人教版高中数学选修2-21.5.1曲边梯形的面积学案

1．5定积分的观点
1．5.1曲边梯形的面积
1．认识求曲梯形的面的方法．
2．认识“以直代曲”和迫近的思想，借助几何直领会定分的基本思想．
基梳理
1．函数：假如函数 y＝ f(x)在某个区 I 上的象是一条不停的曲，那么就把它称区 I 上的
函数．
2．曲梯形：在直角坐系中，由曲 y＝ f(x)，直 x＝ a、x＝b 及 x 所成的形叫做曲梯形 (如所示 )．
3．将曲梯形分红n 个小曲梯形，并用小矩形的面取代小曲梯形的面，于
是曲梯形的面S 近似的表示S＝ S1＋ S2＋⋯＋ S n，当 n 愈来愈大，即小曲梯形越来
越多，些小曲梯形的面之和就无穷近于曲梯形的面(以下所示 )．
想想：求由抛物线f(x) ＝x2，直线 x＝ 0， x＝ 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间 [0， 1]5 平分，以下图，以小区间中点的纵坐标为高，则全部小矩形的面积之和
为________．
分析：由题意得面积之和S＝ (0.12＋ 0.32＋ 0.52＋0.72＋ 0.92) ×0.2＝0.33.
自测自评
2
i－ 1i
1．函数 f(x)＝ x 在区间，上(D)
A ． f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当 n 很大时， f(x)的值变化很小
分析：函数 f(x)＝ x2在区间i － 1， i上，跟着 n 的增大， f(x)的值的变化渐渐减小，当 n
nn
很大时， f(x)的值变化很小．
2．当 n 很大时，函数f(x)＝x 2在区间
i－1
，
i
上的值能够用以下哪个值近似取代(C) nn
12i
A ． f n B． f n C． f n D ．f(0)
分析：当n 很大时， f(x)＝ x2在区间i－
n
1
，n
i
上的值可用该区间上任何一点的函数值近
似取代，明显能够用左端点或右端点的函数值近似取代．基础巩固
1．在计算由曲线
2
以及直线 x＝－ 1， x＝ 1，y＝ 0 所围成的图形的面积时，若将y＝－ x
区间 [－ 1， 1]n 平分，则每个小区间的长度为(B) 12
A. n
B. n
22
C.
n－ 1 D. n＋1
2．在求由函数 1
与直线 x ＝ 1， x ＝2， y ＝ 0 所围成的平面图形的面积时，把区间
[1，
y ＝ x
2]平分红 n 个小区间，则第
i 个小区间为 (B)
A. i － 1， i
B. n ＋ i －1， n ＋ i
nn
n
n
i i ＋ 1
C ．[ i － 1，i]
D. n ，
n
分析：把区间 [1，2] 平分红 n 个小区间后，每个小区间的长度为
1
，且第 i 个小区间的左
n
端点不小于 1，应选 B.
3．在 “近似取代 ”中，函数 f(x)在区间 [x i ，x i ＋ 1]上的近似值 (C)
A ．只好是左端点的函数值
f(x i )
B ．只好是右端点的函数值
f(x i ＋ 1)
C ．能够是该区间内任一点的函数值 f( ξi )( ξi ∈ [x i ， x i ＋1]
D ．以上答案均不正确
分析：由求曲边梯形面积的
“近似取代 ”知，选项
C 正确，应选 C.
4．在区间 [1，10]上等间隔地插入
8 个点，则将它平分红
9 个小区间，每个小区间的长
度为 1．
能 力 提 升
5．关于由函数 y ＝ x 3
和直线 x ＝ 1， y ＝0 围成的曲边梯形，把区间
[0， 1]三平分，则曲
边梯形面积的近似值
(每个 ξ取值均为小区间的左端点 )是 (A)
i 1
1
A. 9
B.25
1
1 C.27
D.30
1 1 3
1 ＋
2
3 1 1
分析： S ＝ 0× ＋
3
× 3 × ＝ .
3 3 3 9
1
6．在平分区间的状况下， f(x)＝1＋ x 2(x ∈ [0，2]) 及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极
限形式正确的选项是 (B)
分析：将区间[0， 2]进行n 平分每个区间长度为2，故应选
B. n
答案： 3
8．直线 x＝ 0， x＝ 2， y＝0 与曲线 y＝ x2＋ 1 围成曲边梯形，将区间[0，2] 五平分，依据区间左端点和右端点预计曲边梯形面积分别为________、 ________．
分析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求全部小矩形面积之和．
S1＝ (02＋ 1＋ 0.42＋ 1＋ 0.82＋ 1＋ 1.22＋ 1＋ 1.62＋ 1) ×0.4＝ 3.92；S2＝
(0.42＋ 1＋ 0.82＋1＋ 1.22＋ 1＋1.62＋ 1＋ 22＋ 1) ×0.4＝ 5.52.
答案： 3.92 5.52
2
9．求出由直线x＝ 0， x＝ 3， y＝ 0 和曲线 y＝4－（ x－ 1）围成的平面图形的面积．
∠ ACB ＝
2π
， OB ＝ 3， 3
面 S ＝ S △ BOC ＋ S 扇形 ACB
＝
3＋ 1× 2× 2× 2π
2 2 3
3 4π
＝ 2＋ 3.
10．求 y ＝ x 3 与 x ＝0， y ＝ ±2 成的 形的面 ．
分析：所求面 如 暗影部分，由 称性知
S 1＝ S 2，故所求面
2S 1.先求 y ＝ x 3 与 y
＝0， x ＝ 0， x ＝ 2 成的面
S 1′以下：
2（ i －1）
2i
(1)切割：将 [0， 2]分红 n 等份 n
， n (i ＝ 1， 2， 3，⋯， n)，每个小区 距离
2 x ＝ n .
＝ f(ξ 2i 3
(2)近似取代： S i x ＝ n
x.
i )
(3)乞降：
1
S ＝ n
n
2i
3
x
S i ≈
n
2 i ＝1 i ＝1
n
2i 32
＝
n
n
.
i ＝
1
1
(4)求极限： 2S
＝
2 2
4 3
2n 3
n
＋ n ＋ ⋯ ＋ n
＝
24[1 2＋ 23＋⋯ ＋ n 3]
4
n
41 2
2
2 · n （ n＋ 1）＝n4
＝4（ n2＋ 2n＋1）
＝ 4.
n2
因此由 y＝ x3， x＝ 0，
x＝ 2，
y＝ 0 围成的图形的面积S1′＝ 4，∴S1＝ 2×8－ 4＝ 12.
故所求面积为S＝ 2S1＝ 24.。