以AE CD ⊥，又因为//AB CD ，所以AB AE ⊥． 在矩形ABCD 中，AB AD ⊥， 因为,,AD
AE A AD AE =⊂平面ADE ，
所以AB ⊥平面ADE ．
（2）解：设3CD =，所求角为θ，如图以D 为坐标原点，DE 为x 轴，DC 为
y
轴，建立空间直角坐标系，则
()()()()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,1,3,3,3,3,0,3,3,3,0,D E C M B CB CE ==- ()()3,0,1,3,3,3DM DB ==
设平面BCE 的法向量为(),,m x y z =，则00m CB m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即330
330x z x y +=⎧⎨-=⎩，
令1x =，得()1,1,1m =-．
设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =，类似的可得()1,2,3n =-
cos
7m n m n θ⋅=
==． 【考点】1、直线与平面垂直的判定；2、空间向量夹角余弦公式.
19．中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料． 进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井．以节约勘探费用．勘探初期数据资料见
6.5y x a =+，求a ，并估计y 的预报值；
（2）现准备勘探新井7()1,25，若通过1、3、5、7号井计算出的ˆˆ,b
a 的值与（1）中,
b a 的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6()1,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
44
21
2121212
211
1
ˆˆˆ,,94,945n
i i i i i i n
i i i
i x y nx y
b a
y bx x x y x
nx
=---===⎛
⎫-⋅ ⎪ ⎪==-== ⎪- ⎪⎝
⎭
∑∑∑∑ （3）设井出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有的出油量不低于50L 的
井中任意勘察3口井，求恰有2口是优质井的概率．
【答案】（1）24；（2）使用位置最接近的已有旧井()61,24；（3）3
5.
【解析】试题分析：（1）由回归直线必过平衡点()
,x y 求出回归方程
6.51
7.5y x =+，再令1x =即可预估y ；
（2）先求出,a b 的值，验证ˆˆ,b a 的值与（1）中,b a 的值差是否超过0010即可，（3）5口井取三口共有10取法，其中恰由2口是优质井的6种，根据古典概型概率公式可求 .
试题解析：（1）因为5,50x y ==，回归直线必过平衡点()
,x y ，则
50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=，故回归直线方程为 6.517.5y x =+，当1x =时，6.517.524y =+=，即y 的预报值为24．
（2）因为4,46.25x y ==，4
4
2
21
21211
1
94,945i i i i i x
x y ---====∑∑，
所以4
21211
42
2
2
21
1
49454446.25
ˆ 6.8394444i i i i i x
y xy
b
x
x
--=-=--⨯⨯==
≈-⨯-∑∑，
ˆˆ46.25 6.83418.93a
y bx =-=-⨯=，即
ˆˆˆˆ6.83,18.93,b 6.5,a 17.5,5%,8%b b a a b a b a
--====≈≈，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井()61,24．
（3）易知原有的出油量不低于50L 的井中，3，5，6这3口井是优质井，2、
4这2口井为非优质井，由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：
()()()()()()()()()()
2,3,4,2,3,5,2,3,62,4,5,2,4,6,2,5,6,3,4,5,3,4,6,3,5,6,4,5,6共10种，其中恰有2口是优质井的有6种，所以所求概率是63
105
P =
=． 【考点】1、线性回归方程及线性回归分析；2、古典概型概率公式.
20．如图，抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点12,P P ，过12,P P 作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且1
2PQ P Q ⊥．
（1）求抛物线C 和圆Q 的方程；
（2）过点F 作直线l ，与抛物线C 和圆Q 依次交于,,B,N M A ，求MN AB ⋅的最小值．
【答案】（1）24x y =；（2）16.
【解析】试题分析：（1）直接根据交点坐标求出2p =，即可得抛物线的方程，可设圆()2
22:Q x y b r +-= 1
2PQ P Q ⊥，∴12PQP ∆是等腰直角三角形，∴
2,P b ⎫-⎪⎪⎝⎭
，代入抛物线方程有242r b =-，抛物线在点2P 处
14
k r =
=，可得r =3b =；
（2）线l 的方程为1y kx =+，根据点到
直线距离公式和弦长公式得(2161MN AB k ⋅=+换元后利用配方法求最值.
试题解析：（1）因为抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ， 所以
12
p
=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =． 由抛物线和圆的对称性，可设圆()2
22:Q x y b r +-=，
∵12PQ P Q ⊥，∴12PQP ∆是等腰直角三角形，不妨设1P 在左侧，则
12
45QPP ∠=，
∴2,22P r b r ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，代入抛物线方程有
2
42
r b =-． 由题可知在12,P P 处圆和抛物线相切，对抛物线2
4x y =求导得2
x
y '=
．
所以抛物线在点2P 处切线的斜率为k =
．
由0
1245QPP ∠=知14
k r ==，所以r =，代入242r b =-，解得3b =．
所以圆Q 的方程为()2
238x y +-=．
（2）由题知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为1y kx =+． 圆心()0,3Q 到直线l 的距离为
d =
，
∴AB == 由241
x y y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410y k y -++=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则21242y y k +=+，由抛物线定义知，
()212241MN y y k =++=+．
所以(2161MN AB k ⋅=+()211t k k =+≥，
则)161MN AB t ⋅===≥，
所以当1t =，即0k =时，MN AB ⋅有最小值16．
【考点】1、导数的几何意义及抛物线方程；2点到直线距离公式及圆锥曲线求最值.
