2022年初中数学《相似三角形的周长与面积2》公开课精品教案

课题27.2.3 相似三角形周长与面积
环节教学问题设计
情境引入旧知复习：
1．如果两个三角形相似, 那么它们的对应边、对应角各
有什么特性？
2．研究三角形问题, 除了探讨边和角之外, 我们还经常
计算它的周长和面积, 那么两个相似三角形的周长和面积
有什么特征呢？
教师提问, 学生举手答
复. 〔可画图, 让学生结合
图形回忆〕
教师点评、完善, 为本
节课的学习做好知识的链
接.
引出本课内容, 板书课
题.
自主探究
合作交流【探究1】如果两个三角形相似, 它们的周长之间什么关
系？两个相似多边形呢？
【问题】
1．请测量课前准备好的相似比为
1
3
的两个相似三角形的
各边长并分别计算周长, 根据结果能猜测得出什么结
论？
2．类比着猜测两个相似多边形的周长之间会有什么关
系？
3．写出你得到的两个命题.
4．请根据命题1的题设和结论写出和求证.
5．请分析如何证明？写出证明过程.
6．类似的, 如何证明命题2？
【探究2】如果两个三角形相似, 它们的面积有什么关
系？
【问题】—1, ∆ABC∽∆A1B1C1, 相似比为k1 , 它们的面积比
是多少？
—1
1、欲探讨三角形的面积, 图中还需要添加什么辅助线？
2、相似三角形对应边上的高与相似比有何关系？怎么证
明？
3、如何计算两相似三角形的面积比？
4、面积比与相似比关系如何？
5、总结所得结论并标准写出证明过程.
教师请一位学生说出
其测量结果集猜测的结论.
教师点拨、纠偏, 引
导学生正确书写命题.
学生答复后, 老师板
书命题1的、求证.
鼓励并引导学生分
析、讨论证法. 写出标准的
证明过程.
学生独立完成命题2
的证明.
学生体会类比和转化
方法的运用.
复习三角形面积公式,
教师启发学生作出三角形
一组对应边上的高.
教师引导学生测量并分
析证明“相似三角形对应高
的比等于相似比〞.
学生口述证明方法及过程,
教师纠偏.
启发学生先表示出两个
三角形的面积再作比, 从
而通过观察结果与相似比
进行比照后得出结论.
学生独立思考完成, 之
后小组内交流.
6、相似三角形的对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比吗？
【探究3】如两个多边形相似, 它们的面积有何关系？ 【问题】：以四边形为例. 如图—2, 四边形ABCD 相似于四边形
''''A B C D
,相似比为2K ,它们的面积比是
多少?
—2
〔1〕如何把四边形转化为你熟悉的三角形？ 〔2〕连接对应对角线AC 、''A C 所得到的对应三角形ABC ∆与'''A B C ∆、ACD ∆与'''A C D ∆有什么关
系？为什么？
〔3〕根据活动3的结论如何猜测并推理证明两相似四边形的面积比与相似比的关系？
〔4〕两相似多边形的面积比与相似比的关系呢？ 首先教师启发学生连接一条对角线, 把四边形转化为两个三角形, 于是四边形的面积就转化为两个三角形的面积的和.
其次引导学生证明对应三角形相似.
再利用活动3得出的结论把一个三角形的面积用与它对应的三角形的面积与相似比的乘积来表示.
最后求得两个四边形的面积后作比, 通过约分得到结论.
尝 试 应 用
【问题】1．判断：
〔1〕一个三角形的各边长扩大为原来的5倍, 这个三角形的周长也扩大为原来的5倍. 〔 〕
〔2〕一个四边形的各边长扩大为原来的9倍, 这个四边形
的面积也扩大为原来的9倍.
2．〔例6〕：如图—3, 在∆ABC 和∆DEF 中, AB=2DE, AC=2DF, ∠A=∠D, ∆ABC 的周长是24, 面积是48, 求 ∆DEF 的周长和面积.
【分析】先利用关系证明两个三角形相似, 求出相似比, 再利用相似三角形的性质和相似比, 求出∆DEF 的周长和面积.
学习致用.
学生根据刚刚所得自学例题,
教师了解自学情况, 点评分析即可, 但要注意学生的解题标准性. 要注意应
用相似三角形的性质的前提条件是两个三角形相似, 所以要先证明两个三角形相似.
成果展示1．通过本节课的学习, 谈谈自己的收获.
2．引导学生对上面的问题进行展示交流:
相似三角形和相似多边形有哪些性质？
研究多边形问题时通常会把它如何转化？
学习小组内互相交流,
讨论, 展示.
