2024-2025学年辽宁省大连九中教育集团九年级(上)期中数学模拟练习试卷(含答案)

2024-2025学年辽宁省大连九中教育集团九年级（上）期中
数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的有( )
A. x2−2=0
B. y2+x=1
C. 2x+1=0
D. ax2+bx+c=0
2.下列几何图形中，是中心对称图形的是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 矩形
D. 正五边形
3.反比例函数y=m−5
的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是( )
x
A. −1
B. 0
C. 5
D. 6
4.把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，下列正确的是( )
A. (x−2)2=4
B. (x+2)2=4
C. (x−2)2=12
D. (x+2)2=12
5.把抛物线y=−2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为( )
A. y=−2(x+3)2+2
B. y=−2(x−3)2+2
C. y=−2(x+3)2−2
D. y=−2(x−3)2−2
6.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则方程的另一个根是( )
A. −3
B. 2
C. 3
D. −4
7.如图，反比例函数在第一象限，△OAB的面积是1.5，则反比例函数y=k
中，k是( )
x
A. 1.5
B. −1.5
C. 3
D. −3
8.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=8cm，则球的半径长是( )
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 8cm
9.学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间只进行一次比赛)，共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有x 个，则可列方程( )
A. 12x(x−1)=28
B. x(x−1)=28
C. 12x(x +1)=28
D. x(x +1)=28
10.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知，下列说法正确的是
( )
A. 当I <0.25时，R <880
B. I 与R 的函数关系式是I =200R (R >0)
C. 当R >1000时，I >0.22
D. 当880<R <1000时，I 的取值范围是0.22<I <0.25
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.在平面直角坐标系中，点P(−1,2)关于原点中心对称的点的坐标是______．
12.若关于x 的一元二次方程x 2−2x +k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
13.若双曲线y =k x (k ≠0)的图象经过点A(−3,2)和B(m,−2)，则m 的值为______．
14.如图，⊙O 的半径为4cm ，∠AOB =60°，则弦AB 的长为______cm ．
15.如图，抛物线y =−12x 2+12x +3与x 轴相交于A ，B 两点.点C 的坐标为(32,0)，点
P 在抛物线上，将线段PC 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PD ，当点D 落在y 轴正半轴
上时，点D 的坐标为______．三、解答题：本题共8小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题10分)
解下列方程：
(1)2x 2−4x +1=0；
(2)x(2x +4)=10+5x ．
17.(本小题8分)
如图，已知抛物线y =ax 2+12x +c 与x 轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y 轴交于点C ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△ABC 的面积．
18.(本小题8分)
为进一步发展基础教育，自2022年以来，某县加大了教育经费的投入，2022年该县投入教育经费2000万元.2024年投入教育经费2880万元.求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．
19.(本小题8分)
如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m
x
的图象交于点A(n,3)，B(3,−1)两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式m
x
≤kx+b的解集．
20.(本小题8分)
如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
(1)求证：AC=BD；
(2)若CD=10，EF=3，求⊙O的半径．
21.(本小题8分)
如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图.现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象.已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE=3m，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口
0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d(单位：m)．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长；
(2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
22.(本小题12分)
如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，∠BDC=60°．
操作：将线段CD绕点D顺时针旋转，点C的对应点E刚好落在CB的延长线上．
(1)请补全图形；
(2)求证∠BDE=2∠ABD；
(3)延长ED交AC于点F，猜想线段BD、CD、FD之间的数量关系，并证明．
23.(本小题13分)
定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如(1,3)，(−2,−6)，(2,32)都是“纵三倍点”．
(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；(填序号)
①y=−2x+1；
②y=21
；
x
③y=x2+x+1．
(2)已知抛物线y=x2+mx+n(m,n均为常数)与直线y=x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
(3)若抛物线y=ax2+bx+3
(a,b是常数，a>0)的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w=b2
2
−2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.C
6.C
7.C
8.B
9.A
10.D
11.(1,−2)
12.k <1
13.3
14.4
15.(0,52)
16.解：(1)2x 2−4x +1=0，
x 2−2x =−12，
x 2−2x +1=−12+1，即(x−1)2=12，
∴x−1=± 2
2，
∴x 1=1+
2
2，x 2=1−
2
2；
(2)x(2x +4)=10+5x ，
2x(x +2)−5(x +2)=0，
(x +2)(2x−5)=0，
∴x +2=0或2x−5=0，
∴x 1=−2，x 2=5
2．
17.解：(1)∵抛物线y =ax 2+12x +c 与x 轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，代入得：
{16a−2+c =04a +1+c =0，
解得：{
a =14c =−2
，∴抛物线的解析式为y =14x 2+12x−2；
(2)令x =0，则y =−2，
∴C(0,−2)．
∴OC =2．
∵A(−4,0)，B(2,0)，
∴OA =4，OB =2，
∴AB =OA +OB =6．
∴S △ABC =12AB ⋅OC =12×6×2=6，
∴△ABC 的面积为6． 18.解：设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x ，
根据题意得：2000(1+x )2=2880，
解得：x 1=0.2，x 2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%．
19.解：(1)∵反比例函数y =m x 图象点B(3,−1)，
∴m =(−1)×3=−3，
∴反比例函数解析式为：y =−3x ，
∵点A(n,3)在反比例函数图象上，
∴n =−33=−1，
∴点A(−1,3)，
根据题意得：{3k +b =−1−k +b =3，解得：{
k =−1b =2，
∴一次函数解析式为：y =−x +2；
(2)观察图象可知，当x ≤−1或0<x ≤3时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即m x ≤kx +b ，所以不等式m x ≤kx +b 的解集为：x ≤−1或0<x ≤3．
20.(1)证明：∵OA=OB，OE⊥AB于点F，∴AF=BF，
又∵OE是⊙O的半径，OE⊥AB，
∴CF=DF，
∴AF−CF=BF−DF，
∴AC=BD；
(2)解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
CD=5，∠OFC=90°，
∴CF=1
2
∴CO2=CF2+OF2，
设⊙O的半径是r，
∴r2=52+(r−3)2，
，
解得r=17
3
∴⊙O的半径是17
．
3
21.
（2）(2,0)
（3）2≤d≤3
22.(1)解：补全图形如图1所示：
(2)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠2=∠ACB=60°，AB=CB=AC，
由旋转的性质得：DC=DE，
∴设∠E=∠DCE=α，
在△DCE中，∠EDC=180°−2α，
∵∠BDC=60°，
∴∠BDE=∠EDC−∠BDC=180°−2α−60°=2(60°−α)，
∵∠1=∠BDC+∠DCE=60°+α，
∴∠ABD=180°−(∠1+∠2)=180°−(60°+α+60°)=60°−α，
∴∠BDE=2∠ABD；
(3)解：线段BD、CD、FD之间的数量关系是：BD+FD=CD，证明如下：
∵∠BDC=60°，DH=BD，
∴△DBH为等边三角形，
∴BD=DH=BH，∠DBH=60°，
∴∠ABD+∠ABH=∠DBH=60°，
又∵∠ABH+∠CBH=∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBH，
在△ABD和△CBH中，
{BD=BH
∠ABD=∠CBH
，
AB=CB
∴△ABD≌△CBH(SAS)，
∴AD=CH，∠DAB=∠BCH，
∴∠DAF=∠DAB+∠BAC=∠BCH+60°，∵∠DFA=∠E+∠ACB=∠E+60°，
∵DC=DE，
∴∠E=∠BCH，
∴∠DFA=∠BCH+60°，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=FD，
∴FD=CH，
∴BD+FD=DH+CH=CD．
23.(1)①③
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