【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义及抛物线方程、点到直线距离公式及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用配方法求MN AB ⋅有最小值的.
21．已知函数()()2ln 01x f x a x x x a a =+->≠且． （1）求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．
【答案】（1）1y =；（2）单调增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞；（3）
[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦
.
【解析】试题分析：（1）可得k =()00f '=，又()01f =，得切线方程为1y =；（2）求出()'f x ，()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间；（3）存在
[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-成立，等价于当[]1,1x ∈-时，
()()()()12max min f x f x f x f x -≤-，所以只要()()max min 1f x f x e -≥-即可.
试题解析：（1）因为函数()()2ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠， 所以()()ln 2ln ,00x f x a a x a f ''=+-=，
又因为()01f =，所以函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y =． （2）由（1），()()ln 2ln 21ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-， 因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数． 又()00f '=，所以不等式()0f x '>的解集为()0,+∞， 故函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞．
（3）因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-成立， 而当[]1,1x ∈-时，()()()()12max min f x f x f x f x -≤-， 所以只要()()max min 1f x f x e -≥-即可 又因为()(),,x f x f x '的变化情况如下表所示：
所以()f x 在[]1,0-上是减函数，在[]0,1上是增函数，所以当[]1,1x ∈-时，
()f x 的最小值()()min 01f x f ==．
()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．
因为()()()11111ln 1ln 2ln f f a a a a a a a ⎛⎫
--=+--++=-- ⎪⎝⎭，
令()()12ln 0g a a a a a =-->，因为()2
2121110g a a a a ⎛⎫
'=+-=-> ⎪⎝⎭
，
所以()1
2ln g a a a a
=-
-在()()0,1,1a ∈+∞上是增函数， 而()10g =，故当1a >时，()0g a >，即()()11f f >-；当01a <<时，()0g a <，即()()11f f <-．
所以，当1a >时，()()101f f e -≥-，即ln 1a a e -≥-，函数ln y a a =-在
()1,a ∈+∞上是增函数，解得a e ≥；当01a <<时，()()101f f e --≥-，即
1ln 1a e a +≥-，函数1ln y a a =+在()0,1a ∈上是减函数，解得10a e
<≤． 综上可知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥
⎝⎦
．
【考点】1、导数运算、利用导数的几何意义求切线方程；2、利用导数研究函数的单调性和最值.
【方法点晴】本题主要考查导数运算、利用导数研究函数的单调性和最值、利用导数的几何意义求切线方程、，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）
求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=⋅-. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），
在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C 是圆心为
3,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为1的圆． （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；
（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求MN 的取值范围．
【答案】（1）2214
x y +=，()2
231x y +-=；（2）[]1,5.
【解析】试题分析：（1）用平方法消去参数即可得曲线1C 的直角坐标方程，先把圆心化成直角坐标，直接写出圆的标准方程即可；（2）设
()2cos ,sin M ϕϕ，先求得2MC
=性求出2MC 的范围，进而得MN 的取值范围.
试题解析：（1）消去参数ϕ可得1C 的直角坐标方程为2214
x y +=，
曲线2C 的直角坐标方程为()2
231x y +-=． （
2
）设
()
2cos ,sin M ϕϕ，则
2MC =
===
∵1sin 1ϕ-≤≤，∴22min max 2,4MC MC ==．
根据题意可得min max 211,415MN MN =-==+=，即MN 的取值范围是
[]1,5．
【考点】1、极坐标化直角坐标；2、参数方程化普通方程及三角函数有界性. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()3f x x =-．
（1）若不等式()()1f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围； （2）若1,3a b <<，且0a ≠，判断
()
f ab a
与b f a ⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小，并说明理由． 【答案】（1）(],1-∞；（2）
()f ab b f a a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
. 【解析】试题分析：（1）因为()()1+43431f x f x x x x x -=-+-≥-+-=，不等式()()1f x f x a -+<的解集为空集，则1a ≥即可；（2）分析法只需证明
()()2
219a
b --0>即可，而1,3a b << ，因此可证()()2219a b --0>，即
()f ab b f a a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
. 试题解析：（1）因为()()1+43431f x f x x x x x -=-+-≥-+-=， 不等式()()1f x f x a -+<的解集为空集，则1a ≥即可． 所以实数a 的取值范围是(],1-∞． （2）
()f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，证明：要证()f ab b f a a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
， 只需证33ab b a ->-，即证()()2
2
33ab b a ->-， 又()()()()2
2
222222339919ab b a a b a b a b ---=--+=--，
因为1,3a b <<，所以()()22
330ab b a --->，所以原不等式成立． 【考点】1、绝对值不等式的性质；2、比较大小、绝对值不等式的证明.。