在活动中教师应重点
关注：
学生对于相似多边形的性
质的运用的掌握情况．
补偿提高【问题】如图—4, 在△ABC和△DEF中, AB=
1
2
DE,
AC=
1
2
DF, ∠A=∠D, △ABC的周长是24, 面积是125,
求△DEF的周长和面积.
教师提出问题, 学生
思考, 讨论.
重点还是如何自用相
似比求解
教师分享学生的思
路, 并及时地点评.
最后教师讲解.
作业设计必做题
1．课本习题27.2第6题、第13题
2．预习27.2.3相似三角形的周长与面积, 做《同步学习》自
主学习
选做题：
2.课本复习题第9题.
教师布置作业, 并提出要
求.
学生课下独立完成, 延续
课堂.
教后反思
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
◆【课前热身】
1.方程〔2x－1〕〔3x+1〕=x2+2化为一般形式为______, 其中a=____, b=____, c=____．
2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零, 那么m的值等于_____．
3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1, x2=－2, 那么x2+mx+n分解因式的结果是______．
4.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2, 那么a的值是〔〕
A．1 B D
5.假设关于x的一元二次方程〔m－1〕x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0, 那么m的值等
于〔〕
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【参考答案】
1. 5x2－x－3=0 5 －1 －3
2.－3
3.〔x－1〕〔x+2〕
◆【考点聚焦】
知识点：
一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求:
1.掌握一元二次方程根的判别式, 会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母
系数的由一元二次方程, 会根据字母的取值范围判断根的情况, 也会根据根的情况确
定字母的取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. ◆【备考兵法】
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况, 有关试题出现在选择题或填空题中, 如：关于x 的方程ax 2
－2x ＋1＝0中, 如果a<0, 那么根的情况是〔 〕 〔A 〕有两个相等的实数根 〔B 〕有两个不相等的实数根 〔C 〕没有实数根 〔D 〕不能确定
的关系求有关两根的代数式的值, 有关问题在中考试题中出现的频率非常高, 多为选择题或填空题, 如：
设x 1, x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根, 那么x 12＋x 22
的值是〔 〕 〔A 〕15 〔B 〕12 〔C 〕6 〔D 〕3
3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题, 考查了考生分析问题、解决问题的能力. 在一元二次方程的应用中, 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同, 但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 凡不满足实际问题的解〔虽然是原方程的解〕一定要舍去． 易错知识辨析：
〔1〕在使用根的判别式解决问题时, 如果二次项系数中含有字母, 要加上二次项系数
不为零这个限制条件.
〔2〕应用一元二次方程根与系数的关系时, 应注意：
① 根的判别式042
≥-ac b ；
② 二次项系数0a ≠, 即只有在一元二次方程有根的前提下, 才能应用根与系数的关系.
◆【考点链接】
关于x 的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .
〔1〕ac b 42
->0⇔一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 有两个 实数根, 即
=2,1x .
〔2〕ac b 42
-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根, 即==21x x .
〔3〕ac b 42
-<0⇔一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 实数根.
2．一元二次方程根与系数的关系
假设关于x 的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x , 2x , 那么
=+21x x , =⋅21x x .
◆【典例精析】
例1〔四川绵阳〕关于x 的一元二次方程x 2
+ 2〔k －1〕x + k 2
－1 = 0有两个不相等的实数根．
〔1〕求实数k 的取值范围；
〔2〕0可能是方程的一个根吗？假设是, 请求出它的另一个根；假设不是, 请说明理由．
【分析】这是一道确定待定系数m 的一元二次方程, •又讨论方程解的情况的优秀考题, 需要考生具备分类讨论的思维能力．
【答案】〔1〕△= [ 2〔k —1〕] 2
－4〔k 2
－1〕
= 4k 2
－8k + 4－4k 2
+ 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根,
∴－8k + 8＞0, 解得k＜1, 即实数k的取值范围是k＜1．
〔2〕假设0是方程的一个根, 那么代入得 02 + 2〔k－1〕· 0 + k2－1 = 0, 解得k =－1 或k = 1〔舍去〕．
即当k =－1时, 0就为原方程的一个根．
此时, 原方程变为x2－4x = 0, 解得x1 = 0, x2 = 4, 所以它的另一个根是4．例2〔北京〕以下n〔n为正整数〕个关于x的一元二次方程：
x2－1=0 〔1〕
x2+x－2=0 〔2〕
x2+2x－3=0 〔3〕
……
x2+〔n－1〕x－n=0 〔n〕
〔1〕请解上述一元二次方程〔1〕, 〔2〕, 〔3〕, 〔n〕；
〔2〕请你指出这n个方程的根具有什么共同特点, 写出一条即可．
【分析】由具体到一般进行探究．
【答案】〔1〕<1>〔x+1〕〔x－1〕=0, 所以x1=－1, x2=1．
<2>〔x+2〕〔x－1〕=0, 所以x1=－2, x2=1．
<3>〔x+3〕〔x－1〕=0, 所以x1=－3, x2=1．
……
<n>〔x+n〕〔x－1〕=0, 所以x1=－n, x2=1．
〔2〕比方：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．
【点评】本例从教材要求的根本知识出发, 探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系, 注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．
例3〔江苏南京〕某村方案建造如下图的矩形蔬菜温室, 要求长与宽的比为2：1, 在温室内沿前侧内墙保存3m宽的空地, 其他三侧内墙各保存1m宽的通道．当矩形温室的长
与宽各为多少时, 蔬菜种植区域的面积是288m 2
？
【答案】解法一：设矩形温室的宽为xm, 那么长为2xm, 根据题意, 得 〔x －2〕·〔2x －4〕=288．
解这个方程, 得x 1=－10〔不合题意, 舍去〕, x 2=14． 所以x=14, 2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m, 宽为14m 时, 蔬菜种植区域的面积是288m 2
． 解法二：设矩形温室的长为xm, 那么宽为1
2
xm ． 根据题意, 得〔
1
2
x －2〕·〔x －4〕=288． 解这个方程, 得x 1=－20〔不合题意, 舍去〕, x 2=28． 所以x=28×
12x =1
2
×28=14． 答：当矩形温室的长为28m, 宽为14m 时, 蔬菜种植区域的面积是288m 2
． 【解析】在一元二次方程的应用中, 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同, 但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 凡不满足实际问题的解〔虽然是原方程的解〕一定要舍去． ◆【迎考精练】 一、选择题
1.〔台湾〕假设a 、b 为方程式x 2
-4(x +1)=1的两根, 且a ＞b , 那么
b
a
=______？ A ．－5 B ．－4 C ．1 D. 3
2.〔2021年湖南株洲〕定义：如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,
那么我们称这个方程为“凤凰〞方程. 2
0(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰〞方程, 且有两个相等的实数根, 那么以下结论正确的选项是
A ．a c =
B ．a b =
C ．b c =
D ． a b c ==
3.(四川成都)假设关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根, 那么
k 的取值范围是
A.1k >-
B.1k >-且0k ≠
C.1k <
D. 1k <且
0k ≠
4.〔内蒙古包头〕关于x 的一元二次方程2
210x mx m -+-=的两个实数根分别是
12x x 、, 且22
12
7x x +=, 那么212()x x -的值是〔 〕 A ．1 B ．12
C ．13
D ．25
5.〔湖北荆州〕关于x 的方程2
(2)20ax a x -++=只有一解〔相同解算一解〕, 那么a 的值为〔 〕
A ．0a =
B ．2a =
C ．1a =
D ．0a =或2a = 6.〔山东烟台〕设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根, 那么2
2a a b ++的值为〔 〕
A ．2006
B ．2007
C ．
D ．
7．〔湖北宜昌〕设方程x 2
－4x －1=0的两个根为x 1与x 2, 那么x 1x 2的值是( )．
A ．－4
B ．－1
C ．1
D ． 0 8．〔湖北十堰〕以下方程中, 有两个不相等实数根的是〔 〕．
A ．0122=--x x
B ．0322
=+-x x
C ．3322
-=x x D ．0442
=+-x x
9．〔四川眉山〕假设方程2
310x x --=的两根为1x 、2x , 那么
12
11
x x +的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．
13
D ．13
-
10．〔山东东营〕假设n 〔0n ≠〕是关于x 的方程2
20x mx n ++=的根, 那么m +n 的值为〔 〕
A.1
B.2 1 D.-2
二、填空题
1.(上海市)如果关于x 的方程2
0x x k -+=〔k 为常数〕有两个相等的实数根, 那么
k = ．
2.〔山东泰安〕关于x 的一元二次方程02)12(2
2=-+++-k x k x 有实数根, 那么k 的取值范围是 .
3.〔广西崇左〕一元二次方程2
30x mx ++=的一个根为1-, 那么另一个根为 ． 4.〔广西贺州〕关于x 的一元二次方程02
=--m x x 有两个不相等的实数根, 那么实数m 的取值范围是 ． 三、解答题
1.〔山东淄博〕 12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根, 且12232x x +=-
〔1〕求12x x ，及a 的值； 〔2〕求32111232x x x x -++的值．
2．(广东中山)：关于x 的方程2
210x kx +-=
〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；
〔2〕假设方程的一个根是1-, 求另一个根及k 值．
3.〔重庆江津区〕ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边, 其中ａ＝1, ｃ＝4, 且关于x 的方程
042=+-b x x 有两个相等的实数根, 试判断△ABC 的形状.
4．〔湖南怀化〕如图, 二次函数2
2
)(m k m x y -++=的图象与x 轴相交于两个不同的
点1(0)A x ，
、2(0)B x ，, 与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ． 〔1〕求P ⊙与y 轴的另一个交点D 的坐标；
〔2〕如果AB 恰好为P ⊙的直径, 且ABC △的面积等于5, 求m 和k 的值．
5．〔湖北黄石〕关于x 的函数2
1y ax x =++〔a 为常数〕 〔1〕假设函数的图象与x 轴恰有一个交点, 求a 的值；
〔2〕假设函数的图象是抛物线, 且顶点始终在x 轴上方, 求a 的取值范围．
【参考答案】 选择题 1. A 2. A 3. B 4. C
【解析】此题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知：
1212.21
x x m x x m +=⎧⎨
=-⎩ 又∵()22212121227x x x x x x +=+-= ∴()2
2217m m --= 得11m =-, 25m = , 而当5m =时, 原方程的判别式2549110∆=-⨯=-<, 此时方
程无解, ∴5m =不合题意舍去.
∴12121.3
x x x x +=-⎧⎨
=-⎩ ()()()()222
121212414313x x x x x x -=+-=--⨯-=, 应选 C
此题易出错, 学生易在求得11m =-或25m =的两个值后, 代入1212
.21x x m
x x m +=⎧⎨=-⎩, 求出
()
()2
2
121212413x x x x x x -=+-=或－11, 易漏掉检验方程是否存在实根.
5. D 【解析】此题考查方程的有关知识, 关于x 的方程2
(2)20ax a x -++=只有一解,
有两种情况, ①该方程是一元一次方程, 此时0a =, ②该方程是一元二次方程, 方程有两个相等等的实数根, ()2
2420a a +-=, 解得2a =, 应选D. 6. C 7. B 8. A 9. B 10. D 填空题 1.
4
1
2. 4
9-＞k 3.﹣3
4.
1
4m >-
解答题
1. 解：〔1〕由题意,
得1212
223x x x x +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，
解得1211x x =+=-，
所以12(11a x x =⋅=+-=-． 〔2〕法一： 由题意, 得211210x x --=．
所以32111232x x x x -++=32211111223x x x x x x ---++ =21112211211x x x x -++++-=-=． 法二： 由题意, 得21121x x =+,
所以32111232x x x x -++=11112(21)3(21)2x x x x x +-+++ =2111122632x x x x x +--++=1122(21)33x x x +--+ =1121242331211x x x x x +--+=+-=-=． 2. 解：〔1〕2
210x kx +-=,
2242(1)8k k ∆=-⨯⨯-=+,
无论k 取何值, 2
k ≥0, 所以2
80k +>, 即0∆>,
∴方程2210x kx +-=有两个不相等的实数根．
〔2〕设2
210x kx +-=的另一个根为x , 那么12k x -=-
, 1
(1)2
x -=-, 解得：1
2
x =
, 1k =, ∴2210x kx +-=的另一个根为
1
2
, k 的值为1． 3. 解:∵方程2
40x x b -+=有两个相等的实数根 ∴△=2
(4)40b --= ∴b=4.
∵c=4. ∴b=c=4.
∴△ABC 为等腰三角形.
4. 解 〔1〕易求得点C 的坐标为(0)k ，由题设可知12x x ，是方程
0)(22=-++m k m x 即
22
=++k mx x 的两根, 故
2122(2)42
m m k x -±--=
，, 所以
12122x x m x x k +=-•=，
如图3, ∵⊙P 与y 轴的另一个交点为D , 由于AB 、CD 是⊙P 的 两条相交弦, 设它们的交点为点O , 连结DB , ∴△AOC ∽△DOC , 那么.12
1===⨯=
k
k k x x OC OB OA OD
由题意知点C 在y 轴的负半轴上, 从而点D 在y 轴的正半轴上, 所以点D 的坐标为〔0, 1〕
〔2〕因为AB⊥CD, AB 又恰好为⊙P 的直径, 那么C 、D 关于点O 对称,
所以点C 的坐标为(01)-，, 即1-=k 〕
又2
2
2
2
212112()4(2)4221AB x x x x x x m k m k m =-=+-=--=-=+, 所以211
211522
ABC S AB OC m =
⨯=⨯+⨯=△解得.2±=m 5. 解：〔1〕当0a =时, 函数为1y x =+, 它的图象显然与x 轴
只有一个交点(1
0)-，． 当0a ≠时, 依题意得方程2
10ax x ++=有两等实数根．
140a ∴∆=-=, 1
4
a ∴=
． ∴当0a =或1
4
a =
时函数图象与x 轴恰有一个交点．
〔2〕依题意有41
4
a
a
-
>分类讨论解得
1
4
a>或0
a<．
当
1
4
a>或0
a<时, 抛物线顶点始终在x轴上方．。